Σχήματα κοπής και διπλώματος. Με ένα φύλλο καρό χαρτί χρησιμοποιώντας ψαλίδι μπορείτε να λύσετε πολλά διαφορετικά και ενδιαφέροντα προβλήματα.

Με ένα φύλλο καρό χαρτί χρησιμοποιώντας ψαλίδι μπορείτε να λύσετε πολλά διαφορετικά και ενδιαφέροντα προβλήματα. Αυτές οι εργασίες δεν είναι μόνο ενδιαφέρουσες ή διασκεδαστικές. Συχνά περιέχουν μια πρακτική λύση και απόδειξη μερικές φορές πολύ περίπλοκων γεωμετρικών ερωτήσεων.

Ας ξεκινήσουμε με τον κύριο κανόνα της κοπής και της αναδίπλωσης: Δύο πολύγωνα ονομάζονται ισοσύνθετα εάν ένα από αυτά μπορεί να χωριστεί (κοπεί) σε κάποια άλλα πολύγωνα, από τα οποία μπορεί να σχηματιστεί το δεύτερο πολύγωνο.

Τα ίσης αναλογίας πολύγωνα, φυσικά, έχουν το ίδιο εμβαδόν (ίσο σε μέγεθος), και επομένως η ιδιότητα της ισοσύνθεσης μας επιτρέπει μερικές φορές να λαμβάνουμε τύπους για τον υπολογισμό των εμβαδών ή να συγκρίνουμε τα εμβαδά των σχημάτων (όπως λένε, μέθοδος διαχωρισμού ή αποσύνθεσης). Ένα παράδειγμα είναι η σύγκριση (υπολογισμός) των εμβαδών ενός παραλληλογράμμου και ενός ορθογωνίου.

Το γενικό ερώτημα της ισοδυναμίας δύο πολυγώνων δεν είναι καθόλου απλό. Υπάρχει ένα καταπληκτικό θεώρημα που λέει ότι από κάθε δεδομένο πολύγωνο, κόβοντάς το σε κομμάτια, μπορεί να κατασκευαστεί οποιοδήποτε άλλο πολύγωνο της ίδιας περιοχής.

Αυτό το θεώρημα ασχολείται με τα λεγόμενα απλά πολύγωνα. Ένα απλό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο του οποίου το όριο αποτελείται από μια κλειστή γραμμή χωρίς αυτοτομές και ακριβώς δύο από τους συνδέσμους του συγκλίνουν σε κάθε κορυφή αυτής της διακεκομμένης γραμμής. Σημαντική ιδιοκτησία απλό πολύγωνοείναι το γεγονός ότι έχει τουλάχιστον μία εσωτερική διαγώνιο.

Σημειώστε ότι για να επιτρέψουμε τη μετατροπή ενός ορθογωνίου σε τετράγωνο, χρειάστηκε (Εικόνα 3) να το χωρίσουμε σε τρία μέρη. Ωστόσο, αυτό το διαμέρισμα δεν είναι το μόνο. Για παράδειγμα, μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγμα διαίρεσης ενός ορθογωνίου σε τέσσερα μέρη (Εικόνα 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Το ερώτημα ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός περικοπών που επαρκεί για την κατασκευή μιας άλλης από μια φιγούρα παραμένει ανοιχτό μέχρι σήμερα.

Εργασία 1.

Μια γυναίκα είχε ένα ορθογώνιο χαλί διαστάσεων 27 επί 36 ίντσες· δύο απέναντι γωνίες ήταν ξεφτισμένες (Εικόνα 5) και έπρεπε να κοπούν, αλλά ήθελε ένα ορθογώνιο χαλί. Αυτή τη δουλειά την έδωσε στον αφέντη και την έκανε. Πώς το έκανε αυτό;

Η λύση στο πρόβλημα φαίνεται από το σχήμα 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Εάν το οδοντωτό τμήμα Α αφαιρεθεί από το οδοντωτό τμήμα Β και στη συνέχεια ωθηθεί προς τα πίσω ανάμεσα στα δόντια του μέρους Β, μετακινώντας το ένα δόντι προς τα δεξιά, θα ληφθεί το επιθυμητό ορθογώνιο.

Εργασία 2.

Πώς να φτιάξετε ένα τετράγωνο από πέντε ίδια τετράγωνα κόβοντάς τα.

Όπως φαίνεται στο Σχήμα 7, τέσσερα τετράγωνα πρέπει να κοπούν σε τρίγωνο και τραπέζιο. Στερεώστε τέσσερα τραπεζοειδή στις πλευρές του πέμπτου τετραγώνου και, τέλος, στερεώστε τα τρίγωνα με τα πόδια τους στις βάσεις των τραπεζοειδών.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Εργασία 3.

Κόψτε το τετράγωνο σε επτά τέτοια κομμάτια ώστε, όταν τα προσθέσετε, να πάρετε τρία ίσα τετράγωνα. (Εικόνες 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Εργασία 4.

Κόβουμε το τετράγωνο σε οκτώ κομμάτια ώστε προσθέτοντάς τα να βγάλουμε δύο τετράγωνα, το ένα από τα οποία έχει το μισό μέγεθος του άλλου.

Από το Σχήμα 10 μπορείτε να δείτε πώς να κόψετε το τετράγωνο. Η λύση είναι παρόμοια με τη λύση του προηγούμενου προβλήματος. Το σχήμα 11 δείχνει πώς να προσθέσετε τα κομμάτια για να λάβετε τα δύο απαιτούμενα τετράγωνα.

Εκπαιδευτική ξενάγηση

Εργασίες για τις ομάδες της «νεότερης» ηλικιακής ομάδας που πρέπει να λύσουν ανεξάρτητα

Πρόβλημα 1

Ένα σαλιγκάρι σέρνεται σε έναν πόλο ύψους 10 μ. Την ημέρα ανεβαίνει 5 μέτρα και τη νύχτα πέφτει 4 μ. Πόσο καιρό θα πάρει το σαλιγκάρι για να φτάσει από το κάτω μέρος στην κορυφή του στύλου;

Πρόβλημα 2

Είναι δυνατόν να κόψετε μια τρύπα σε ένα κομμάτι χαρτί σημειωματάριου που θα μπορούσε να χωρέσει ένα άτομο;

Πρόβλημα 3

Οι λαγοί πριονίζουν ένα κούτσουρο. Έκαναν 10 κοψίματα. Πόσα κούτσουρα πήρες;

Πρόβλημα 4

Το κουλούρι κόβεται σε τομείς. Κάναμε 10 κοψίματα. Πόσα κομμάτια πήρες;

Πρόβλημα 5

Σε ένα μεγάλο στρογγυλό κέικ έγιναν 10 κοψίματα ώστε κάθε κοπή να πηγαίνει από άκρη σε άκρη και να περνάει από το κέντρο του κέικ. Πόσα κομμάτια πήρες;

Πρόβλημα 6

Δύο άτομα είχαν δύο τετράγωνα κέικ. Όλοι έκαναν 2 ίσιες τομές στο κέικ τους από άκρη σε άκρη. Ταυτόχρονα, ο ένας πήρε τρία κομμάτια και ο άλλος τέσσερα. Πώς θα μπορούσε αυτό να είναι?

Πρόβλημα 7

Οι λαγοί πριονίζουν ξανά το κούτσουρο, αλλά τώρα και τα δύο άκρα του κορμού είναι ασφαλισμένα. Έπεσαν δέκα μεσαία κούτσουρα, αλλά τα δύο εξωτερικά παρέμειναν σταθερά. Πόσα κοψίματα έκαναν οι λαγοί;

Πρόβλημα 8

Πώς να χωρίσετε μια τηγανίτα σε 4,5, 6, 7 μέρη χρησιμοποιώντας τρεις ίσιες τομές;

Πρόβλημα 9

Υπάρχει μια στρογγυλή μπάρα σοκολάτας πάνω σε ένα ορθογώνιο κέικ. Πώς να κόψετε ένα κέικ σε δύο ίσα μέρη έτσι ώστε η σοκολάτα να χωριστεί ακριβώς στη μέση;

Πρόβλημα 10

Είναι δυνατόν να ψήσετε ένα κέικ που μπορεί να χωριστεί σε 4 μέρη με ένα ίσιο κόψιμο;

Πρόβλημα 11

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κομματιών στα οποία μπορεί να χωριστεί μια στρογγυλή τηγανίτα χρησιμοποιώντας τρία ίσια κοψίματα;

Πρόβλημα 12

Πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η σκάλα στον τέταρτο όροφο ενός σπιτιού από τη σκάλα στον δεύτερο όροφο του ίδιου σπιτιού;

Πρόβλημα 13

Ο Giuseppe έχει ένα φύλλο κόντρα πλακέ, μέγεθος 22 × 15. Ο Giuseppe θέλει να κόψει όσο το δυνατόν περισσότερα ορθογώνια κομμάτια μεγέθους 3 από αυτό. × 5. Πώς να το κάνετε αυτό;

Πρόβλημα 14

ΣΕ Μαγική χώρατους μαγικούς νόμους της φύσης, ένας από τους οποίους λέει: «Ένα ιπτάμενο χαλί θα πετάξει μόνο όταν έχει ορθογώνιο σχήμα».

Ο Ivan Tsarevich είχε ένα μαγικό χαλί μεγέθους 9 × 12. Μια μέρα το φίδι Gorynych σέρθηκε και έκοψε ένα μικρό χαλί μεγέθους 1 από αυτό το χαλί × 8. Ο Ivan Tsarevich ήταν πολύ στενοχωρημένος και ήθελε να κόψει άλλο ένα κομμάτι 1 × 4 για να φτιάξετε ένα ορθογώνιο 8 × 12, αλλά η Βασιλίσα η Σοφή πρότεινε να γίνει διαφορετικά. Έκοψε το χαλί σε τρία μέρη, από τα οποία με μαγικές κλωστές έραψε ένα τετράγωνο ιπτάμενο χαλί διαστάσεων 10 × 10.

Μπορείτε να μαντέψετε πώς η Βασιλίσα η Σοφή ξαναέφτιαξε το χαλασμένο χαλί;

Πρόβλημα 15

Όταν ο Γκιούλιβερ έφτασε στη Λιλιπούπολη, ανακάλυψε ότι όλα τα πράγματα εκεί ήταν ακριβώς 12 φορές μικρότερα από ό,τι στην πατρίδα του. Μπορείτε να πείτε πόσα λιλιπούτεια σπιρτόκουτα θα χωρέσουν στο σπιρτόκουτο του Γκιούλιβερ;

Πρόβλημα 16

Στον ιστό πειρατικό καράβικυματίζει μια δίχρωμη ορθογώνια σημαία, που αποτελείται από εναλλασσόμενες ασπρόμαυρες κάθετες ρίγες του ίδιου πλάτους. Ο συνολικός αριθμός των λωρίδων είναι ίσος με τον αριθμό των κρατουμένων που βρίσκονται αυτή τη στιγμή στο πλοίο. Στην αρχή υπήρχαν 12 αιχμάλωτοι στο πλοίο και 12 ρίγες στη σημαία. τότε οι δύο κρατούμενοι διέφυγαν. Πώς να κόψετε μια σημαία σε δύο μέρη και στη συνέχεια να τα ράψετε μεταξύ τους έτσι ώστε η περιοχή της σημαίας και το πλάτος των λωρίδων να μην αλλάξουν, αλλά ο αριθμός των λωρίδων να γίνει 10;

Πρόβλημα 17

Σημειώθηκε ένα σημείο στον κύκλο. Είναι δυνατόν να κόψουμε αυτόν τον κύκλο σε τρία μέρη ώστε να μπορούν να ενωθούν; νέος κύκλος, ποιου το σημειωμένο σημείο θα ήταν στο κέντρο;

Πρόβλημα 18

Είναι δυνατόν να κόψουμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε το κάθε μέρος να εφάπτεται (δηλαδή να έχει κοινές περιοχές του περιγράμματος) με τα άλλα τρία;

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Πρόβλημα 29

Μπορείτε εύκολα να κόψετε ένα τετράγωνο σε δύο ίσα τρίγωνα ή δύο ίσα τετράγωνα. Πώς να κόψετε ένα τετράγωνο σε δύο ίσα πεντάγωνα ή δύο ίσα εξάγωνα;

Πρόβλημα 30

Ο Ιβάν Τσαρέβιτς πήγε να αναζητήσει τη Βασιλίσα την Ωραία, την οποία είχε απήγαγε ο Κοσσέι. Ο Γκόμπλιν τον συναντά.

«Ξέρω», λέει, «πήγαινα εκεί και πήγαινα στο Βασίλειο του Koshcheevo». Περπάτησα τέσσερις μέρες και τέσσερις νύχτες. Τις πρώτες 24 ώρες περπάτησα το ένα τρίτο της διαδρομής, τον ίσιο δρόμο προς τα βόρεια. Έπειτα έστριψε δυτικά, διέσχισε το δάσος για μια μέρα και περπάτησε μισή μακριά. Για τρίτη μέρα περπάτησα μέσα στο δάσος, ήδη προς τα νότια, και βγήκα σε έναν ίσιο δρόμο που οδηγεί προς τα ανατολικά. Περπάτησα κατά μήκος του 100 μίλια σε μια μέρα και κατέληξα στο βασίλειο Koshcheevo. Είσαι τόσο γρήγορος περιπατητής όσο κι εγώ. Πήγαινε, Ιβάν Τσαρέβιτς, κοίτα, την πέμπτη μέρα θα επισκεφτείς το Koshchei.

Όχι», απάντησε ο Ιβάν Τσαρέβιτς, «αν όλα είναι όπως τα λες, τότε αύριο θα δω τη Βασιλίσα μου την Ωραία».

Έχει δίκιο; Πόσα μίλια περπάτησε ο Leshy και πόσο μακριά σκέφτεται να περπατήσει ο Tsarevich Ivan;

Πρόβλημα 31

Επινοήστε έναν συνδυασμό χρωμάτων για τις όψεις του κύβου, ώστε σε τρεις διαφορετικές θέσεις να μοιάζει με αυτό που φαίνεται στην εικόνα. (Καθορίστε πώς να χρωματίσετε τις αόρατες άκρες ή να σχεδιάσετε ένα δίχτυ.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Πρόβλημα 32

Ο νομισματικός Fedya έχει όλα τα νομίσματα με διάμετρο όχι μεγαλύτερη από 10 εκ. Τα αποθηκεύει σε ένα επίπεδο κουτί διαστάσεων 30 cm * 70 cm (σε ένα στρώμα). Του δόθηκε ένα νόμισμα με διάμετρο 25 εκ. Αποδείξτε ότι όλα τα νομίσματα μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα επίπεδο κουτί διαστάσεων 55 cm * 55 cm.

Πρόβλημα 33

Ένα κεντρικό τετράγωνο κόπηκε από ένα τετράγωνο 5x5. Κόψτε το σχήμα που προκύπτει σε δύο μέρη στα οποία μπορείτε να τυλίξετε έναν κύβο 2x2x2.

Πρόβλημα 34

Κόψτε αυτό το τετράγωνο κατά μήκος των πλευρών των κελιών σε τέσσερα μέρη, έτσι ώστε όλα τα μέρη να έχουν το ίδιο μέγεθος και το ίδιο σχήμα και έτσι ώστε κάθε μέρος να περιέχει έναν κύκλο και ένα αστέρι.

Πρόβλημα 35

Το πάρκινγκ στο Flower City είναι ένα τετράγωνο 7x 7 κελιών, σε καθένα από τα οποία μπορείτε να παρκάρετε ένα αυτοκίνητο. Ο χώρος στάθμευσης περιβάλλεται από φράχτη, αφαιρείται η μία από τις πλευρές του γωνιακού κλουβιού (αυτή είναι η πύλη). Το αυτοκίνητο κινείται σε μονοπάτι σε όλο το κλουβί. Ζητήθηκε από τον Dunno να τοποθετήσει όσο το δυνατόν περισσότερα αυτοκίνητα στο πάρκινγκ, ώστε να μπορεί κάποιος να φύγει όταν άλλοι στέκονταν. Ο Dunno τακτοποίησε 24 αυτοκίνητα όπως φαίνεται στο Σχ. Δοκιμάστε να τακτοποιήσετε διαφορετικά τα αυτοκίνητα για να χωρέσετε περισσότερα από αυτά.

Πρόβλημα 36

Η Petya και η Vasya ζουν σε γειτονικά σπίτια (βλ. σχέδιο στην εικόνα). Η Βάσια μένει στην τέταρτη είσοδο. Είναι γνωστό ότι ο Petya, για να τρέξει στη Vasya η συντομότερη διαδρομή(όχι απαραίτητα περπατώντας κατά μήκος των πλευρών των κελιών), δεν έχει σημασία από ποια πλευρά τρέχετε γύρω από το σπίτι σας. Προσδιορίστε σε ποια είσοδο μένει η Petya.

Πρόβλημα 37

Προτείνετε έναν τρόπο μέτρησης της διαγωνίου ενός συνηθισμένου τούβλου, ο οποίος εφαρμόζεται εύκολα στην πράξη (χωρίς το Πυθαγόρειο θεώρημα).

Πρόβλημα 38

Κόψτε έναν σταυρό από πέντε ίδια τετράγωνα σε τρία πολύγωνα ίσα σε εμβαδόν και περίμετρο.

Πρόβλημα 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

(7 βαθμοί) Δώστε ένα παράδειγμα δύο συνηθισμένων κλασμάτων των οποίων η διαφορά είναι τριπλάσια του γινομένου τους. Δώστε υπολογισμούς που δικαιολογούν αυτή την ιδιότητα.

Απάντηση. Για παράδειγμα, 1/2 και 1/5

Λύση

Οποιοδήποτε κλάσμα της μορφής είναι κατάλληλο 1/nΚαι 1/(n+3), υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Κριτήρια επαλήθευσης

• Η σωστή απάντηση δίνεται χωρίς αιτιολόγηση - 3 βαθμοί.

Εργασία 2

(7 βαθμοί) Δείξτε πώς να κόψετε μια φιγούρα σε τρία μέρη και να τα διπλώσετε σε τετράγωνο.

Λύση

1 τρόπος

Μέθοδος 2

Είναι επίσης δυνατές και άλλες λύσεις.

Κριτήρια επαλήθευσης.

• Οποιαδήποτε σωστή λύση (οι εικόνες δείχνουν πώς να κόψετε ένα τραπεζοειδές και πώς να διπλώσετε ένα τετράγωνο) - 7 βαθμοί.
• Ημιτελής λύση (εμφανίζεται μόνο πώς να κόψετε ένα τραπέζιο ή πώς να διπλώσετε ένα τετράγωνο) - 3 βαθμοί.

Εργασία 3

(7 βαθμοί) Ο αριθμός 49 είναι γραμμένος στον πίνακα. Με μία κίνηση, επιτρέπεται είτε να διπλασιάσετε τον αριθμό είτε να σβήσετε το τελευταίο του ψηφίο. Είναι δυνατόν να πάρουμε τον αριθμό 50 με λίγες κινήσεις;

Απάντηση. Μπορώ.

Λύση

Ο αριθμός 50 μπορεί να ληφθεί διπλασιάζοντας το 25 και το 25 μπορεί να ληφθεί διαγράφοντας το τελευταίο ψηφίο του 256, το οποίο είναι δύναμη του δύο. Έτσι, η απαραίτητη αλυσίδα μετασχηματισμών μπορεί να μοιάζει με αυτό:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Κριτήρια επαλήθευσης.

• Οποιαδήποτε πλήρης σωστή λύση - 7 βαθμοί.
• Ημιτελής λύση (για παράδειγμα, υποδεικνύεται ότι το 50 μπορεί να ληφθεί από τον αριθμό 256, αλλά δεν υποδεικνύεται πώς να αποκτήσετε το 256) - 3 βαθμοί.

Εργασία 4

(7 βαθμοί) Ένας από τους τρεις φίλους: Ο Αντρέι, ο Μπόρις ή ο Βλαντιμίρ είναι ο πιο δυνατός, ο άλλος είναι ο πιο έξυπνος, ο τρίτος είναι ο πιο ευγενικός. Μια μέρα είπαν τα εξής:

Αντρέι: Ο Βλαντιμίρ είναι πιο δυνατός από μένα.

Μπόρις : Είμαι πιο έξυπνος από τον Βλαντιμίρ.

Βλαδίμηρος : Ο Μπόρις είναι πιο έξυπνος από εμένα.

Είναι γνωστό ότι ο πιο δυνατός και ο πιο ευγενικός είπε την αλήθεια, ο πιο έξυπνος είπε ψέματα, και ανάμεσά τους δεν υπάρχουν δύο άνθρωποι ίσοι σε δύναμη.

Είναι αλήθεια ότι ανάμεσα σε τρεις φίλους, αυτός που είναι ο πιο ευγενικός είναι και ο πιο αδύναμος;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση. Ναί.

Λύση

Ας ορίσουμε: A - Andrey, B - Boris, C - Vladimir. Οι προτάσεις Β και Γ επαναλαμβάνονται η μία την άλλη και επειδή υπάρχει μόνο μία λανθασμένη δήλωση μεταξύ των τριών, ο Β και ο Γ είπαν την αλήθεια, ο Α είπε ένα ψέμα. Κατά συνέπεια, ο Α είναι ο πιο έξυπνος (κατά συνθήκη), ο Α είναι ισχυρότερος από τον Β (αφού ο Α είπε ψέματα) και ο Β είναι πιο έξυπνος από τον Γ (αφού ο Β και ο Γ είπαν την αλήθεια). Εφόσον το Α είναι ισχυρότερο από το Β, τότε το Β δεν είναι το ισχυρότερο. Αποδεικνύεται ότι ο Β είναι ο ισχυρότερος, ο Α είναι ο μέσος σε δύναμη και ο Β είναι ο πιο αδύναμος. Ταυτόχρονα, ο Β δεν είναι ο πιο έξυπνος και όχι ο πιο δυνατός, πράγμα που σημαίνει ότι είναι ο πιο ευγενικός.

Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να εισαγάγετε τις διαθέσιμες πληροφορίες σε έναν πίνακα. Θα ορίσουμε τις "θέσεις" κάθε ποιότητας: 1 - πρώτη θέση (πιο έξυπνη / ισχυρότερη / ευγενέστερη), 2 - μέση, 3 - τελευταία θέση.

Από τον πίνακα είναι ξεκάθαρο ότι Β - ο πιο ευγενικός και ο πιο αδύναμος.

Κριτήρια επαλήθευσης

• Οποιαδήποτε πλήρης σωστή λύση - 7 βαθμοί.
• Σωστά και εύλογα βρέθηκε ποιος είναι ο πιο δυνατός, ποιος ο πιο έξυπνος και ποιος ο πιο ευγενικός, αλλά δεν υπάρχει περαιτέρω πρόοδος - 5 βαθμοί.
• Εύλογα έλαβε, ο Andrey είναι ο πιο έξυπνος, οι φίλοι κατανέμονται σωστά ανάλογα με τη δύναμη (και οι 3 θέσεις), αλλά δεν ελήφθησαν ή δεν συσχετίζονται με το γεγονός ότι ο Βλαντιμίρ είναι ο πιο ευγενικός - 5 βαθμοί.
• Η αιτιολόγηση δίνεται μόνο για μια συγκεκριμένη περίπτωση (για παράδειγμα, εξετάζεται μόνο η περίπτωση που ο Αντρέι είπε ψέματα) χωρίς να ληφθούν υπόψη άλλες ειδικές περιπτώσεις και χωρίς να αναφέρεται η αδυναμία τους - 2 βαθμοί.
• Η σωστή απάντηση που δείχνει ποιος είναι ο πιο έξυπνος, ποιος είναι ο πιο δυνατός και ποιος είναι ο πιο ευγενικός, με έλεγχο ότι με αυτή τη ρύθμιση πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις της εργασίας, αλλά χωρίς αιτιολόγηση - 2 βαθμοί.
• Στην αρχή του συλλογισμού, έγινε ένα λάθος - 0 βαθμοί.
• Δίνεται μόνο η απάντηση - 0 βαθμοί.

Εργασία 5

(7 βαθμοί) Η μαμά περπατά με ένα καροτσάκι γύρω από τη λίμνη και γυρίζει εντελώς τη λίμνη σε 12 λεπτά. Ο Βάνια οδηγεί ένα σκούτερ στο ίδιο μονοπάτι προς την ίδια κατεύθυνση και συναντά (προσπερνάει) τη μητέρα του κάθε 12 λεπτά. Σε ποια διαστήματα

Θα συναντήσει ο Βάνια τη μητέρα του αν οδηγεί με την ίδια ταχύτητα, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση;

Απάντηση . Σε 4 λεπτά.

Λύση

Δεδομένου ότι η μαμά γυρίζει εντελώς τη λίμνη σε 12 λεπτά και συναντά τη Βάνια μία φορά κάθε 12 λεπτά, σε 12 λεπτά η Βάνια οδηγεί γύρω από τη λίμνη ακριβώς 2 φορές και η μαμά - μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα της Vanya είναι 2 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα της μητέρας της. Από αυτό προκύπτει ότι όταν ο Βάνια οδηγούσε προς την ίδια κατεύθυνση με τη μητέρα του, η ταχύτητα προσέγγισής τους ήταν ίση με την ταχύτητα της μητέρας του. Εάν ο Βάνια οδηγεί προς την αντίθετη κατεύθυνση, τότε η ταχύτητα της προσέγγισής τους θα είναι ίση με τρεις φορές την ταχύτητα της μητέρας του, δηλαδή θα είναι τρεις φορές μεγαλύτερη. Αυτό σημαίνει ότι θα συναντά τη μητέρα του τρεις φορές πιο συχνά, δηλαδή κάθε 4 λεπτά.

Αυτός ο συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με την εισαγωγή μιας σημειογραφίας για το μήκος του κομματιού.

Αφήνω έναείναι το μήκος της διαδρομής γύρω από τη λίμνη (σε μέτρα), τότε η ταχύτητα της μητέρας είναι ένα/12 (m/min) και η ταχύτητα του Vanya είναι ένα/6 (m/min). Η ταχύτητα προσέγγισης αν η μαμά και η Βάνια οδηγούν η μία προς την άλλη είναι 3 ένα/12=ένα/4 (m/min). Ως εκ τούτου, σε αυτή την ταχύτητα θα νικήσουν μαζί έναμέτρα σε 4 λεπτά, δηλαδή θα συμβαίνουν μία φορά κάθε 4 λεπτά.

Κριτήρια επαλήθευσης

• Οποιαδήποτε πλήρης σωστή λύση - 7 βαθμοί.
• Διαπιστώθηκε σωστά ότι η ταχύτητα της Vanya είναι 2 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα της μητέρας της, το άθροισμα των ταχυτήτων βρέθηκε σωστά, αλλά το τελικό συμπέρασμα βγήκε εσφαλμένα - 2 βαθμοί.
• Διαπιστώθηκε σωστά και εύλογα ότι η ταχύτητα της Vanya είναι 2 φορές μεγαλύτερη από αυτή της μητέρας της, αλλά η περαιτέρω συλλογιστική είτε δεν δικαιολογείται είτε δεν έχει ολοκληρωθεί - 1 βαθμός.
• Μια λύση που παρέχει συγκεκριμένες αποστάσεις και ταχύτητες και δίνει τη σωστή απάντηση αξίζει 1 βαθμό.
• Μόνο σωστή απάντηση - 0 βαθμοί.

Η μέγιστη βαθμολογία για όλες τις εργασίες που έχουν ολοκληρωθεί είναι 35.

Εναρκτήρια σχόλια του δασκάλου:

Μικρό ιστορική αναφορά: Πολλοί επιστήμονες ενδιαφέρονται για την κοπή προβλημάτων από την αρχαιότητα. Λύσεις σε πολλά απλά προβλήματα κοπής βρέθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες και τους Κινέζους, αλλά η πρώτη συστηματική πραγματεία για αυτό το θέμα γράφτηκε από τον Abul-Vef. Οι γεωμέτροι άρχισαν να λύνουν σοβαρά προβλήματα κοπής μορφών στο μικρότερο αριθμό τμημάτων και στη συνέχεια να κατασκευάζουν μια άλλη φιγούρα στις αρχές του 20ου αιώνα. Ένας από τους ιδρυτές αυτού του τμήματος ήταν ο διάσημος ιδρυτής του παζλ Henry E. Dudeney.

Σήμερα, οι λάτρεις του παζλ είναι πρόθυμοι να λύνουν προβλήματα, επειδή δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και όλοι όσοι αναλαμβάνουν να τα λύσουν μπορούν να επιδείξουν πλήρως την εφευρετικότητα, τη διαίσθησή τους και την ικανότητά τους για δημιουργική σκέψη. (Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αναφέρουμε μόνο ένα από τα πιθανά παραδείγματα κοπής. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι μαθητές μπορεί να καταλήξουν σε κάποιον άλλο σωστό συνδυασμό - δεν χρειάζεται να το φοβούνται αυτό).

Αυτό το μάθημα υποτίθεται ότι θα διεξαχθεί με τη μορφή πρακτικού μαθήματος. Χωρίστε τους συμμετέχοντες του κύκλου σε ομάδες των 2-3 ατόμων. Δώστε σε κάθε ομάδα φιγούρες που έχουν προετοιμαστεί εκ των προτέρων από τον δάσκαλο. Οι μαθητές έχουν ένα χάρακα (με χωρίσματα), ένα μολύβι και ένα ψαλίδι. Επιτρέπεται να κάνετε μόνο ευθείες τομές χρησιμοποιώντας ψαλίδι. Έχοντας κόψει μια φιγούρα σε κομμάτια, πρέπει να φτιάξετε μια άλλη φιγούρα από τα ίδια μέρη.

Εργασίες κοπής:

1). Δοκιμάστε να κόψετε το σχήμα που φαίνεται στην εικόνα σε 3 ίσα μέρη:

Συμβουλή: Τα μικρά σχήματα μοιάζουν πολύ με το γράμμα Τ.

2). Τώρα κόψτε αυτό το σχήμα σε 4 ίσα μέρη:

Συμβουλή: Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι μικρές φιγούρες θα αποτελούνται από 3 κελιά, αλλά δεν υπάρχουν πολλές φιγούρες με τρία κελιά. Υπάρχουν μόνο δύο τύποι: γωνία και ορθογώνιο.

3). Χωρίστε τη φιγούρα σε δύο ίσα μέρη και χρησιμοποιήστε τα μέρη που προκύπτουν για να σχηματίσετε μια σκακιέρα.

Συμβουλή: Προτείνετε να ξεκινήσετε την εργασία από το δεύτερο μέρος, σαν να παίρνετε μια σκακιέρα. Θυμηθείτε τι σχήμα έχει μια σκακιέρα (τετράγωνο). Μετρήστε τον διαθέσιμο αριθμό κελιών σε μήκος και πλάτος. (Θυμηθείτε ότι πρέπει να υπάρχουν 8 κελιά).

4). Δοκιμάστε να κόψετε το τυρί σε οκτώ ίσα κομμάτια με τρεις κινήσεις του μαχαιριού.

Συμβουλή: δοκιμάστε να κόψετε το τυρί κατά μήκος.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

1). Κόψτε ένα τετράγωνο χαρτί και κάντε τα εξής:

· κόψτε σε 4 κομμάτια που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξετε δύο ίσα μικρότερα τετράγωνα.

· κόβουμε σε πέντε μέρη -τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα και ένα τετράγωνο- και τα διπλώνουμε έτσι ώστε να βγουν τρία τετράγωνα.