Ikkilik munosabat va uning xarakteristikalari misollardir. Binar munosabatlar va ularning xossalari

Dekart mahsuloti ikkita to'plam X Va Y to'plam deb ataladi hamma buyurtma qilingan juftliklar ( x, y ) shu kabi
, A
.

1-misol . Mayli .

Keyin, .

Bu aniq
, ya'ni. to'plamlar operatsiyasining dekart mahsuloti kommutativ emas.

To‘plamlarning dekart ko‘paytmasi
to'plam deb ataladi
barcha buyurtma qilingan to'plamlar
shundayki, agar
, keyin Dekart mahsuloti belgilanadi
.

Biz yozishmalar berilganligini aytamiz q to'plamlar orasida X Va Y, agar buyurtma qilingan uchlik berilgan bo'lsa
, Qayerda
.Bir guruh X jo'nab ketish maydoni deb ataladi va Y- yozishmalar kelgan hudud q(belgilash
). Har bir element y bilan juftlashgan
elementning tasviri deb ataladi x (x- elementning prototipi y) ushbu yozishmalar uchun q.

Xat yozish
chaqirdi ko'rsatish to'plamlar X ko'pchilikda Y, agar har bir element
tasvirga ega
, ya'ni.

Displey
chaqirdi funktsional , agar har bir element
Unda bor yagona tasvir
:. Berilgan displey uchun ko'plab tasvirlar
bilan belgilanadi
:.

Agar to'plam
to'plamga to'g'ri keladi Y, keyin shunday deyishadi
ko'rsatadi yoqilgan bir guruh Y.

Xat yozish
chaqirdi birma-bir (bijeksiyon) , agar a) xaritalash bo'lsa; b) funksional; c) ko'rsatadi X"yoqilgan" to'plami Y; d) shartdan
kerak
.

Boshqa so'z bilan,
har bir element, agar bijection hisoblanadi
bitta rasmga ega
, va har bir element
yagona prototipga ega
ushbu displey bilan:

(1.2)

1.2.2 Ikkilik munosabatning ta'rifi

Ta'rif. Ko'pchilikda shunday deyishadi X ikkilik munosabat berilgan R, agar Dekart mahsulotining kichik to'plami berilgan bo'lsa
(bular.
).

2-misol . Mayli
Keling, buni o'rnatamiz X quyidagi munosabatlar:

– tenglik munosabati;

- ustuvorlik munosabati;

tomonidan bo'linadi - bo'linish munosabati.

Bu munosabatlarning barchasi xarakterli xususiyat yordamida belgilanadi. Ushbu munosabatlarning elementlari quyida keltirilgan:

Er-xotinning ( x, y) bu munosabatga tegishli R, yozamiz:
yoki xRy. Masalan, munosabat uchun Q kirish 4 Q 2 4 degan ma'noni anglatadi 2 ga bo'linadi, ya'ni.

Ta'rif sohasi
ikkilik munosabat R to'plam deb ataladi
Qiymatlar diapazoni
to'plam deb ataladi

Ha, munosabatlar uchun R 2-misoldan ta'rif sohasi to'plamdir
, va qiymatlar oralig'i
.

1.2.3 Ikkilik munosabatni belgilash usullari

Ikkilik munosabat xarakterli xususiyatni ko'rsatish yoki uning barcha elementlarini sanab o'tish orqali aniqlanishi mumkin. Ikkilik munosabatni ko'rsatishning ko'proq vizual usullari - munosabatlar grafigi, munosabatlar diagrammasi, munosabat grafigi, munosabat matritsasi.

Jadval munosabatlar dekart koordinata tizimida tasvirlangan; gorizontal o'q belgilash sohasini belgilaydi, vertikal o'q munosabatlar qiymatlari to'plamini belgilaydi; munosabat elementi ( x,y) bu koordinatalar bilan tekislikdagi nuqtaga mos keladi. Shaklda. 1.7,a) nisbat grafigini ko'rsatadi Q misol 2.

Sxema munosabatlar ikkita vertikal chiziq yordamida tasvirlangan, ularning chap tomoni munosabatlarni aniqlash sohasiga, o'ng tomoni esa munosabatlar qiymatlari to'plamiga mos keladi. Agar element ( x,y) munosabatga tegishli R, keyin dan mos keladigan nuqtalar
Va
to'g'ri chiziq segmenti bilan bog'langan. Shaklda. 1.7,b) munosabatlar diagrammasi ko'rsatilgan Q 2-misoldan.

Grafik munosabat
quyidagicha qurilgan. Nuqtalar - to'plamning elementlari - tekislikda istalgan tartibda tasvirlangan X. Ballar juftligi X Va da yoy bilan bog'lanadi (o'q bilan chiziq), agar juftlik ( x,y) munosabatga tegishli R. Shaklda. 1.8,a) munosabat grafigi ko'rsatilgan Q misol 2.

Mayli
. Matritsa munosabat
Unda bor n chiziqlar va n ustunlar va uning elementi qoida bilan belgilanadi:

1.8b) rasmda munosabat matritsasi ko'rsatilgan Q misol 2.

Tegishli ta'riflar

O'zaro munosabatlarning xususiyatlari

Ikkilik munosabatlar turli xil xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin, masalan

Munosabatlar turlari

• Refleksiv o'tish munosabati kvazitartibli munosabat deyiladi.
• Refleksiv simmetrik tranzitiv munosabat ekvivalentlik munosabati deyiladi.
• Refleksiv antisimmetrik o'tish munosabati (qisman) tartib munosabati deyiladi.
• Refleksga qarshi antisimmetrik o'tish munosabati qat'iy tartib munosabati deyiladi.
• To'liq antisimmetrik (har qanday x, y xRy yoki yRx uchun) o'tish munosabati chiziqli tartib munosabati deyiladi.
• Antirefleksiv assimetrik munosabat dominantlik munosabati deyiladi.

Ikki tomonlama munosabatlarning turlari

• Teskari munosabat [belgilang] (R ga teskari munosabat) - berilgan R munosabatning (x, y) juft elementlarini almashtirish orqali olingan juft elementlardan (y, x) iborat ikkilik munosabatdir. Belgilangan: R -1. Bu munosabat va uning teskarisi uchun quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: (R -1) -1 = R.
• O'zaro munosabatlar(o'zaro munosabatlar) - bir-biriga teskari munosabatlar. Ulardan birining qiymatlari diapazoni ikkinchisini aniqlash diapazoni bo'lib xizmat qiladi va birinchisini aniqlash diapazoni ikkinchisining qiymatlari diapazoni bo'lib xizmat qiladi.
• Reflektiv munosabat- ma'lum to'plamda aniqlangan va bu to'plamning istalgan x uchun x elementi o'ziga R munosabatda bo'lishi, ya'ni bu to'plamning istalgan x elementi uchun xRx o'rinli bo'lishi bilan tavsiflangan ikkilik R munosabati. Refleksiv munosabatlarga misollar: tenglik, bir vaqtdalik, o'xshashlik.
• Ko'zguga qarshi munosabat(Reflekssiz munosabat, shuni esda tutingki, antisimmetriya assimetriya bilan mos kelmaganidek, irreflekslik ham refleksivlik bilan mos kelmaydi.) - ikki o'rinli R munosabati ma'lum to'plamda aniqlangan va shu to'plamning istalgan x elementi uchun u bilan tavsiflanadi. R ning o'ziga nisbatan munosabatda ekanligi to'g'ri emas (xRx degani to'g'ri emas), ya'ni to'plam elementi o'ziga R munosabatda bo'lmasligi mumkin. Reflektiv bo'lmagan munosabatlarga misollar: "g'amxo'rlik qilish", "ko'ngil ochish", "asabiy".
• O'tish munosabati- ma'lum to'plamda aniqlangan va bu to'plamning istalgan x, y, z uchun xRy va yRz xRz (xRy&yRzxRz) ni bildirishi bilan tavsiflangan ikki o'rinli R munosabati. O'tish munosabatlariga misollar: "ko'proq", "kamroq", "teng", "o'xshash", "yuqorida", "shimol".
• Intransitiv munosabat [belgilang] - ma'lum to'plamda aniqlangan va bu to'plamning istalgan x, y, z uchun xRy va yRz uchun xRz ((xRy&yRzxRz)) ni anglatmasligi bilan tavsiflangan ikkilik R munosabati. O'timsiz munosabatga misol: "x - y ning otasi"
• Simmetrik munosabat- ikki o'rinli R munosabati, ma'lum bir to'plamda aniqlangan va shu to'plamning har qanday x va y elementlari uchun R (xRy) munosabatida x ning y ga bo'lganligidan y bir xilda ekanligi bilan tavsiflanadi. x (yRx) ga munosabati. Simmetrik munosabatlarga tenglik (=), ekvivalentlik munosabati, o‘xshashlik, bir vaqtdalik, ayrim qarindoshlik munosabatlari (masalan, birodarlik munosabati) misol bo‘la oladi.
• Antisimmetrik munosabat- ikki o'rinli R munosabati, ma'lum bir to'plamda aniqlangan va xRy va xR -1 dan har qanday x va y uchun x = y dan keyin bo'lishi bilan tavsiflanadi (ya'ni, R va R -1 bir vaqtning o'zida faqat a'zolar uchun bajariladi. bir-biriga teng).
• Asimmetrik munosabat [belgilang] ikki oʻrinli R munosabati boʻlib, maʼlum toʻplamda aniqlangan va har qanday x va y uchun xRy yRxni bildirishi bilan tavsiflanadi. Misol: “ko'proq” (>) va “kamroq” () munosabati<).
• Ekvivalentlik munosabati(identifikatsiya munosabati [ belgilang], tenglik tipi munosabati) D predmet sohasidagi x va y ob’ektlar orasidagi ikki o’rinli R munosabati bo’lib, quyidagi aksiomalarni (shartlarni) qanoatlantiradi: Shunday qilib, tenglik tipidagi munosabat bir vaqtning o’zida refleksiv, simmetrik va o’tishli bo’ladi. Misollar: tenglik, ikki to'plamning teng kardinalligi, bozorda tovarlar almashinuvi, o'xshashlik, bir vaqtdalik. Aksiomani (3) qanoatlantiradigan, lekin (1) va (2) aksiomalarni qoniqtirmaydigan munosabatga misol: “ko'proq”.
• O'zaro munosabatlarni tartibga solish- ekvivalentlik munosabatining uchta xususiyatidan faqat ba'zilariga ega bo'lgan munosabatlar. Xususan, refleksiv va o'tishli, lekin assimetrik (masalan, "ortiq emas") munosabat "lax" tartibini hosil qiladi. Munosabatlar tranzitiv, lekin refleksiv bo'lmagan va assimetrik (masalan, "kamroq") - "qat'iy" tartib.
• Funktsiya- ikki tomonlama munosabat R, ma'lum bir to'plamda aniqlangan, har bir qiymat uchun xarakterlanadi x munosabat xRy y. Misol: " y ota x" Munosabatlar funksional xususiyati R aksioma sifatida yoziladi: ( xRy Va xRz)→(y≡z). Har bir qiymatdan beri x ifodalarda xRy Va xRz u holda bir xil qiymatga mos keladi y Va z mos keladi, bir xil bo'lib chiqadi. Funktsional munosabat noyobdir, chunki har bir x qiymati o'z munosabatiga ega xRy faqat bitta qiymatga mos keladi y, lekin aksincha emas.
• Bijeksiya(bir joy munosabati) - ikki joy munosabati R, ma'lum bir to'plamda aniqlangan bo'lib, unda har bir x qiymati bitta qiymatga mos kelishi bilan tavsiflanadi da, va har bir qiymat da bitta qiymatga mos keladi X. Yakkama-yakka munosabat - yakkama-yakka munosabatning alohida holati.
• Tegishli munosabat- bu ikki o'rinli munosabat R, ma'lum bir to'plamda aniqlangan, har qanday ikki xil element uchun xarakterlanadi X Va da bu to'plamdan, ulardan biri munosabatda R boshqasiga (ya'ni, ikkita munosabatlardan biri qondiriladi: xRy yoki yRx). Misol: "kamroq" munosabati (<).

O'zaro munosabatlar bo'yicha operatsiyalar

Ruxsat etilgan juftlik , , to'plamlarida aniqlangan munosabatlar to'plamning kichik to'plamlari bo'lganligi sababli, bu munosabatlarning barcha to'plami munosabatlarni birlashtirish, kesishish va qo'shish amallariga nisbatan Boole algebrasini hosil qiladi. Xususan, o'zboshimchalik uchun

Ko`pincha munosabatlarni birlashtirish, kesishish va to`ldirish o`rniga ularning diszyunksiyasi, birikmasi va inkori haqida gapiradilar.

Masalan, , , ya’ni qat’iy tartib munosabatning tenglik munosabati bilan birlashuvi qat’iy bo’lmagan tartib munosabatiga to’g’ri keladi va ularning kesishishi bo’sh bo’ladi.

Sanab o'tilganlardan tashqari, quyidagi tarzda aniqlangan munosabatlarni inversiya va ko'paytirish amallari ham muhimdir.

Agar bo'lsa, teskari munosabat bu juftlikda aniqlangan va qaysi juftlikdan iborat bo'lgan munosabatdir. Masalan, .

Keling, . Munosabatlar mahsuli shunday munosabatdir

Agar , va bo'lsa, munosabatlar mahsuloti aniqlanmagan. Agar munosabatlarni qandaydir to'plamda aniqlangan deb hisoblasak, unda bunday vaziyat yuzaga kelmaydi.

Masalan, natural sonlar to'plamida aniqlangan qat'iy tartib munosabatini ko'rib chiqing. Buni payqash oson

Ikkilik munosabatlar, agar bo'lsa, kommutativ deyiladi. Belgilangan har qanday ikkilik munosabat uchun belgilanishini ko'rish oson, bu erda belgi belgilangan tenglikni bildiradi. Biroq, tenglik har doim ham adolatli emas.

Quyidagi identifikatsiyalar mavjud:

E'tibor bering, oxirgi ikkita identifikatsiyaning analoglari mavjud emas.

Munosabatning ayrim xossalarini munosabat amallari yordamida aniqlash mumkin:

Shuningdek qarang

Adabiyot

• A. I. Maltsev. Algebraik tizimlar. - M.: Fan, 1970 yil.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

- berilgan to‘plamdagi ikki o‘rinli predikat. B. o. ostida. baʼzan berilgan A. B. o. toʻplami elementlarining tartiblangan juftliklari (a, 6) toʻplamining kichik toʻplami sifatida tushuniladi. munosabatlarning alohida holati. Bo'lsin. Agar, u holda element ikkilik deb aytiladi ... ... Matematik entsiklopediya

Mantiqda, xususiyatdan farqli o'laroq, alohida ob'ektni emas, balki juftlik, uchta va hokazolarni tavsiflovchi narsa. buyumlar. Anʼanaviy mantiq O.ni hisobga olmadi; zamonaviy mantiqda O. ikki yoki undan ortiq oʻzgaruvchining taklif funksiyasi. Ikkilik... Falsafiy entsiklopediya

munosabat- MUNOSABAT - tartiblangan n ok individlar to'plami (bu erda n - 1), ya'ni. ikki, uch va boshqalar. n soni “mahalliylik”, yoki “arity”, O. deb ataladi va shunga koʻra ular n mahalliy (n arno) O. haqida gapiradilar. Shunday qilib, masalan, qoʻsh O. deyiladi... ... Epistemologiya va fan falsafasi entsiklopediyasi

Iste'molchi nazariyasida bu iste'molchining turli xil tovarlar to'plamini (iste'mol to'plamlari) taqqoslash qobiliyatining rasmiy tavsifidir. Imtiyoz munosabatlarini tasvirlash uchun naflilikni o'lchash shart emas... ... Vikipediya

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang. Aloqa - bu turli ob'ektlarning xususiyatlarini va ularning munosabatlarini rasmiy ravishda belgilaydigan matematik tuzilma. Aloqalar odatda bog'langan ob'ektlar soni bo'yicha tasniflanadi... Vikipediya

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang. Birinchi tartibli mantiqda ikki yoki undan ortiq argument predikatlariga (bir nechta predikatlar), ikki yoki undan ortiq predikat xususiyatlariga munosabat. Aloqa belgisi: R.[aniqlash] Munosabatlar nuqtai nazaridan... ... Vikipediya, A.I. Shirokov. Qo‘llanma “Diskret matematika” o‘quv fanining “Asosiy to‘plam-nazariy konstruksiyalar” bo‘limining yettinchi qismidir. U shunday... tanishtiradi va tahlil qiladi. elektron kitob

Mayli R X to‘plamdagi qandaydir ikkilik munosabat, x, y, z esa uning istalgan elementi. Agar x element y element bilan R munosabatda bo'lsa, u holda yozing xRy.

1. X to‘plamdagi R munosabati, agar to‘plamning har bir elementi o‘zi bilan shu munosabatda bo‘lsa, refleksiv deyiladi.

R - X ustidagi refleksiv<=>har qanday x€ X uchun xRx

Agar R munosabati refleksli bo'lsa, u holda grafikning har bir tepasida halqa mavjud. Masalan, segmentlar uchun tenglik va parallellik munosabatlari refleksli, ammo perpendikulyarlik va "uzoq" munosabatlari refleksiv emas. Bu 42-rasmdagi grafiklarda aks ettirilgan.

2. X to'plamdagi R munosabati simmetrik deyiladi, agar x element y element bilan berilgan munosabatda bo'lganidan y element x element bilan bir xil munosabatda bo'ladi.

R - nosimmetrik yoniq (xYay =>y Rx)

Simmetrik munosabatlar grafigi qarama-qarshi yo'nalishda bo'lgan juftlashgan o'qlarni o'z ichiga oladi. Segmentlar uchun parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari simmetrikdir, lekin “uzoqroq” munosabat simmetrik emas (42-rasm).

3. X to‘plamdagi R munosabati antisimmetrik deyiladi, agar X to‘plamning turli xil x va y elementlari uchun x elementi y element bilan berilgan munosabatda bo‘lganligidan y element emas, degan xulosa kelib chiqadi. x elementi bilan bu munosabatda.

R - X «da antisimmetrik (xRy va xy ≠ yRx)

Eslatma: ustki satr bayonotning inkor etilishini bildiradi.

Antisimmetrik munosabat grafigida ikkita nuqta faqat bitta o'q bilan bog'lanishi mumkin. Bunday munosabatga misol qilib segmentlar uchun “uzoqroq” munosabatni keltirish mumkin (42-rasm). Parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari antisimmetrik emas. Na simmetrik, na antisimmetrik bo'lgan munosabatlar mavjud, masalan, "birodar bo'lish" munosabati (40-rasm).

4. X to‘plamdagi R munosabati o‘tishli deb ataladi, agar x elementi y element bilan berilgan munosabatda bo‘lsa, y element esa z element bilan shu munosabatda bo‘lganidan x elementi o‘z ichiga oladi. Z elementi bilan berilgan munosabat

R - A≠ bo'yicha o'tish (xRy va yRz=> xRz)

42-rasmdagi “uzunroq”, parallellik va tenglik munosabatlari grafiklarida, agar o'q birinchi elementdan ikkinchisiga va ikkinchidan uchinchisiga o'tsa, birinchi elementdan o'q borligini ko'rishingiz mumkin. uchinchi elementga. Bu munosabatlar tranzitivdir. Segmentlarning perpendikulyarligi tranzitivlik xususiyatiga ega emas.

Xuddi shu to'plam elementlari o'rtasidagi munosabatlarning biz ko'rib chiqmaydigan boshqa xususiyatlari ham mavjud.

Xuddi shu munosabat bir nechta xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin. Shunday qilib, masalan, segmentlar to'plamida "teng" munosabat refleksli, simmetrik, o'tishli; "ko'proq" munosabati antisimmetrik va tranzitivdir.

Agar X to'plamdagi munosabat refleksli, simmetrik va o'tishli bo'lsa, u holda bu to'plamdagi ekvivalent munosabatdir. Bunday munosabatlar X to'plamni sinflarga ajratadi.

Bu munosabatlar, masalan, vazifalarni bajarishda namoyon bo'ladi: "Teng uzunlikdagi chiziqlarni oling va ularni guruhlarga bo'ling", "To'plarni har bir qutida bir xil rangdagi to'plar bo'lishi uchun joylashtiring." Ekvivalentlik munosabatlari ("uzunligi teng bo'lish", "bir xil rangda bo'lish") bu holda chiziqlar va to'plar to'plamining sinflarga bo'linishini aniqlaydi.

Agar 1-to'plamdagi munosabat o'tish va antisimmetrik bo'lsa, u holda bu to'plamdagi tartib munosabati deyiladi.

Berilgan tartibli munosabatga ega bo'lgan to'plam tartiblangan to'plam deyiladi.

Masalan, vazifalarni bajarayotganda: "Bo'laklarni kengligi bo'yicha solishtiring va ularni eng toridan eng kengiga joylashtiring", "Raqamlarni solishtiring va raqam kartalarini tartibda joylashtiring", bolalar chiziqlar va raqam kartalari to'plamining elementlarini buyurtma qiladilar. tartib munosabatlaridan foydalanish; "kengroq bo'lmoq", "kuzatish".

Umuman olganda, ekvivalentlik va tartib munosabatlari bolalarda to'plamlarni tasniflash va tartiblash haqida to'g'ri tasavvurlarni shakllantirishda katta rol o'ynaydi. Bundan tashqari, ekvivalentlik munosabatlari ham, tartib munosabatlari ham bo'lmagan ko'plab boshqa munosabatlar mavjud.

6. To‘plamning xarakterli xususiyati nimadan iborat?

7. To‘plamlar qanday munosabatda bo‘lishi mumkin? Har bir holat uchun tushuntirishlar bering va ularni Eyler doiralari yordamida tasvirlang.

8. Kichik to‘plamni aniqlang. Biri ikkinchisining kichik to‘plami bo‘lgan to‘plamlarga misol keltiring. Belgilar yordamida ularning munosabatlarini yozing.

9. Teng to‘plamlarni aniqlang. Ikki teng to‘plamga misollar keltiring. Belgilar yordamida ularning munosabatlarini yozing.

10. Ikki to‘plamning kesishuvini aniqlang va uni har bir alohida holat uchun Eyler doiralari yordamida tasvirlang.

11. Ikki to‘plamning birlashuvini aniqlang va uni har bir alohida holat uchun Eyler doiralari yordamida tasvirlang.

12. Ikki to'plam o'rtasidagi farqni aniqlang va uni har bir alohida holat uchun Eyler doiralari yordamida tasvirlang.

13. To‘ldiruvchini aniqlang va Eyler doiralari yordamida tasvirlang.

14. To‘plamni sinflarga bo‘lish nima deyiladi? To'g'ri tasniflash shartlarini ayting.

15. Ikki to‘plam o‘rtasidagi muvofiqlik nima deyiladi? Murojaatlarni belgilash usullarini nomlang.

16. Qanday yozishmalar birma-bir deyiladi?

17. Qanday to'plamlar teng deb ataladi?

18. Qanday to'plamlar ekvivalent deb ataladi?

19. To‘plamdagi munosabatlarni aniqlash usullarini ayting.

20. To‘plamdagi qanday munosabat refleksiv deyiladi?

21. To‘plamdagi qanday munosabat simmetrik deyiladi?

22. To‘plamdagi qanday munosabat antisimmetrik deyiladi?

23. To‘plamdagi qanday munosabat o‘tishli deb ataladi?

24. Ekvivalent munosabatni aniqlang.

25. Tartib munosabatini aniqlang.

26. Qaysi to‘plam tartibli deyiladi?

SQL Serverdagi T-SQL tili standart SQL tiliga asoslangan bo‘lib, u relyatsion modelga asoslanadi, u o‘z navbatida to‘plamlar nazariyasi va predikatlar mantig‘i kabi matematik asoslarga asoslanadi. Ushbu maqola to'plamlar nazariyasidan fundamental mavzuni ko'rib chiqadi: to'plamlardagi munosabatlarning xususiyatlari. O'quvchilar tavsiya etilgan T-SQL kodlaridan ma'lum munosabatlarning ma'lum xususiyatlarining mavjudligini tekshirish uchun foydalanishlari mumkin. Biroq, ushbu maqolada tasvirlangan echimlarni qo'llashdan oldin, skriptlarning o'z versiyalarini yozishga harakat qilishingiz mumkin (aloqa muayyan xususiyatga ega yoki yo'qligini aniqlash uchun).

To'plamlar va munosabatlar

To'plamlar nazariyasining yaratuvchisi Georg Kantor to'plamni "bizning tafakkurimiz yoki tafakkurimizning aniq ajralib turadigan ob'ektlari yig'indisining ma'lum bir butun M ga birlashishi" deb ta'riflaydi (ular M to'plamining elementlari deb ataladi). To'plamning elementlari ixtiyoriy xarakterdagi ob'ektlar bo'lishi mumkin: odamlar, raqamlar va hatto to'plamlarning o'zlari. ∈ va ∉ belgilari mos ravishda toʻplamdagi elementning aʼzoligini (keyinligi, aʼzoligini) va aʼzo emasligini aks ettiruvchi operatorlarni bildiradi. Demak, x ∈ V yozuvi x ning V to’plamning elementi ekanligini, x ∉ V belgisi esa x V to’plamning elementi emasligini bildiradi.

To'plamdagi ikkilik munosabat - bu asl to'plam elementlarining tartiblangan juftliklari to'plami. Shunday qilib, V = (a, b, c) elementlar to‘plami uchun berilgan V to‘plamdagi R ikkilik munosabati dekart mahsulotining V × V = ((a,) barcha tartiblangan juftlari to‘plamining ixtiyoriy kichik to‘plami bo‘ladi. a), (a, b), (a , c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). R = ((a, b), (b, c), (a, c)) munosabati V bo‘yicha o‘rinli ikkilik munosabatdir. a ni b ga R orqali bog‘langan deb aytishimiz mumkin. Faraz qilaylik, R = ((a) bo‘lsin. , b ), (b, c), (c, d)). Bunday R V bo'yicha joiz bo'lgan munosabat emas, chunki (c, d) juftlik V × V dekart mahsulotiga tegishli emas. E'tibor bering, to'plamga kiritilgan elementlarning ko'rsatilgan tartibi muhim emas. V to'plamni (a, b, c) yoki (b, a, c) va boshqalar sifatida ko'rsatish mumkin. Biroq, (a, b) ikkilik munosabat kabi tartiblangan juftliklardagi tartib muhim; shunday qilib (a, b) ≠ (b, a).

Ikkilik munosabatlarning yanada real misoli sifatida, oila a'zolarining F to'plamini ko'rib chiqing: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mikki Itzikning egizak akasi, Inna uning singlisi, Mila onasi va Gabi otasi. F to'plamidagi R munosabatiga misol sifatida: "birodarlar". Bu munosabatlarning elementlari ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Biz qayd qilamizki, tartiblangan juftlik (Itsik, Inna) R da paydo bo'ladi, lekin juftlik (Inna, Itsik) ko'rinmaydi. Itzik Innaning ukasi bo'lsa-da, u uning ukasi emas.

To'plamlardagi munosabatlarning xossalari

Endi biz to'plamlar va munosabatlar haqidagi tushunchamizni yangilaganimizdan so'ng, keling, maqola mavzusiga - to'plamlardagi munosabatlarning xususiyatlariga o'tamiz. Masalan, ma'lumotlar, V va R jadvallarini yaratish uchun 1-listdagi koddan foydalaning. V to'plamni, R esa unda ikkilik munosabatni ifodalaydi. Ushbu ikkala yozuv jadvalini yangi namuna ma'lumotlari bilan to'ldirishdan oldin tozalaydigan ClearTables protsedurasini yaratish uchun 2-listdagi koddan foydalaning. Nihoyat, V va R jadvallarini sinov uchun turli xil ma’lumotlar to‘plamlari bilan to‘ldirish uchun 3, 4 va 5-ro‘yxatlardagi koddan foydalaning (biz ularni mos ravishda 1, 2 va 3 namunali ma’lumotlar deb ataymiz).

Reflektorlik. V to‘plamdagi R munosabati refleksiv bo‘ladi, agar V to‘plamning har qanday v elementi uchun v ∈ V, bundan (v, v) ∈ R, ya’ni (v, v) juftligi doimo R ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Va V bo'yicha R munosabati refleksli emas , agar v ∈ V elementi bo'lsa, juftlik (v, v) ∉ R. Yana F to'plamining misolini ko'rib chiqaylik - mening oilam a'zolari.

F dagi "bir xil yoshda bo'lish" munosabati, shubhasiz, refleksli. O'zaro munosabatlarning elementlari quyidagi juftliklar bo'ladi: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi). , Gabi)).

Keling, T-SQL so'rovini V va R jadvallariga qarshi yozishni boshlaylik (bu to'plamdagi to'plam va munosabatni ifodalaydi), R refleksli yoki yo'qligini tekshiramiz:

TANLASH
HOLDA
QACHON MAVJUD
(dbo.V dan v, v ni tanlang
MUSTAQO
dbo.R dan r1, r2 ni tanlang)
KEYIN "Yo'q"
BOSHQA "Ha"
END AS refleksiv

EXCEPT operatsiyasidagi birinchi quyi so‘rov V jadvalning barcha qatorlari uchun barcha tartiblangan juftliklar to‘plamini (v, v) qaytaradi. Ikkinchi kichik so‘rov tartiblangan juftliklar to‘plamini (r1, r2) – R jadvalining barcha qatorlarini qaytaradi. EXCEPT operatsiyasi Shunday qilib, birinchi to'plamda bo'lgan va ikkinchi to'plamda etishmayotgan barcha tartiblangan juftlarni qaytaradi. EXISTS predikati natijalar to'plamida kamida bitta yozuv mavjudligini tekshirish uchun kerak. Agar bunday yozuv kamida bitta bo'lsa, CASE ifodasi "Yo'q" (reflektorlik yo'q), aks holda "Ha" ni qaytaradi (reflektorlik mavjud).

3, 4 va 5 ro'yxatlardagi uchta misol ma'lumotlar to'plamini ko'rib chiqing va so'rovni bajarmasdan qaysi biri aks ettiruvchi munosabatga ega bo'lishini aniqlashga harakat qiling. Javoblar maqola matnida batafsilroq keltirilgan.

O'ylanmaydigan. V to‘plamdagi R munosabati, agar har bir v ∈ V element uchun (v, v) ∉ R bo‘lsa, v ∈ element mavjud bo‘lsa, munosabat qaytariluvchi emas (reflekssizlik bilan adashtirmaslik kerak) deyiladi. V buning uchun (v, v) ∈ R. Mening oila a'zolarimning F to'plamidagi irrefleksli munosabatga misol sifatida "ota-ona bo'lish" munosabatini keltirish mumkin, chunki hech kim o'z ota-onasi bo'la olmaydi. F dagi bu munosabatning a'zolari quyidagi juftliklar bo'ladi: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Quyidagi so'rov R ga V munosabatining qaytarilmasligini tekshiradi:

TANLASH
HOLDA
QACHON MAVJUD
(dbo.R dan * ni tanlang
QERDA r1 = r2)
KEYIN "Yo'q"
BOSHQA "Ha"
END AS irrefleksiv

R jadvalining ta'rifida xorijiy kalitlar faqat V ning elementlari R yozuvining r1 va r2 atributlarini tashkil etishini ta'minlash uchun kiritilgan. Shunday qilib, R da r1 va atributlarga mos keladigan yozuvlar mavjudligini tekshirishgina qoladi. r2. Agar bunday yozuv topilsa, R munosabati irrefleks emas, agar yozuv bo'lmasa, u qaytarilmaydi.

Simmetriya. Agar (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R har doim qanoatlansa, V to‘plamdagi R munosabat simmetrik deyiladi.Agar qandaydir juftlik (r1, r2) ∈ R bo‘lsa, munosabat simmetrik emas. buning uchun (r2, r1) ∉ R. Ben-Gan oilasi a'zolarining F to'plamida "birodarlar" munosabati simmetrik munosabatga misol bo'ladi. Bu munosabatning juftlari quyidagi to'plamlar bo'ladi: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Quyidagi so'rov R dan V ga munosabat simmetrik yoki yo'qligini tekshiradi:

TANLASH
HOLDA
QACHON MAVJUD
(dbo.R dan r1, r2 ni tanlang
MUSTAQO
dbo.R dan r2, r1 ni tanlang)
KEYIN "Yo'q"
BOSHQA "Ha"
END AS simmetrik

So'rov kodi EXCEPT operatsiyasidan foydalanadi. EXCEPT operatsiyasining birinchi quyi so'rovi tartiblangan juftliklar to'plamini (r1, r2) - R jadvalining yozuvlarini, ikkinchisi esa - R ning har bir yozuvi uchun tartiblangan juftliklar to'plamini (r2, r1) qaytaradi. Agar R munosabati R bo'yicha to'plam V simmetrik emas, u holda EXCEPT operatsiyasi bo'sh bo'lmagan natija to'plamini qaytaradi va EXISTS predikati mos ravishda TRUE qiymatini va nihoyat, CASE ifodasi "Yo'q" ni qaytaradi.

Agar munosabat nosimmetrik bo'lsa, CASE ifodasi "Ha" ni beradi.

Asimmetriya. V to‘plamdagi R munosabati assimetrikdir (bu xususiyatni assimetriya bilan aralashtirib yubormaslik kerak), agar har bir to‘plam uchun (r1, r2) ∈ R, bunda r1 ≠ r2 bo‘lsa, (r2, r1) ∉ R. An F to‘plamdagi assimetrik munosabat misolida muallifning oila a’zolari yuqorida bayon qilingan “ota-ona bo‘lish” munosabatiga ega bo‘ladilar. Mashq sifatida, nosimmetrik va assimetrik bo'lgan bo'sh bo'lmagan to'plamdagi munosabatlarga misol keltirishga harakat qiling. Yechim uchun ushbu maqoladagi namuna ma'lumotlarini ko'rib chiqing.

TANLASH
HOLDA
QACHON MAVJUD
(dbo.R dan r1, r2 ni QAYo r1 r2 ni tanlang
KESISH
r2, r1 ni dbo.R dan TANLANING QERDA r1 r2)
KEYIN "Yo'q"
BOSHQA "Ha"
END AS assimetrik

Kod INTERSECT operatsiyasidan foydalanadi. Ushbu operatsiyadagi birinchi pastki so'rov r1 r2 bo'lgan R jadvalining har bir yozuvi uchun tartiblangan juftlikni (r1, r2) qaytaradi.

INTERSECT operatsiyasining ikkinchi pastki so'rovi r1 r2 bo'lgan R jadvalining har bir yozuvi uchun tartiblangan juftlikni (r2, r1) qaytaradi. Agar natijalar to'plami (bu to'plamlarning kesishishi natijasi) kamida bitta yozuvni o'z ichiga olsa, bu R assimetrik emasligini bildiradi; aks holda R assimetrikdir.

Tranzitivlik. Agar (a, b) ∈ R va (b, c) ∈ R qo‘shimchalari har doim (a, c) ∈ R ekanligini bildirsa, V to‘plamdagi R munosabati o‘tishli hisoblanadi. Oila a’zolari to‘plamidagi o‘tish munosabatiga misol. F yuqorida muhokama qilingan "aka yoki opa" munosabati bo'ladi.

Quyidagi kod R munosabatining tranzitivligini tekshiradi:

TANLASH
HOLDA
QACHON MAVJUD
(tanlash *
RA AS dbo.R dan
INNER JOIN dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
CHAP TAShQI DBO.R AS RC JOIN
ON RA.r1 = RC.r1 VA RB.r2 = RC.r2
RC.r1 NOL bo'lgan joyda)
KEYIN "Yo'q"
BOSHQA "Ha"
O'TKAZISH AS

Kod birinchi navbatda R ning ikki nusxasi orasidagi ichki birikmadan faqat birinchi instansiyadagi r2 ikkinchi instansiyada r1 ga mos keladigan qatorlarni tanlash uchun foydalanadi. Ikkinchidan, kod R jadvalining uchinchi nusxasi bilan chap tashqi birlashmani ishlatadi, unga ko'ra R birinchi instantsiyasining r1 uchinchi instansiyaning r1 bilan bir xil, ikkinchi instansiyaning r2 esa jadvalning r2 bilan bir xil bo'ladi. uchinchi. Agar ichki pastki so'rovda kamida bitta natija qatori mavjud bo'lsa (uchinchi instansiya uchun tanlash sharti: r1 - Null), bu munosabat o'tishli emasligini anglatadi; aks holda R munosabati tranzitivdir.

Ekvivalentlik munosabati. Ekvivalentlik munosabati bir vaqtning o'zida reflekslik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lgan munosabatdir. Har bir xususiyatning mavjudligini alohida tekshirish uchun yuqorida tavsiya etilgan so'rovlardan foydalanishingiz mumkin: agar munosabatlar uchtasi ham bo'lsa, ekvivalentlik munosabati mavjud degan xulosaga kelishimiz kerak. Bundan tashqari, maqolada avvalroq muhokama qilingan V to‘plamdagi R munosabatining barcha xususiyatlarini, shu jumladan ekvivalentlik munosabati bo‘lish xususiyatini sinab ko‘rish uchun 6-listdagi koddan foydalanishingiz mumkin. Agar siz 6-listni 1, 2 va 3-raqamli maʼlumotlar (mos ravishda 3, 4 va 5 roʻyxatlardan olingan) boʻyicha ishga tushirsangiz, mos ravishda 1, 2 va 3-jadvallarda koʻrsatilgan natijalarni olasiz.

T-SQL asoslariga qaytish

Shunday qilib, biz matematik to'plamlar nazariyasidan fundamental mavzuni ko'rib chiqdik: to'plamlardagi munosabatlarning xususiyatlari. R jadvali (tartiblangan juft elementlar) bilan ifodalangan ba'zi munosabatlarning xususiyatlarini V jadvalda ko'rsatilgan elementlar to'plamida sinab ko'rish uchun T-SQL test kodlarini taklif qildim.

T-SQL-ning asosiy konstruksiyalaridan foydalanish to'plamlardagi munosabatlar xususiyatlarini yaxshiroq tushunish uchun ushbu til vositalarini to'g'ri sozlash va qo'llashga yordam berdi.

Itzik Ben-Gan ( [elektron pochta himoyalangan]) - o'qituvchi va maslahatchi, T-SQL bo'yicha kitoblar muallifi, SQL Server MVP unvoniga ega

Ma'ruza 3.

3-band. To'plamlardagi munosabatlar. Binar munosabatlarning xossalari.

3.1. Ikkilik munosabatlar.

Ikki kishining munosabatlari haqida gapirganda, masalan, Sergey va Anna, ular tegishli bo'lgan ma'lum bir oila borligini anglatadi. Buyurtma qilingan juftlik (Sergey, Anna) boshqa buyurtma qilingan juftliklardan farq qiladi, chunki Sergey va Anna (qarindoshi, otasi va boshqalar) o'rtasida qandaydir munosabatlar mavjud.

Matematikada ikkita to'plamning to'g'ridan-to'g'ri mahsulotining barcha tartiblangan juftlari orasida A Va B (A´ B) "maxsus" juftliklar, shuningdek, ularning tarkibiy qismlari o'rtasida boshqalarda mavjud bo'lmagan ba'zi "qarindoshlik" munosabatlari mavjudligi bilan ajralib turadi. Misol sifatida, to'plamni ko'rib chiqing S ba'zi universitet talabalari va ko'pchilik K u erda o'qitiladigan kurslar. To'g'ridan-to'g'ri mahsulotda S´ K buyurtma qilingan juftlarning katta qismini tanlash mumkin ( s, k) mulkka ega: talaba s kurs o'tmoqda k. Tuzilgan kichik to'plam talabalar va kurslar to'plami o'rtasida tabiiy ravishda paydo bo'ladigan "...tinglaydi ..." munosabatini aks ettiradi.

Ikki to'plam elementlari orasidagi har qanday bog'lanishning qat'iy matematik tavsifi uchun biz ikkilik munosabat tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 3.1. Ikkilik (yoki ikki barobar )munosabat r to'plamlar orasida A Va B ixtiyoriy kichik to'plam deyiladi A´ B, ya'ni.

Xususan, agar A=B(ya'ni rÍ A 2), keyin ular r to'plamdagi munosabatdir, deyishadi A.

Elementlar a Va b chaqiriladi komponentlar (yoki koordinatalar ) munosabat r.

Izoh. Keling, to'plam elementlari orasidagi munosabatlarni belgilash uchun yunon alifbosidan foydalanishga rozi bo'laylik: r, t, j, s, w va boshqalar.

Ta'rif 3.2. Ta'rif sohasi D r=( a| $ b, Nima a r b) (chap tomon). Qiymatlar diapazoni ikkilik munosabatning r to'plami deyiladi R r=( b| $ a, Nima a r b) (o'ng qism).

Misol 3. 1. Ikki to'plam berilsin A=(1; 3; 5; 7) va B=(2; 4; 6). Munosabatni quyidagicha o'rnatamiz t=(( x; y)Î A´ B | x+y=9). Bu munosabat quyidagi (3; 6), (5; 4) va (7; 2) juftliklardan iborat bo'ladi, ularni t=((3; 6), (5; 4), (7;2) shaklida yozish mumkin. )). Ushbu misolda D t=(3; 5; 7) va R t= B={2; 4; 6}.

Misol 3. 2. Haqiqiy sonlar to‘plamidagi tenglik munosabati r=(() to‘plamdir. x; y) | x Va y– haqiqiy sonlar va x teng y). Bu munosabat uchun maxsus belgi mavjud: “=”. Ta'rif sohasi qiymatlar sohasiga to'g'ri keladi va haqiqiy sonlar to'plamidir, D r= R r.

Misol 3. 3. Mayli A- do'konda juda ko'p tovarlar va B- haqiqiy sonlar to'plami. Keyin j=(( x; y)Î A´ B | y- narx x) – to‘plamlar munosabati A Va B.

Agar siz 3.1.-misolga e'tibor qaratsangiz, bu munosabat birinchi bo'lib t=(() shaklida ko'rsatilganligini sezasiz. x; y)Î A´ B | x+y=9), keyin esa t=((3; 6), (5;4), (7;2)) shaklida yoziladi. Bu shuni ko'rsatadiki, to'plamlar (yoki bitta to'plam) bo'yicha munosabatlar turli yo'llar bilan aniqlanishi mumkin. Keling, ikkilik munosabatlarni aniqlash usullarini ko'rib chiqaylik.

O'zaro munosabatlarni aniqlash usullari:

1) tegishli predikat yordamida;

2) tartiblangan juftliklar to'plami;

3) grafik shaklda: ruxsat A Va B– ikkita chekli to‘plam va r – ular orasidagi ikkilik munosabat. Bu to'plamlarning elementlari tekislikdagi nuqtalar bilan ifodalanadi. Har bir tartiblangan munosabatlar juftligi uchun r juftlikning tarkibiy qismlarini ifodalovchi nuqtalarni bog'laydigan o'qni chizadi. Bunday ob'ekt deyiladi yo'naltirilgan grafik yoki digraf, to'plamlar elementlarini ifodalovchi nuqtalar odatda deyiladi grafikning uchlari.

4) matritsa shaklida: kelsin A={a 1, a 2, …, a) Va B={b 1, b 2, …, bm), r – nisbat yoqilgan A´ B. Matritsaning tasviri r matritsa deyiladi M=[mij] hajmi n´ m, munosabatlar bilan belgilanadi

.

Darvoqe, matritsani tasvirlash bu munosabatni kompyuterda tasvirlashdir.

Misol 3. 4. Ikki to'plam berilsin A=(1; 3; 5; 7) va B=(2; 4; 6). Munosabatlar quyidagicha berilgan t=(( x; y) | x+y=9). Ushbu munosabatni matritsa ko'rinishidagi tartiblangan juftliklar to'plami, digraf sifatida aniqlang.

Yechim. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - tartiblangan juftliklar toʻplami sifatidagi munosabat taʼrifi;

2) mos keladigan yo'naltirilgan grafik rasmda ko'rsatilgan.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">.,

Misol 3. 5 . Misol tariqasida biz taklif qilinganlarni ko'rib chiqishimiz mumkin J. von Neumann(1903 - 1957) ko'plab qurilmalardan iborat ketma-ket kompyuterning blok diagrammasi M:

,

Qayerda a- kiritish qurilmasi, b- arifmetik qurilma (protsessor), c- boshqaruv moslamasi, d- Xotira qurilmasi, e- chiqish moslamasi.

Keling, qurilmalar o'rtasida ma'lumot almashishni ko'rib chiqaylik mil Va mj, ular qurilmadan r if bilan bog'liq mil ma'lumotlar qurilmaga kiradi mj.

Bu ikkilik munosabat uning barcha tartiblangan 14 juft elementini sanab o‘tish orqali aniqlanishi mumkin:

Ushbu ikkilik munosabatni aniqlaydigan tegishli digraf rasmda keltirilgan:

Ushbu ikkilik munosabatning matritsa ko'rinishi:

. ,

Ikkilik munosabatlar uchun to'plam nazariy operatsiyalari odatiy tarzda aniqlanadi: birlashma, kesishish va boshqalar.

Keling, munosabatlarning umumlashtirilgan tushunchasini kiritaylik.

Ta'rif 3.3. n-joy (n-ary ) munosabat r to‘g‘ridan-to‘g‘ri hosilaning kichik to‘plamidir n to'plamlar, ya'ni tartiblangan to'plamlar to'plami ( kortejlar )

rÍ A 1 An={(a 1, …, a)| a 1O A 1Ù…Ù aÎ An}

Foydalanishda ko'p joyli munosabatlarni aniqlash qulay aloqador jadvallar . Bu vazifa to'plamni sanab o'tishga mos keladi n-munosabatga r. Relyatsion jadvallar relyatsion ma'lumotlar bazalarida kompyuter amaliyotida keng qo'llaniladi. E'tibor bering, relyatsion jadvallar kundalik amaliyotda qo'llaniladi. Barcha turdagi ishlab chiqarish, moliyaviy, ilmiy va boshqa hisobotlar ko'pincha relyatsion jadvallar shaklida bo'ladi.

so'z " aloqador"Lotin so'zidan kelib chiqqan munosabat, rus tiliga tarjima qilingan "munosabat" degan ma'noni anglatadi. Shuning uchun adabiyotda harf munosabatlarni bildirish uchun ishlatiladi R(Lotin) yoki r (yunoncha).

Ta'rif 3.4. Mayli rÍ A´ B nisbatan munosabat mavjud A´ B. Keyin r-1 nisbati chaqiriladi teskari munosabat berilgan nisbatga r tomonidan A´ B, bu quyidagicha aniqlanadi:

r-1=(( b, a) | (a, b)Îr).

Ta'rif 3.5. r N bo'lsin A´ B nisbatan munosabat mavjud A´ B, a s N B´ C - nisbatan munosabat B´ C. Tarkibi munosabatlar s va r t N munosabati deyiladi A´ C, bu quyidagicha aniqlanadi:

t=s◦r= (( a, c)| $bÎ B, nima (a, b)Îr Va (b, c)Îs).

Misol 3. 6 . Qo'ying va C=(, !, d, a). Va nisbat r bo'lsin A´ B va nisbat yoqilgan B´ C shaklda berilgan:

r=((1, x), (1, y), (3, x)};

s=(( x,), (x, !), (y, d), ( y, à)}.

r-1 va s◦r, r◦s ni toping.

Yechim. 1) Ta'rifi bo'yicha r-1=(( x, 1), (y, 1), (x, 3)};

2) Ikki munosabatlar tarkibining ta'rifidan foydalanib, biz olamiz

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, a), (3,), (3, !)),

dan beri (1, x)Îr va ( x,)Îs quyidagi (1,)Îs◦r;

dan (1, x)Îr va ( x, !)Îs quyidagi (1, !)Îs◦r;

dan (1, y)Îr va ( y, d)Îs quyidagi (1, d)Îs◦r;

dan (3, x)Îr va ( x, !)Îs quyidagi (3, !)Îs◦r.

3.1 teorema. Har qanday ikkilik munosabatlar uchun quyidagi xususiyatlar mavjud:

2) ;

3) - kompozitsiyaning assotsiativligi.

Isbot. 1-xususiyat aniq.

2-xususiyatni isbotlaymiz.Ikkinchi xossani isbotlash uchun tenglikning chap va o’ng tomoniga yozilgan to’plamlar bir xil elementlardan iborat ekanligini ko’rsatamiz. ruxsat bering ( a; b) O (s◦r)-1 Û ( b; a) O s◦r Û $ c shu kabi ( b; c) O r va ( c; a) O s Û $ c shu kabi ( c; b) O r-1 va ( a; c) O s-1 Sh ( a; b) O r -1◦s -1.

3-mulkni o'zingiz isbotlang.

3.2. Binar munosabatlarning xossalari.

To'plamdagi ikkilik munosabatlarning maxsus xossalarini ko'rib chiqamiz A.

Binar munosabatlarning xossalari.

1. Ratsion r on A´ A chaqirdi aks ettiruvchi , Agar ( a,a) hamma uchun r ga tegishli a dan A.

2. r munosabati deyiladi aks ettirishga qarshi , agar dan ( a,b)Îr ergashadi a¹ b.

3. nisbat r nosimmetrik tarzda , agar uchun a Va b ga tegishli A, dan ( a,b) Bundan kelib chiqadiki ( b,a)Îr.

4. r munosabati deyiladi antisimmetrik , agar uchun a Va b dan A, tegishli bo'lishdan ( a,b) va ( b,a) r munosabati shuni bildiradi a=b.

5. nisbat r tranzitiv tarzda , agar uchun a, b Va c dan A haqiqatdan ( a,b)Îr va ( b,c)Îr, shundan kelib chiqadiki ( a,c)Îr.

Misol 3. 7. Mayli A=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Bu to'plamda rÍ munosabati berilgan A 2, quyidagi shaklga ega: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2) ), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Bu munosabatlar qanday xususiyatlarga ega?

Yechim. 1) Bu munosabatlar refleksli, chunki har bir kishi uchun aÎ A, (a; a)Îr.

2) Bu xususiyatning sharti qondirilmaganligi sababli, munosabat aks-reflektor emas. Masalan, (2, 2)Îr, lekin bu 2¹2 degani emas.

3) r munosabati simmetrik ekanligini ko‘rsatuvchi barcha mumkin bo‘lgan holatlarni ko‘rib chiqing:

	(a, b)Îr	(b, a)	(b, a)Îr?

4) Bu munosabat antisimmetrik emas, chunki (1, 2)Îr va (2,1)Îr, lekin bundan 1=2 degan xulosa chiqmaydi.

5) To'g'ridan-to'g'ri sanash usuli yordamida r munosabatining o'tishli ekanligini ko'rsatish mumkin.

	(a, b)Îr	(b, c)Îr	(a, c)	(a, c)Îr?

Matritsa tasviridan qanday foydalanish kerak

ikkilik munosabat xossalarini aniqlang

1. Reflektorlik: Ularning barchasi asosiy diagonalda, nol yoki birlar yulduzcha bilan ko'rsatilgan.

.

2. Refleksga qarshi: Asosiy diagonaldagi barcha nollar.

3. Simmetriya: Agar .

4. Antisimmetriya: asosiy diagonaldan tashqaridagi barcha elementlar nolga teng; asosiy diagonalda nollar ham bo'lishi mumkin.

.

"*" operatsiyasi quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: , Qayerda ,.

5. Tranzitivlik: Agar . "◦" operatsiyasi odatiy ko'paytirish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi va quyidagilarni hisobga olish kerak: .

3.3 Ekvivalentlik munosabati. Qisman tartib munosabati.

Ekvivalentlik munosabati to'plamning ikkita elementining o'xshashligi (bir xilligi) haqida gapirganda, vaziyatni rasmiylashtirishdir.

Ta'rif 3.6. Ratsion r yoqilgan A Mavjud ekvivalentlik munosabati, agar u refleksiv, simmetrik va tranzitiv. Ekvivalentlik munosabati a r b tez-tez ifodalanadi: a~ b.

Misol 3. 8 . Butun sonlar to‘plamidagi tenglik munosabati ekvivalentlik munosabatidir.

Misol 3. 9 . "Bir xil balandlik" munosabati - bu odamlar to'plamidagi ekvivalentlik munosabati X.

Misol 3. 1 0 . ¢ butun sonlar to‘plami bo‘lsin. Keling, ikkita raqamni nomlaylik x Va y¢ dan moduli bilan solishtirish mumkinm(m O¥) va yozing, agar bu raqamlarni bo'lingandan keyin qoldiqlari bo'lsa m, ya'ni farq ( x-y) ga bo'linadi m.

Munosabat “modul bo‘yicha solishtirish mumkin m tamsayılar" - ¢ butun sonlar to'plamidagi ekvivalentlik munosabati. Haqiqatdan ham:

bu munosabat refleksdir, chunki " uchun" x΢ bizda bor x-x=0 va shuning uchun u ga bo'linadi m;

bu munosabat nosimmetrikdir, chunki agar ( x-y) ga bo'linadi m, keyin ( y-x) ga ham bo'linadi m;

bu munosabat tranzitivdir, chunki agar ( x-y) ga bo'linadi m, keyin ba'zi bir butun son uchun t 1 bizda https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, bu yerdan , ya'ni ( x-z) ga bo'linadi m.

Ta'rif 3.7. Ratsion r yoqilgan A Mavjud qisman tartib munosabati, agar u refleksiv, antisimmetrik va tranzitiv va ° belgisi bilan ko'rsatiladi.

Qisman tartib biz qandaydir tarzda ustunlikni tavsiflamoqchi bo'lgan holatlarda muhimdir. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, qanday sharoitlarda to'plamning bir elementini boshqasidan ustun deb hisoblaymiz.

Misol 3. 11 . Munosabat x£ y haqiqiy sonlar to'plamida qisman tartib munosabati mavjud. ,

Misol 3. 1 2 . Ba'zi universal to'plamning kichik to'plamlari to'plamida U munosabat AÍ B qisman tartib munosabati mavjud.

Misol 3. 1 3 . Muassasadagi bo'ysunishni tashkil etish sxemasi - bu lavozimlar to'plamida qisman tartibli munosabatlar.

Qisman tartib munosabatining prototipi afzallik (ustunlik) munosabatining intuitiv kontseptsiyasidir. Afzallik munosabati sifatida birlashtirilishi mumkin bo'lgan muammolar sinfini aniqlaydi tanlash muammosi eng yaxshi ob'ekt .

Muammoni shakllantirish: ob'ektlar to'plami bo'lsin A va ularni afzal ko'rishga ko'ra solishtirish, ya'ni to'plamda afzallik munosabatini o'rnatish talab qilinadi A va eng yaxshi ob'ektlarni aniqlang.

Afzallik munosabatlari P, deb belgilash mumkin aPb, a, bÎ AÛ ob'ekt a ob'ektdan kam emas b"ma'nosi bo'yicha refleksiv va antisimmetrikdir (har bir ob'ekt o'zidan yomon emas va agar ob'ekt a yomonroq emas b Va b yomonroq emas a, keyin ular afzallik jihatidan bir xil bo'ladi). Bu munosabatlar, deb taxmin qilish tabiiydir P tranzitiv (masalan, manfaatlar qarama-qarshi bo'lgan bir guruh odamlar tomonidan imtiyozlar muhokama qilingan taqdirda ham, bu mulk buzilishi mumkin), ya'ni. P– qisman tartib munosabati.

Ob'ektlarni afzal ko'rish bo'yicha taqqoslash muammosini hal qilishning mumkin bo'lgan usullaridan biri oralig'ida , ya'ni ob'ektlarni imtiyoz yoki ekvivalentlikning kamayishi bo'yicha buyurtma qilish. Reyting natijasida biz "eng yaxshi" yoki "eng yomon" ob'ektlarni afzallik munosabatlari nuqtai nazaridan aniqlaymiz.

Foydalanish sohalari eng yaxshi ob'ektni tanlash muammosi bilan bog'liq muammolar: qarorlar nazariyasi, amaliy matematika, texnologiya, iqtisod, sotsiologiya, psixologiya.