Olimpiadë, detyra logjike dhe argëtuese në matematikë. Detyrat e prerjes

Me një fletë letre me gërshërë, mund të zgjidhni një shumëllojshmëri të gjerë detyrash interesante. Këto detyra nuk janë vetëm interesante apo argëtuese. Ato shpesh përmbajnë një zgjidhje praktike dhe prova të problemeve gjeometrike ndonjëherë shumë komplekse.

Le të fillojmë me rregullin kryesor të prerjes dhe palosjes: Dy shumëkëndësha quhen të përbërë në mënyrë të barabartë nëse njëri prej tyre mund të ndahet (prehet) në disa shumëkëndësha të tjerë, nga të cilët më pas mund të formohet shumëkëndëshi i dytë.

Shumëkëndëshat e përbërë në mënyrë të barabartë, natyrisht, kanë të njëjtën zonë (sipërfaqe të barabartë), dhe për këtë arsye vetia e ekuidispozitës ndonjëherë lejon që dikush të marrë formula për llogaritjen e sipërfaqeve ose të krahasojë zonat e figurave (siç thonë ata, metoda e ndarjes ose e zbërthimit). Një shembull është krahasimi (llogaritja) e sipërfaqeve të një paralelogrami dhe një drejtkëndëshi.

Çështja e përgjithshme e ekuikonstituencës së dy shumëkëndëshave nuk është aspak e thjeshtë. Ekziston një teoremë e mahnitshme që thotë se nga çdo shumëkëndësh i caktuar, duke e prerë atë në copa, mund të ndërtohet çdo shumëkëndësh tjetër i së njëjtës zonë.

Kjo teoremë merret me të ashtuquajturat poligone të thjeshta. Një shumëkëndësh i thjeshtë është një shumëkëndësh, kufiri i të cilit përbëhet nga një vijë e mbyllur pa vetëkryqëzime, dhe saktësisht dy nga lidhjet e tij konvergojnë në çdo kulm të kësaj polivije. Një pronë e rëndësishme shumëkëndësh i thjeshtëështë fakti që ka të paktën një diagonale të brendshme.

Vini re se për një transformim të pranueshëm të një drejtkëndëshi në një katror, ​​ne (Figura 3) duhej ta thynim atë në tre pjesë. Megjithatë, kjo ndarje nuk është unike. Për shembull, mund të jepni një shembull të ndarjes së një drejtkëndëshi në katër pjesë (Figura 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Çështja se cili është numri më i vogël i prerjeve të mjaftueshme për të ndërtuar një tjetër nga një figurë mbetet e hapur edhe sot e kësaj dite.

Detyra 1.

Një grua kishte një qilim drejtkëndor me përmasa 27 me 36 inç, dy qoshet e kundërta të tij ishin të prishura (Figura 5) dhe duhej të pritej, por ajo donte një qilim drejtkëndor. Ajo ia dha këtë punë mjeshtrit dhe ai e bëri. Në çfarë mënyre e bëri?

Zgjidhja e problemit mund të shihet nga Figura 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Nëse pjesa e dhëmbëzuar A hiqet nga pjesa e dhëmbëzuar B dhe më pas shtyhet prapa midis dhëmbëve të pjesës B, duke lëvizur një dhëmb në të djathtë, fitohet drejtkëndëshi i dëshiruar.

Detyra 2.

Si të bëni një katror nga pesë katrorë identikë duke prerë.

Siç tregohet në figurën 7, katër katrorët duhet të priten në një trekëndësh dhe një trapezoid. Ngjitni katër trapezoide në anët e katrorit të pestë dhe, në fund, lidhni trekëndëshat me këmbët në bazat e trapezoidëve.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Detyra 3.

Pritini katrorin në shtatë pjesë të tilla që, duke i shtuar, të fitoni tre katrorë të barabartë. (Figurat 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Detyra 4.

Pritini katrorin në tetë pjesë në mënyrë që duke i bashkuar të fitoni dy katrorë, njëri prej të cilëve është sa gjysma e tjetrit.

Figura 10 tregon se si të pritet katrori. Zgjidhja është e ngjashme me zgjidhjen e problemit të mëparshëm. Figura 11 tregon se si të shtoni pjesët për të marrë dy katrorët e dëshiruar.

Turne edukative

Detyrat për zgjidhje të pavarur nga ekipet e grupmoshës “më të re”.

Detyra 1

Një kërmilli zvarritet në një kolonë 10 m të lartë.Gjatë ditës ai ngrihet me 5 m, ndërsa gjatë natës zbret me 4 m. Sa kohë i duhet kërmillit për të arritur nga këmba në majë të kolonës?

Detyra 2

A është e mundur të hapësh një vrimë në një fletë fletoreje përmes së cilës një person mund të zvarritet?

Detyra 3

Lepurat po sharrojnë trungje. Ata bënë 10 prerje. Sa gunga dolën?

Detyra 4

Bageli pritet në sektorë. Bëra 10 prerje. Sa pjesë bëri?

Detyra 5

Në një tortë të madhe të rrumbullakët, bëhen 10 prerje në mënyrë që çdo prerje të shkojë nga skaji në skaj dhe të kalojë në qendër të tortës. Sa pjesë bëri?

Detyra 6

Dy persona kishin dy ëmbëlsira katrore. Secili bëri 2 prerje të drejta në tortën e tij nga skaji në skaj. Në të njëjtën kohë, njëri mori tre pjesë, dhe tjetri katër. Si mund të jetë?

Detyra 7

Lepurët po sharrojnë trurin përsëri, por tani të dy skajet e trurit janë rregulluar. Dhjetë gunga të mesme ranë dhe dy ekstremet mbetën të rregulluara. Sa prerje bënë lepujt?

Detyra 8

Si të ndani një petull me tre prerje të drejta në 4.5, 6, 7 pjesë?

Detyra 9

Mbi një tortë drejtkëndëshe shtrihet një çokollatë e rrumbullakët. Si ta prisni tortën në dy pjesë të barabarta në mënyrë që edhe çokollata të ndahet saktësisht në gjysmë?

Detyra 10

A është e mundur të piqni një tortë që mund të ndahet në 4 pjesë me një prerje të drejtë?

Detyra 11

Cili është numri maksimal i pjesëve në të cilat mund të ndahet një petull i rrumbullakët duke përdorur tre prerje të drejta?

Detyra 12

Sa herë janë më të gjata shkallët për në katin e katërt të shtëpisë sesa shkallët për në katin e dytë të së njëjtës shtëpi?

Detyra 13

Giuseppe ka një fletë kompensatë, madhësia 22 × 15. Giuseppe dëshiron të presë sa më shumë boshllëqe drejtkëndëshe të madhësisë 3 prej saj × 5. Si ta bëjmë atë?

Detyra 14

NË Toka Magjike ligjet e tyre magjike të natyrës, njëra prej të cilave thotë: "Një qilim fluturues do të fluturojë vetëm kur ka një formë drejtkëndëshe".

Ivan Tsarevich kishte një qilim fluturues me madhësi 9 × 12. Një herë Gjarpri Gorynych u zvarrit dhe preu një qilim të vogël me madhësi 1 nga ky tapet. × 8. Ivan Tsarevich ishte shumë i mërzitur dhe donte të priste një pjesë tjetër 1 × 4 për të bërë drejtkëndëshin 8 × 12, por Vasilisa e Urti sugjeroi t'i bëni gjërat ndryshe. Ajo e preu tapetin në tre pjesë, nga të cilat qepi me fije magjike një tapet fluturues katror, ​​madhësia 10. × 10.

A mund ta merrni me mend se si Vasilisa e Urta e riparoi tapetin e dëmtuar?

Detyra 15

Kur Gulliver arriti në Lilliput, ai zbuloi se të gjitha gjërat atje ishin saktësisht 12 herë më të shkurtra se në atdheun e tij. A mund të thoni sa kuti liliputiane shkrepësesh do të futen në kutinë e shkrepëseve të Gulliver-it?

Detyra 16

Në direk Anije piratesh valëvitet një flamur drejtkëndor me dy ngjyra, i përbërë nga vija vertikale të alternuara bardh e zi me të njëjtën gjerësi. Numri i përgjithshëm i korsive është i barabartë me numrin e të burgosurve aktualisht në anije. Në fillim kishte 12 të burgosur në anije dhe 12 vija në flamur; më pas dy të burgosur u arratisën. Si ta presim flamurin në dy pjesë dhe pastaj t'i qepim së bashku në mënyrë që sipërfaqja e flamurit dhe gjerësia e shiritave të mos ndryshojnë, por numri i shiritave të bëhet 10?

Problemi 17

Shënoni një pikë në rreth. A është e mundur që ky rreth të pritet në tre pjesë në atë mënyrë që të jetë e mundur të shtohet rrethi i ri, pika e shënuar e kujt do të ishte në qendër?

Problemi 18

A është e mundur të pritet një katror në katër pjesë në mënyrë që secila pjesë të jetë në kontakt me (d.m.th., të ketë pjesë të përbashkëta të kufirit) me tre të tjera?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Problemi 29

Është e lehtë të pritet një katror në dy trekëndësha të barabartë ose dy katërkëndësha të barabartë. Por si të pritet një katror në dy pesëkëndësha të barabartë ose dy gjashtëkëndësha të barabartë?

Problemi 30

Ivan Tsarevich shkoi të kërkonte Vasilisa të Bukurën, e cila ishte rrëmbyer nga Koshchei. Leshy do ta takojë atë.

E di, - thotë ai, - shkova në Mbretërinë Koshçeevo, ndodhi, shkova atje. Kam ecur katër ditë e katër netë. Ditën e parë shkova një të tretën e rrugës - një rrugë e drejtë në veri. Pastaj u kthye nga perëndimi, kaloi me këmbë në pyll për një ditë dhe eci gjysmën e më shumë. Për të tretën ditë eca nëpër pyll, tashmë në jug, dhe dola në një rrugë të drejtë që të çon në lindje. Eca përgjatë saj 100 milje në ditë dhe përfundova në mbretërinë Koshcheevo. Ju jeni një shëtitës po aq i egër sa unë. Shko, Ivan Tsarevich, e sheh, në ditën e pestë do të vizitosh Koshchei.

Jo, - u përgjigj Ivan Tsarevich, - nëse gjithçka është ashtu siç thua ti, atëherë nesër do të shoh Vasilisa ime e Bukur.

A ka të drejtë? Sa verstë shkoi Leshy dhe sa larg mendon të shkojë Ivan Tsarevich?

Problemi 31

Dilni me një ngjyrosje të faqeve të kubit në mënyrë që në tre pozicione të ndryshme të duket si ajo e treguar në foto. (Specifikoni se si të ngjyrosni skajet e padukshme ose të vizatoni një rrjetë.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Problemi 32

Numizmatisti Fedya i ka të gjitha monedhat me diametër jo më shumë se 10 cm. Ai i ruan në një kuti të sheshtë me përmasa 30 cm * 70 cm (në një shtresë). Atij iu dhurua një monedhë me diametër 25 cm Vërtetoni se të gjitha monedhat mund të vendosen në një kuti të sheshtë me përmasa 55 cm * 55 cm.

Problemi 33

Qelia qendrore ishte prerë nga një katror 5×5. Pritini formën që rezulton në dy pjesë që mund të mbështjellin një kub 2x2x2.

Problemi 34

Pritini këtë katror përgjatë anëve të qelizave në katër pjesë në mënyrë që të gjitha pjesët të kenë të njëjtën madhësi dhe të njëjtën formë, dhe në mënyrë që secila pjesë të përmbajë një rreth dhe një yll.

Problemi 35

Parkimi në Qytetin e Luleve është një shesh 7x7, në secilin prej të cilit mund të parkoni një makinë. Parkimi është i rrethuar me gardh, njëra anë e kafazit të këndit është hequr (kjo është porta). Makina ecën në një pistë të gjerë në kafaz. Dunno-s iu kërkua të vendoste sa më shumë makina në parking në mënyrë të tillë që të mund të largohej ndërsa të tjerët ishin në këmbë. Dunno organizoi 24 makina siç tregohet në fig. Përpiquni t'i rregulloni makinat në një mënyrë tjetër për të përshtatur më shumë prej tyre.

Problemi 36

Petya dhe Vasya jetojnë në shtëpitë fqinje (shiko planin në foto). Vasya jeton në hyrjen e katërt. Dihet që Petya, për të vrapuar në Vasya rruga më e shkurtër(jo domosdoshmërisht duke shkuar përgjatë anëve të qelizave), nuk ka rëndësi se në cilën anë të vraponi nëpër shtëpinë tuaj. Përcaktoni se në cilën hyrje jeton Petya.

Problemi 37

Sugjeroni një mënyrë për të matur diagonalen e një tulle të zakonshme, e cila zbatohet lehtësisht në praktikë (pa teoremën e Pitagorës).

Problemi 38

Pritini kryqin, të përbërë nga pesë katrorë identikë, në tre shumëkëndësha, të barabartë në sipërfaqe dhe perimetër.

Problemi 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

Për vëmendjen e mësuesve të matematikës dhe mësuesve të lëndëve dhe qarqeve të ndryshme zgjedhore, ofrohet një përzgjedhje e problemeve argëtuese dhe zhvillimore të prerjes gjeometrike. Qëllimi i përdorimit të detyrave të tilla nga një mësues në klasat e tij nuk është vetëm të interesojë studentin për kombinime interesante dhe efektive të qelizave dhe formave, por edhe të formojë tek ai një ndjenjë të vijave, këndeve dhe formave. Grupi i detyrave u drejtohet kryesisht fëmijëve të klasave 4-6, megjithëse është e mundur të përdoret edhe me nxënës të shkollave të mesme. Ushtrimet kërkojnë që studentët të kenë një përqendrim të lartë dhe të qëndrueshëm të vëmendjes dhe janë të shkëlqyera për zhvillim dhe trajnim. kujtesa vizuale. Rekomandohet për mësuesit e matematikës që përgatisin studentët për provimet pranuese në shkollat ​​dhe klasat e matematikës që vendosin kërkesa të veçanta në nivelin e të menduarit të pavarur dhe krijimtarisë së fëmijës. Niveli i detyrave korrespondon me nivelin e olimpiadave hyrëse në liceun "shkollën e dytë" (shkollën e dytë matematikore), Mekhmatin e vogël të Universitetit Shtetëror të Moskës, shkollën Kurchatov, etj.

Shënimi i mësuesit të matematikës:
Në disa zgjidhje problemore, të cilat mund t'i shikoni duke klikuar në treguesin përkatës, tregohet vetëm një nga shembujt e mundshëm të prerjes. E pranoj plotësisht që mund të merrni një kombinim tjetër të saktë - mos kini frikë nga kjo. Kontrolloni me kujdes zgjidhjen e miut tuaj dhe nëse plotëson kushtin, atëherë mos ngurroni të merrni përsipër detyrën tjetër.

1) Mundohuni ta prisni figurën e treguar në figurë në 3 pjesë të barabarta:

: Shifrat e vogla janë shumë të ngjashme me shkronjën T

2) Tani prerë këtë shifër në 4 pjesë të barabarta:

Këshillë për mësuesin e matematikës: Është e lehtë të merret me mend se figurat e vogla do të përbëhen nga 3 qeliza, dhe nuk ka aq shumë figura me tre qeliza. Ekzistojnë vetëm dy lloje të tyre: një qoshe dhe një drejtkëndësh 1 × 3.

3) Pritini këtë figurë në 5 pjesë të barabarta:

Gjeni numrin e qelizave nga secila figurë e tillë. Këto figurina duken si shkronja G.

4) Dhe tani ju duhet të prisni figurën e dhjetë qelizave në 4 të pabarabartë drejtkëndësh (ose katror) me njëri-tjetrin.

Tregimi i një tutori në matematikë: Zgjidhni një drejtkëndësh dhe më pas provoni të futni tre të tjerë në qelizat e mbetura. Nëse nuk funksionon, atëherë ndryshoni drejtkëndëshin e parë dhe provoni përsëri.

5) Detyra bëhet më e ndërlikuar: ju duhet ta prisni figurën në 4 të ndryshme në formë figura (jo domosdoshmërisht në drejtkëndësha).

Këshillë për mësuesin e matematikës: fillimisht vizatoni të gjitha llojet e formave veç e veç forma të ndryshme(do të jenë më shumë se katër) dhe përsëritni metodën e numërimit të opsioneve si në detyrën e mëparshme.
:

6) Priteni këtë figurë në 5 figura me katër qeliza me forma të ndryshme në mënyrë që në secilën prej tyre të plotësohet vetëm një qelizë e gjelbër.

Këshillë për mësuesin e matematikës: Mundohuni të filloni prerjen nga skaji i sipërm i kësaj forme dhe menjëherë do të kuptoni se si të vazhdoni.
:

7) Bazuar në problemin e mëparshëm. Gjeni sa figura të formave të ndryshme ka, të përbëra saktësisht nga katër qeliza? Shifrat mund të përdredhen, rrotullohen, por është e pamundur të ngrihet sostole (nga sipërfaqja e saj), në të cilën shtrihet. Kjo do të thotë, dy figurat e dhëna nuk do të konsiderohen të barabarta, pasi ato nuk mund të merren nga njëra-tjetra me rrotullim.

Këshillë për mësuesin e matematikës: Studioni zgjidhjen e problemit të mëparshëm dhe përpiquni të imagjinoni pozicionet e ndryshme të këtyre figurave gjatë rrotullimit. Është e lehtë të merret me mend se përgjigja në problemin tonë do të jetë numri 5 ose më shumë. (Në fakt, edhe më shumë se gjashtë). Gjithsej janë 7 lloje të figurave të përshkruara.

8) Pritini një katror me 16 qeliza në 4 pjesë të barabarta në mënyrë që secila nga katër pjesët të ketë saktësisht një qelizë të gjelbër.

Këshillë për mësuesin e matematikës: Pamja e figurave të vogla nuk është një katror apo një drejtkëndësh, madje as një cep prej katër qelizash. Pra, në cilat forma duhet të përpiqemi të presim?

9) Pritini figurën e përshkruar në dy pjesë në mënyrë që një katror të mund të paloset nga pjesët që rezultojnë.

Këshillë për mësuesin e matematikës: Në total ka 16 qeliza në figurë, që do të thotë se katrori do të jetë 4 × 4 në madhësi. Dhe disi ju duhet të mbushni dritaren në mes. Si ta bëjmë atë? Ndoshta një lloj ndryshimi? Pastaj, meqenëse gjatësia e drejtkëndëshit është e barabartë me një numër tek të qelizave, prerja duhet të bëhet jo me një prerje vertikale, por përgjatë një vije të thyer. Kështu që pjesa e sipërme të pritet nga njëra anë nga qelizat e mesme, dhe pjesa e poshtme nga ana tjetër.

10) Prisni një drejtkëndësh 4×9 në dy pjesë në mënyrë që si rezultat të shtoni një katror prej tyre.

Këshillë për mësuesin e matematikës: Ka 36 qeliza në drejtkëndësh. Prandaj, katrori do të jetë 6 × 6 në madhësi. Meqenëse ana e gjatë përbëhet nga nëntë qeliza, tre prej tyre duhet të priten. Si do të shkojë kjo prerje?

11) Kryqi i pesë qelizave të paraqitur në figurë duhet të pritet (ju mund t'i prisni vetë qelizat) në pjesë të tilla nga të cilat mund të paloset një katror.

Këshillë për mësuesin e matematikës: Është e qartë se sido që të presim përgjatë vijave të qelizave, nuk do të marrim një katror, ​​pasi janë vetëm 5 qeliza. Kjo është e vetmja detyrë në të cilën lejohet prerja jo në qeliza. Sidoqoftë, do të ishte mirë t'i lini ato si udhëzues. për shembull, vlen të përmendet se ne disi duhet të heqim gropat që kemi - domethënë, në qoshet e brendshme të kryqit tonë. Si do ta bënit? Për shembull, prerja e disa trekëndëshave të dalë nga qoshet e jashtme kryq...

(7 pikë) Jepni një shembull të dy thyesave të zakonshme, ndryshimi i të cilave është trefishi i produktit të tyre. Jepni llogaritjet që justifikojnë këtë pronë.

Përgjigju. Për shembull, 1/2 dhe 1/5

Zgjidhje

I përshtatshëm për çdo fraksion 1/n Dhe 1/(n+3), ka zgjidhje të tjera.

Kriteret e verifikimit

• Jepet përgjigja e saktë pa arsyetim - 3 pikë.

Detyra 2

(7 pikë) Tregoni se si të prisni një figurë në tre pjesë dhe të bëni një katror prej tyre.

Zgjidhje

1 mënyrë

2 mënyra

Zgjidhje të tjera janë gjithashtu të mundshme.

Kriteret e verifikimit.

• Çdo zgjidhje e saktë (fotografitë tregojnë se si të pritet një trapez dhe si të paloset një katror) - 7 pikë.
• Zgjidhja jo e plotë (tregon vetëm se si të pritet një trapezoid ose si të paloset një katror) - 3 pikë.

Detyra 3

(7 pikë) Në tabelë shkruhet numri 49. Me një lëvizje lejohet ose dyfishimi i numrit ose fshirja e shifrës së fundit. A është e mundur të merret numri 50 në disa lëvizje?

Përgjigju. Mund.

Zgjidhje

Numri 50 mund të merret duke dyfishuar 25, dhe 25 mund të merret duke fshirë shifrën e fundit të 256, që është një fuqi prej dy. Kështu, zinxhiri i kërkuar i transformimeve mund të duket si ky:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Ka edhe zgjidhje të tjera.

Kriteret e verifikimit.

• Çdo zgjidhje e plotë e saktë - 7 pikë.
• Zgjidhje jo e plotë (për shembull, tregohet se 50 mund të merret nga numri 256, por nuk tregohet se si të merret 256) - 3 pikë.

Detyra 4

(7 pikë) Një nga tre miqtë: Andrei, Boris ose Vladimir është më i forti, tjetri është më i zgjuari, i treti është më i sjellshmi. Një herë ata thanë sa vijon:

Andrey: Vladimiri është më i fortë se unë.

Boris : Unë jam më i zgjuar se Vladimir.

Vladimir : Boris është më i zgjuar se unë.

Dihet se më i forti dhe më i sjellshmi thoshin të vërtetën, më inteligjenti gënjeu dhe mes tyre nuk ka dy njerëz të barabartë në forcë.

A është e vërtetë që mes tre miqve, ai që është më i sjellshëm është edhe më i dobëti?

Arsyetoni përgjigjen tuaj.

Përgjigju. Po.

Zgjidhje

Le të shënojmë: A - Andrey, B - Boris, C - Vladimir. Deklaratat B dhe C përsërisin njëra-tjetrën, dhe meqenëse ka vetëm një deklaratë të rreme midis të treve, B dhe C thanë të vërtetën, A - një gënjeshtër. Prandaj, A është më i zgjuari (sipas kushteve), A është më i fortë se B (sepse A gënjeu), dhe B është më i zgjuar se C (sepse B dhe C thanë të vërtetën). Meqenëse A është më e fortë se B, atëherë B nuk është më e forta. Rezulton se B është më i forti, A është mesatar në forcë, C është më i dobëti. Në të njëjtën kohë, C nuk është më i zgjuari dhe jo më i forti, që do të thotë se ai është më i sjellshmi.

Për qartësi, mund të futni informacionin e disponueshëm në një tabelë. Ne do të përcaktojmë "vendet" e secilës cilësi: 1 - vendi i parë (më i zgjuari / më i fortë / më i sjellshmi), 2 - mesatar, 3 - vendi i fundit.

Nga tabela shihet se B - më i sjellshmi dhe më i dobëti.

Kriteret e verifikimit

• Çdo zgjidhje e plotë e saktë - 7 pikë.
• Është gjetur saktë dhe me arsye se kush është më i fortë, kush është më i zgjuari dhe kush është më i sjellshmi, dhe nuk ka përparim të mëtejshëm - 5 pikë.
• I pranuar në mënyrë të arsyeshme, Andrey është më i zgjuari, miqtë shpërndahen saktë nga forca (të 3 vendet), por nuk u pranuan ose nuk lidhen me faktin se Vladimir është më i sjellshmi, - 5 pikë.
• Arsyetimi jepet vetëm për një rast të veçantë (për shembull, konsiderohet vetëm rasti që Andrei tha një gënjeshtër) pa marrë parasysh raste të tjera të veçanta dhe pa treguar pamundësinë e tyre - 2 pikë.
• Përgjigja e saktë që tregon se kush është më i zgjuari, kush është më i fortë dhe kush është më i sjellshmi, me një kontroll që me një rregullim të tillë të plotësohen të gjitha kushtet e problemit, por pa arsyetim - 2 pikë.
• U bë një gabim që në fillim të arsyetimit - 0 pikë.
• Jepet vetëm përgjigja - 0 pikë.

Detyra 5

(7 pikë) Mami ecën me karrocë rreth liqenit dhe e anashkalon plotësisht liqenin në 12 minuta. Vanya nget një skuter përgjatë së njëjtës rrugë në të njëjtin drejtim dhe takon (parakalon) nënën e tij çdo 12 minuta. Në cilat intervale kohore

A do ta takojë Vanya nënën e tij nëse vozit me të njëjtën shpejtësi, por në drejtim të kundërt?

Përgjigju . Pas 4 minutash.

Zgjidhje

Meqenëse nëna e anashkalon plotësisht liqenin në 12 minuta dhe takohet me Vanya një herë në 12 minuta, në 12 minuta Vanya kalon rreth liqenit saktësisht 2 herë, dhe nëna - një herë. Kjo do të thotë që shpejtësia e Vanya është 2 herë shpejtësia e nënës. Nga kjo rrjedh se kur Vanya po udhëtonte në të njëjtin drejtim si nëna e tij, shpejtësia e afrimit të tyre ishte e barabartë me shpejtësinë e nënës së tij. Nëse Vanya shkon në drejtim të kundërt, atëherë shpejtësia e konvergjencës së tyre do të jetë e barabartë me tre shpejtësitë e nënës, domethënë do të jetë tre herë më shumë. Kjo do të thotë se ai do të takohet me nënën e tij tre herë më shpesh, pra çdo 4 minuta.

Ky arsyetim mund të kryhet duke futur një shënim për gjatësinë e pistës.

Le te jete a- gjatësia e shtegut rreth liqenit (në metra), atëherë shpejtësia e nënës është a/12 (m/min) dhe shpejtësia e Vanya është a/6 (m/min). Shpejtësia e konvergjencës në rast se nëna dhe Vanya po shkojnë drejt njëri-tjetrit është e barabartë me 3 a/12=a/4 (m/min). Prandaj, me një shpejtësi të tillë ata do të kapërcejnë së bashku a metra në 4 minuta, pra do të takohen çdo 4 minuta.

Kriteret e verifikimit

• Çdo zgjidhje e plotë e saktë - 7 pikë.
• U zbulua saktë se shpejtësia e Vanya është 2 herë më e madhe se shpejtësia e nënës, shuma e shpejtësive u gjet saktë, por përfundimi përfundimtar u bë gabim - 2 pikë.
• Me të drejtë dhe me arsye u zbulua se shpejtësia e Vanya është 2 herë më e madhe se shpejtësia e nënës, por arsyetimi i mëtejshëm ose nuk justifikohet ose nuk është përfunduar - 1 pikë.
• Zgjidhja në të cilën jepen distanca dhe shpejtësi specifike dhe merret përgjigja e saktë është 1 pikë.
• Vetëm përgjigja e saktë - 0 pikë.

Rezultati maksimal për të gjitha detyrat e përfunduara është 35.