모양을 자르고 접습니다. 가위를 사용하여 체크 무늬 종이 한 장으로 가장 다양하고 흥미로운 문제를 많이 해결할 수 있습니다.

가위를 사용하여 체크 무늬 종이 한 장으로 가장 다양하고 흥미로운 문제를 많이 해결할 수 있습니다. 이러한 작업은 재미있거나 흥미롭기만 한 것이 아닙니다. 그것들은 종종 매우 복잡한 기하학적 문제의 실용적인 솔루션이자 증거입니다.

자르기 및 접기의 일반적인 규칙부터 시작하겠습니다. 두 폴리곤 중 하나가 다른 폴리곤으로 분할(절단)될 수 있고 두 번째 폴리곤을 만들 수 있는 경우 두 폴리곤은 가위 합동이라고 합니다.

동일하게 합성된 다각형은 물론 동일한 면적(동일한 면적)을 가지므로 동일 합성물의 특성으로 인해 때때로 면적 계산 공식을 얻거나 도형의 면적을 비교할 수 있습니다(그들이 말했듯이, 분할 또는 분해에 의해). 예를 들면 평행사변형과 직사각형의 면적을 비교(계산)하는 것입니다.

두 다각형의 평등에 대한 일반적인 질문은 간단하지 않습니다. 어떤 주어진 다각형에서 그것을 여러 부분으로 자르면 같은 면적의 다른 다각형을 만들 수 있다는 놀라운 정리가 있습니다.

이 정리는 소위 단순 다각형을 다룹니다. 단순 다각형은 경계가 자체 교차가 없는 하나의 닫힌 선으로 구성되고 해당 링크 중 정확히 2개가 이 폴리라인의 각 꼭짓점에서 수렴되는 다각형입니다. 중요한 재산 단순한 다각형내부 대각선이 하나 이상 있다는 사실입니다.

직사각형을 정사각형으로 허용 가능한 변환을 위해 우리(그림 3)를 세 부분으로 분할해야 했습니다. 그러나 이 부문만 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 직사각형을 네 부분으로 나누는 예를 들 수 있습니다(그림 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif "너비 =" 356 " 높이 =" 391 src = ">

한 인물에서 다른 인물을 구성하기에 충분한 최소 절단 수는 얼마인지에 대한 질문은 오늘날까지 남아 있습니다.

목적 1.

한 여성은 27 x 36인치 크기의 직사각형 러그를 가지고 있었고 반대쪽 모서리 2개가 닳았고(그림 5) 잘려야 했지만 직사각형 러그를 원했습니다. 그녀는 이 일을 주인에게 주었고 그는 그것을 했습니다. 그는 어떻게 했습니까?

문제에 대한 해결책은 그림 6에서 볼 수 있습니다.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif "너비 =" 286 " 높이 =" 240 src = ">

톱니 부분 A를 톱니 부분 B에서 제거한 다음 부품 B의 톱니 사이에 다시 삽입하여 톱니 하나를 오른쪽으로 이동하면 원하는 직사각형이 됩니다.

목적 2.

5개의 동일한 정사각형을 잘라서 정사각형을 만드는 방법.

그림 7과 같이 네 개의 정사각형을 삼각형과 사다리꼴로 잘라야 합니다. 네 개의 사다리꼴을 다섯 번째 정사각형의 측면에 부착하고 마지막으로 다리가 있는 삼각형을 사다리꼴의 바닥에 부착합니다.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif "너비 =" 382 " 높이 =" 271 src = ">

목적 3.

정사각형을 7등분하여 더하면 3개의 동일한 정사각형이 됩니다. (그림 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif "너비 =" 188 " 높이 =" 189 src = ">

작업 4.

정사각형을 여덟 부분으로 잘라 더할 때 두 개의 정사각형을 얻습니다. 그 중 하나는 다른 것의 절반 크기입니다.

그림 10은 정사각형을 자르는 방법을 보여줍니다. 솔루션은 이전 문제의 솔루션과 유사합니다. 그림 11은 원하는 두 개의 정사각형을 얻기 위해 조각을 추가해야 하는 방법을 보여줍니다.

공부 여행

"젊은"연령 그룹의 팀별 독립적 인 솔루션 작업

문제 1

달팽이는 10m 높이의 기둥을 기어 올라갑니다. 낮에는 5m 올라가고 밤에는 4m 내려갑니다 달팽이가 기둥의 발에서 기둥 꼭대기까지 올라가는 데 얼마나 걸립니까?

작업 2

노트북 시트에 사람이 기어 들어갈 수 있는 구멍을 자를 수 있습니까?

문제 3

토끼가 통나무를 톱질하고 있습니다. 그들은 10 컷을 만들었습니다. 얼마나 많은 블록을 얻었습니까?

문제 4

베이글은 섹터로 잘립니다. 10개의 절개가 이루어졌습니다. 몇 조각을 얻었습니까?

문제 5

크고 둥근 케이크에 10컷을 만들어 각 컷이 가장자리에서 가장자리로, 그리고 케이크의 중앙을 통과하도록 했습니다. 몇 조각을 얻었습니까?

문제 6

두 사람은 두 개의 사각형 케이크를 먹었습니다. 모두 케이크 가장자리에서 가장자리까지 2개의 직선 컷을 만들었습니다. 이 경우 하나는 3개, 다른 하나는 4개입니다. 이것이 어떻게 될 수 있습니까?

문제 7

산토끼가 다시 통나무를 자르고 있지만 이제 통나무의 양쪽 끝이 안전합니다. 10개의 중간 블록이 떨어졌고 두 개의 가장 바깥쪽 블록은 고정된 상태로 유지되었습니다. 토끼는 몇 컷을 했습니까?

문제 8

3 개의 직선 컷으로 팬케이크를 4.5, 6, 7 조각으로 나누는 방법은 무엇입니까?

문제 9

직사각형 케이크에 둥근 초콜릿 바가 있습니다. 초콜릿도 정확히 반으로 나누도록 케이크를 두 개의 동일한 부분으로 자르는 방법은 무엇입니까?

문제 10

한 컷으로 4등분할 수 있는 케이크를 구울 수 있을까?

과제 11

둥근 팬케이크를 직선 세 개로 나눌 수 있는 최대 조각 수는 몇 개입니까?

과제 12

한 건물의 4층으로 가는 계단이 같은 건물의 2층으로 가는 계단보다 몇 배나 더 길까요?

과제 13

Giuseppe는 합판 한 장, 크기 22를 가지고 있습니다. × 15. Giuseppe는 크기 3의 직사각형 조각만큼 잘라내고 싶어합니다. × 5. 어떻게 하나요?

과제 14

V 마법의 땅자연의 마법 법칙 중 하나는 "날아다니는 양탄자는 직사각형 모양일 때만 날아갈 것입니다."라고 되어 있습니다.

Ivan Tsarevich는 플라잉 카펫 사이즈 9를 가지고 있었습니다. × 12. 어느 날 뱀 고리니크(Serpent Gorynych)가 살금살금 다가와 이 카펫에서 크기 1의 작은 깔개를 잘라냈습니다. × 8. Ivan Tsarevich는 매우 화가 나서 다른 조각을 자르고 싶었습니다 1 × 4 직사각형 8 만들기 × 12, 그러나 Vasilisa Wise는 다른 일을 제안했습니다. 그녀는 카펫을 세 조각으로 자르고 마법 실로 10개의 정사각형 플라잉 카펫을 꿰매었습니다. × 10.

Vasilisa Wise가 손상된 카펫을 어떻게 다시 만들었는지 짐작할 수 있습니까?

과제 15

걸리버는 릴리풋에 도착했을 때 모든 것이 그의 고향보다 정확히 12배 짧다는 것을 발견했습니다. 걸리버의 성냥갑에 몇 개의 Lilliputian 성냥갑이 들어갈 수 있습니까?

과제 16

돛대에 해적선동일한 너비의 흑백 세로 줄무늬가 번갈아 가며 구성된 2 색 직사각형 깃발이 펄럭입니다. 총 줄무늬 수는 현재 배에 있는 죄수 수와 같습니다. 처음에는 배에 12명의 죄수가 있었고 깃발에는 12개의 줄무늬가 있었습니다. 그러자 두 명의 죄수가 탈출했다. 깃발의 면적과 줄무늬의 너비가 변하지 않고 줄무늬의 수는 10이 되도록 깃발을 둘로 자른 다음 함께 꿰매는 방법은 무엇입니까?

과제 17

원 안에 점이 표시되었습니다. 이 원을 세 부분으로 잘라 접을 수 있습니까? 새로운 원, 표시된 점이 중앙에 있는 곳은?

과제 18

각 부분이 다른 세 부분과 접촉하도록(즉, 경계의 공통 부분이 있음) 정사각형을 네 부분으로 자르는 것이 가능합니까?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif "너비 =" 123 " 높이 =" 125 ">

과제 29

정사각형을 두 개의 동일한 삼각형 또는 두 개의 동일한 사각형으로 쉽게자를 수 있습니다. 정사각형을 두 개의 동일한 오각형 또는 두 개의 동일한 육각형으로 자르는 방법은 무엇입니까?

과제 30

Ivan Tsarevich는 Koshchei에게 납치된 Vasilisa Beautiful을 찾으러 갔다. 고블린이 그를 만납니다.

알아요. - 그가 말하길, - 나는 그곳에 Koscheevo 왕국에 가곤 했습니다. 4박 4일을 걸었습니다. 첫날에 나는 길의 3분의 1, 즉 북쪽으로 가는 직선 도로를 덮었습니다. 그런 다음 그는 서쪽으로 몸을 돌려 하루 동안 숲 속을 밀고 절반을 걸었습니다. 사흘째 되는 날 나는 이미 남쪽에 있는 숲속을 지나 동쪽으로 곧게 뻗은 길로 나왔다. 나는 그 길을 따라 하루에 100마일을 걸었고 결국 Koscheevo 왕국에 이르렀습니다. 당신은 나만큼 빨리 걷는 사람입니다. 가십시오, Ivan Tsarevich, 다섯 번째 날에 Koschei를 방문하게 될 것입니다.

아니요, - Ivan Tsarevich가 대답했습니다. - 모든 것이 당신의 말대로라면 내일 나는 아름다운 Vasilisa를 볼 것입니다.

그가 맞습니까? Leshy는 몇 마일을 갔고 Ivan Tsarevich는 얼마나 갈 것이라고 생각합니까?

과제 31

세 가지 다른 위치에서 그림과 같이 보이도록 정육면체의 측면을 색칠해 보세요. (보이지 않는 모서리의 색상을 지정하거나 플랫 패턴을 그리는 방법을 나타냅니다.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif "정렬 = 왼쪽 "너비 = 205" 높이 = 205 src = "> 과제 32

화폐학자 Fedya에서 모든 동전의 지름은 10cm 이하이며 30cm * 70cm(한 층) 크기의 평평한 상자에 보관합니다. 그는 직경 25cm의 동전을 받았고 모든 동전을 55cm * 55cm 크기의 평평한 상자 하나에 넣을 수 있음을 증명하십시오.

과제 33

중앙 셀은 5 × 5 정사각형에서 잘라냈습니다. 결과 모양을 2x2x2 큐브를 감싸는 데 사용할 수 있는 두 조각으로 자릅니다.

과제 34

모든 부분이 같은 크기와 모양이 되도록 셀의 측면을 따라 이 정사각형을 네 부분으로 자르고 각 부분에 하나의 원과 하나의 별이 포함되도록 합니다.

과제 35

꽃의 도시 주차장은 7x7 크기로 각 공간에 차를 주차할 수 있습니다. 주차장은 울타리로 둘러싸여 있으며 코너 케이지의 측면 중 하나가 제거되었습니다 (이것이 게이트입니다). 자동차는 케이지 전체 트랙을 따라 주행합니다. Dunno는 다른 사람들이 서 있을 때 누구나 떠날 수 있도록 가능한 한 많은 차를 주차장에 배치하라는 요청을 받았습니다. Dunno는 그림과 같이 24대의 차량을 배치했습니다. 더 많은 것을 수용하기 위해 차를 다르게 배열하십시오.

과제 36

Petya와 Vasya는 이웃 집에 살고 있습니다(그림의 계획 참조). Vasya는 네 번째 입구에 살고 있습니다. 피트가 Vasya에게 달려가는 것으로 알려져 있습니다. 최단거리(반드시 우리의 측면을 따라 걷는 것은 아님), 어느 쪽을 집 주위로 달려야 하는지는 중요하지 않습니다. Petya가 사는 입구를 결정하십시오.

과제 37

실제로 구현하기 쉬운(피타고라스 정리 없이) 일반 벽돌의 대각선을 측정하는 방법을 제안합니다.

과제 38

5개의 동일한 정사각형으로 구성된 십자가를 면적과 둘레가 동일한 3개의 다각형으로 자릅니다.

과제 39

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.gif "너비 = 212 "높이 = 139 "> 8)

(7점) 차이가 곱의 3배인 두 개의 일반 분수의 예를 제시하십시오. 이 속성을 정당화하는 계산을 제공합니다.

답변... 예를 들어 1/2 및 1/5

해결책

형식의 모든 분수 1/n그리고 1 / (n + 3), 다른 솔루션이 있습니다.

테스트 기준

정답은 정당성 없이 주어집니다 - 3점.

과제 2

(7점) 도형을 세 조각으로 자르고 정사각형으로 접는 방법을 보여줍니다.

해결책

편도

투웨이

다른 솔루션도 가능합니다.

검증 기준.

모든 올바른 솔루션(그림은 사다리꼴을 자르는 방법과 정사각형을 접는 방법을 보여줍니다) - 7점.
불완전 솔루션(사다리꼴 자르는 방법 또는 정사각형 접는 방법만 표시) - 3점.

과제 3

(7점) 숫자 49는 칠판에 쓰여 있으며 한 번의 이동으로 숫자를 두 배로 늘리거나 마지막 숫자를 지울 수 있습니다. 몇 번의 움직임으로 숫자 50을 얻을 수 있습니까?

답변... 할 수있다.

해결책

숫자 50은 25를 곱하면 얻을 수 있고, 25는 2의 거듭제곱인 256의 마지막 자릿수를 지워서 얻을 수 있습니다. 따라서 필요한 변환 체인은 다음과 같을 수 있습니다.

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

다른 솔루션도 있습니다.

검증 기준.

모든 완전한 올바른 결정 - 7점.
불완전한 솔루션(예: 숫자 256에서 50을 얻을 수 있다고 표시되지만 256을 얻는 방법은 표시되지 않음) - 3점.

과제 4

(7점) 세 친구 중 하나: Andrey, Boris 또는 Vladimir가 가장 강하고 다른 하나는 가장 똑똑하고 세 번째는 가장 친절합니다. 그들은 한때 다음과 같이 말했습니다.

안드레이: 블라디미르는 나보다 강하다.

보리스 : 나는 블라디미르보다 똑똑하다.

블라디미르 보리스는 나보다 똑똑하다.

가장 강하고 착한 사람이 진실을 말하고 가장 똑똑한 사람이 거짓말을 하며, 그들 중에 힘이 같은 사람은 두 사람이 없다고 알려져 있습니다.

세 친구 중에 가장 착한 자가 가장 약하다는 말이 사실입니까?

당신의 대답을 정당화하십시오.

답변... 예.

해결책

A - Andrey, B - Boris, C - Vladimir를 지정합시다. B와 C의 진술은 서로 반복되며, 셋 중 거짓 진술이 하나만 있기 때문에 B와 C는 진실 A - 거짓을 말했다. 따라서 A는 가장 똑똑하고(조건에 따라), A는 C보다 강하고(A가 거짓말을 했기 때문에) B는 C보다 똑똑합니다(B와 C가 진실을 말했기 때문에). A가 B보다 강하기 때문에 B가 가장 강하지 않습니다. 가장 강한 것은 B, 평균 강도는 A, 가장 약한 것은 B입니다. 동시에 C가 가장 똑똑하지도 않고 가장 강하지도 않기 때문에 그가 가장 친절하다는 것을 의미합니다.

명확성을 위해 표에 사용 가능한 정보를 입력할 수 있습니다. 우리는 각 품질의 "장소"를 지정할 것입니다: 1 - 1위(가장 똑똑한 / 가장 강한 / 종류), 2 - 평균, 3 - 마지막 장소.

표는 다음을 보여줍니다. B - 가장 친절하고 약한.

테스트 기준

모든 완전한 올바른 결정 - 7점.
누가 가장 강하고 누가 가장 똑똑하고 누가 가장 친절하고, 더 이상 진전이 없다-5점으로 정확하고 합리적으로 찾아냈다.
합리적으로받은 Andrey는 가장 똑똑하고 친구는 힘에 따라 올바르게 분배되지만 (3 곳 모두) Vladimir가 가장 친절하다는 사실과 관련이 없거나 5 점입니다.
추론은 다른 특별한 경우를 고려하지 않고 불가능을 나타내지 않고 특정 경우에만 제공됩니다(예: Andrey가 거짓말을 한 경우만 고려됨) - 2점.
누가 가장 똑똑하고 누가 가장 강하고 누가 가장 친절한지를 나타내는 정답은 그러한 배열로 문제의 모든 조건이 충족되지만 정당화없이는 2 점입니다.
추론의 맨 처음에 실수가 발생했습니다 - 0 점.
답변만 제공됩니다 - 0점.

과제 5

(7점) 엄마는 유모차를 타고 호수 주변을 산책하고 12분 만에 호수 주변을 완전히 걸어요. Vanya는 같은 방향으로 같은 길을 따라 스쿠터를 타고 12분마다 어머니를 만난다(추월한다). 어떤 간격으로

Vanya는 같은 속도로 운전하지만 반대 방향으로 운전하면 어머니를 만날 수 있을까요?

답변 ... 4분 후.

해결책

엄마는 12분 만에 호수를 완전히 우회하고 12분마다 Vanya를 만나기 때문에 12분 만에 Vanya는 호수 주위를 정확히 2번, 엄마는 1번 운전합니다. 이것은 Vanya의 속도가 어머니의 속도보다 2배 빠르다는 것을 의미합니다. Vanya가 그의 어머니와 같은 방향으로 운전했을 때, 그들의 수렴 속도는 그의 어머니의 속도와 같았습니다. Vanya가 반대 방향으로 운전하면 수렴 속도는 어머니 속도의 3배, 즉 3배가 됩니다. 이것은 그가 어머니를 3 배 더 자주, 즉 4 분마다 만날 것을 의미합니다.

이 추론은 트랙 길이에 대한 표기법을 도입하여 수행할 수 있습니다.

하자 NS- 호수 주변 경로의 길이(미터), 어머니의 속도는 NS/ 12(m/min), 그리고 Vanya의 속도 - NS/ 6 (m / 분). 엄마와 바냐가 서로를 향하고 있을 때의 수렴 속도는 3 NS/12=NS/ 4 (m / 분). 그러므로 그들은 그러한 속도로 함께 극복 할 것입니다. NS 4분에 미터, 즉 4분마다 만난다.

테스트 기준

모든 완전한 올바른 결정 - 7점.
Vanya의 속도가 그의 어머니의 속도보다 2 배 더 높다는 것이 올바르게 발견되었으며 속도의 합은 올바르게 찾았지만 최종 결론은 2 점으로 잘못되었습니다.
Vanya의 속도가 어머니의 속도보다 2배 더 빠르다는 것이 정확하고 합리적으로 발견되었지만 더 이상의 추론은 정당화되지 않거나 끝이 나지 않습니다 - 1점.
특정 거리와 속도를 제공하고 정답을 제공하는 솔루션 - 1점.
정답만 0점입니다.

완료된 모든 작업의 최대 점수는 35입니다.

교사의 소개 연설:

작은 역사적 참조: 많은 과학자들은 고대부터 절단 작업을 좋아했습니다. 많은 간단한 절단 문제에 대한 해결책은 고대 그리스와 중국에서 찾았지만 이 주제에 대한 최초의 체계적인 논문은 Abul-Vef의 펜에 속합니다. 기하학자는 20세기 초에 모양을 가능한 한 가장 작은 조각으로 자른 다음 다른 모양을 만드는 작업을 진지하게 받아들였습니다. 유명한 퍼즐 창시자 Henry E. Dudeny는 이 섹션의 창시자 중 한 명입니다.

오늘날 퍼즐 애호가들은 이러한 문제를 해결하는 보편적인 방법이 없기 때문에 이전에 절단 문제를 푸는 것을 좋아하며, 해결하기 위해 착수하는 모든 사람은 자신의 독창성, 직관 및 창의적 사고 능력을 충분히 발휘할 수 있습니다. (수업에서 우리는 절단의 가능한 예 중 하나만 표시 할 것입니다. 학생들이 다른 올바른 조합을 얻을 수 있다고 가정 할 수 있습니다. 이것을 두려워하지 마십시오).

이 수업은 실습 수업 형태로 진행되어야 합니다. 서클 참가자를 2-3명으로 구성된 그룹으로 나눕니다. 교사가 미리 준비한 그림을 각 그룹에 제공합니다. 학생들은 눈금자(구분 포함), 연필, 가위가 있습니다. 가위로 직선 절단만 할 수 있습니다. 일부 모양을 부분으로 자르고 나면 동일한 부분에서 다른 모양을 구성해야 합니다.

절단 작업:

1). 그림에 표시된 그림을 3등분으로 자르십시오.

힌트: 작은 모양은 문자 T와 매우 유사합니다.