Η δυαδική σχέση και τα χαρακτηριστικά της είναι παραδείγματα. Οι δυαδικές σχέσεις και οι ιδιότητές τους

καρτεσιανό προϊόν δύο σετ Χ Και Υονομάζεται σετ Ολοιπαρήγγειλε ζευγάρια ( Χ, y ) τέτοια που
, ΕΝΑ
.

Παράδειγμα 1 . Αφήνω .

Επειτα , .

Είναι προφανές ότι
, δηλ. η καρτεσιανή λειτουργία συνόλων δεν είναι ανταλλάξιμη.

Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων
ονομάζεται σετ
όλα τα παραγγελθέντα σετ
τέτοια ώστε Αν
, τότε συμβολίζεται το καρτεσιανό γινόμενο
.

Θα πούμε ότι η αλληλογραφία είναι δεδομένη qμεταξύ των σετ ΧΚαι Υ, εάν δοθεί ένα παραγγελθέν τριπλό
, Οπου
.Ενα μάτσο Χονομάζεται περιοχή αναχώρησης, και Υ– περιοχή άφιξης αλληλογραφίας q(δείχνω
). Κάθε στοιχείο yσε συνδυασμό με
ονομάζεται η εικόνα του στοιχείου Χ (Χ– πρωτότυπο του στοιχείου y) για αυτήν την αλληλογραφία q.

Αλληλογραφία
που ονομάζεται απεικόνιση σκηνικά Χσε ΠΟΛΛΟΥΣ Υ, εάν κάθε στοιχείο
έχει εικόνα
, δηλ.

Απεικόνιση
που ονομάζεται λειτουργικός , εάν κάθε στοιχείο
Εχει ο μοναδικός εικόνα
:. Πολλές εικόνες για μια δεδομένη εμφάνιση
συμβολίζεται με
:.

Αν το σετ
συμπίπτει με το σύνολο Υ, τότε το λένε
οθόνες επί ένα μάτσο Υ.

Αλληλογραφία
που ονομάζεται ένας προς έναν (bijection) , εάν α) είναι μια αντιστοίχιση. β) λειτουργικά? γ) οθόνες Χ«επί» σετ Υ; δ) από την κατάσταση
πρέπει
.

Με άλλα λόγια,
είναι διχασμός αν κάθε στοιχείο
έχει μια ενιαία εικόνα
, και κάθε στοιχείο
έχει ένα μοναδικό πρωτότυπο
με αυτήν την οθόνη:

(1.2)

1.2.2 Ορισμός δυαδικής σχέσης

Ορισμός. Το λένε σε πολλούς Χ δυαδική σχέση που δίνεται R, εάν δίνεται ένα υποσύνολο του καρτεσιανού προϊόντος
(εκείνοι.
).

Παράδειγμα 2 . Αφήνω
Ας το ρυθμίσουμε Χτις παρακάτω σχέσεις:

– σχέση ισότητας·

– σχέση προτεραιότητας·

διαιρείται με – σχέση διαιρετότητας.

Όλες αυτές οι σχέσεις καθορίζονται χρησιμοποιώντας μια χαρακτηριστική ιδιότητα. Τα στοιχεία αυτής της σχέσης παρατίθενται παρακάτω:

Το γεγονός ότι το ζευγάρι ( Χ, y) ανήκει σε αυτή τη σχέση R, θα γράψουμε:
ή xRy. Για παράδειγμα, για τη σχέση Qείσοδος 4 Q 2 σημαίνει 4 διαιρείται με το 2, δηλ.

Τομέας ορισμού
δυαδική σχέση Rονομάζεται σετ
Εύρος τιμών
ονομάζεται σετ

Ναι, για τη σχέση Rαπό το παράδειγμα 2 το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο
και το εύρος τιμών είναι
.

1.2.3 Μέθοδοι καθορισμού δυαδικής σχέσης

Μια δυαδική σχέση μπορεί να προσδιοριστεί προσδιορίζοντας μια χαρακτηριστική ιδιότητα ή παραθέτοντας όλα τα στοιχεία της. Πιο οπτικοί τρόποι προσδιορισμού μιας δυαδικής σχέσης είναι γράφημα σχέσης, διάγραμμα σχέσης, γράφημα σχέσης, πίνακας σχέσεων.

Πρόγραμμα Οι σχέσεις απεικονίζονται σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. ο οριζόντιος άξονας σηματοδοτεί το πεδίο ορισμού, ο κατακόρυφος άξονας σημειώνει το σύνολο των τιμών των σχέσεων. στοιχείο σχέσης ( x,y) αντιστοιχεί σε ένα σημείο του επιπέδου με αυτές τις συντεταγμένες. Στο Σχ. 1.7,α) δείχνει ένα γράφημα της αναλογίας Q παράδειγμα 2.

Σχέδιο Οι σχέσεις απεικονίζονται χρησιμοποιώντας δύο κάθετες γραμμές, η αριστερή από τις οποίες αντιστοιχεί στον τομέα ορισμού της σχέσης και η δεξιά στο σύνολο των τιμών της σχέσης. Εάν το στοιχείο ( x,y) ανήκει στη σχέση R, στη συνέχεια τα αντίστοιχα σημεία από
Και
συνδέονται με ευθύγραμμο τμήμα. Στο Σχ. 1.7,β) δείχνει ένα διάγραμμα της σχέσης Qαπό το παράδειγμα 2.

Γραφική παράσταση σχέση
κατασκευάζεται ως εξής. Τα σημεία - στοιχεία του συνόλου - απεικονίζονται στο επίπεδο με οποιαδήποτε σειρά Χ. Ζεύγος πόντων ΧΚαι στοσυνδέεται με ένα τόξο (γραμμή με βέλος) εάν και μόνο εάν το ζεύγος ( x,y) ανήκει στη σχέση R. Στο Σχ. 1.8,α) δείχνει το γράφημα της σχέσης Qπαράδειγμα 2.

Αφήνω
. Μήτρα σχέση
Εχει n γραμμές και nστήλες και το στοιχείο του καθορίζεται από τον κανόνα:

Το σχήμα 1.8β) δείχνει τον πίνακα σχέσεων Qπαράδειγμα 2.

Σχετικοί ορισμοί

Ιδιότητες των σχέσεων

Οι δυαδικές σχέσεις μπορεί να έχουν διάφορες ιδιότητες, όπως π.χ

Τύποι σχέσεων

• Μια ανακλαστική μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση οιονεί τάξης.
• Μια ανακλαστική συμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας.
• Μια ανακλαστική αντισυμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται (μερική) σχέση τάξης.
• Μια αντιανακλαστική αντισυμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση αυστηρής τάξης.
• Μια πλήρης αντισυμμετρική (για οποιαδήποτε ισχύει x, y xRy ή yRx) μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση γραμμικής τάξης.
• Μια αντιανακλαστική ασύμμετρη σχέση ονομάζεται σχέση κυριαρχίας.

Τύποι διπλών σχέσεων

• Αντίστροφη στάση [προσδιορίζω] (αντίστροφη σχέση με το R) είναι μια δυαδική σχέση που αποτελείται από ζεύγη στοιχείων (y, x) που λαμβάνονται με τη μετάθεση ζευγών στοιχείων (x, y) μιας δεδομένης σχέσης R. Συμβολίζεται με: R −1. Για αυτή τη σχέση και το αντίστροφό της ισχύει η ακόλουθη ισότητα: (R −1) −1 = R.
• Αμοιβαίες σχέσεις(αμοιβαίες σχέσεις) - σχέσεις που είναι αντίστροφες μεταξύ τους. Το εύρος τιμών ενός από αυτά χρησιμεύει ως το εύρος ορισμού του άλλου και το εύρος ορισμού του πρώτου χρησιμεύει ως το εύρος τιμών του άλλου.
• Αντανακλαστική στάση- μια δυαδική σχέση R που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιοδήποτε x αυτού του συνόλου το στοιχείο x βρίσκεται στη σχέση R με τον εαυτό του, δηλαδή για οποιοδήποτε στοιχείο x αυτού του συνόλου ισχύει το xRx. Παραδείγματα αντανακλαστικών σχέσεων: ισότητα, ταυτοχρονισμός, ομοιότητα.
• Αντιανακλαστική στάση(Μια ααντανακλαστική σχέση, σημειώστε ότι όπως η αντισυμμετρία δεν συμπίπτει με την ασυμμετρία, η ασυμμετρία δεν συμπίπτει με τη μη ανακλαστικότητα.) - μια σχέση δύο θέσεων R που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιοδήποτε στοιχείο x αυτού του συνόλου το δεν είναι αλήθεια ότι είναι στη σχέση R με τον εαυτό του (δεν είναι αλήθεια ότι xRx), δηλαδή είναι πιθανό ένα στοιχείο του συνόλου να μην είναι σε σχέση R με τον εαυτό του. Παραδείγματα μη αντανακλαστικών στάσεων: «φροντίζω», «διασκεδάζω», «νευρώ».
• Μεταβατική σχέση- μια δυαδική σχέση R, που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιοδήποτε x, y, z αυτού του συνόλου, τα xRy και yRz υποδηλώνουν xRz (xRy&yRzxRz). Παραδείγματα μεταβατικών σχέσεων: «περισσότερο», «λιγότερο», «ίσο», «παρόμοιο», «πάνω», «βορράς».
• Αμετάβατη σχέση [προσδιορίζω] - μια δυαδική σχέση R που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιαδήποτε x, y, z αυτού του συνόλου xRy και yRz δεν υποδηλώνουν xRz ((xRy&yRzxRz)). Παράδειγμα αμετάβατης σχέσης: "x είναι ο πατέρας του y"
• Συμμετρική σχέση- μια σχέση δύο θέσεων R, που ορίζεται σε ένα ορισμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιαδήποτε στοιχεία x και y αυτού του συνόλου, από το γεγονός ότι το x είναι προς y σε σχέση R (xRy), προκύπτει ότι το y είναι στο ίδιο σχέση με το x ( yRx). Παράδειγμα συμμετρικών σχέσεων μπορεί να είναι η ισότητα (=), η σχέση ισοδυναμίας, ομοιότητας, ταυτοχρονίας, κάποιες σχέσεις συγγένειας (για παράδειγμα, η σχέση αδελφοσύνης).
• Αντισυμμετρική σχέση- μια σχέση δύο θέσεων R, που ορίζεται σε ένα ορισμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιαδήποτε x και y από xRy και xR −1 y ακολουθεί x = y (δηλαδή, τα R και R −1 ικανοποιούνται ταυτόχρονα μόνο για μέλη που είναι ίσα μεταξύ τους).
• Ασύμμετρη σχέση [προσδιορίζω] είναι μια σχέση R δύο θέσεων, που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο και χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιαδήποτε x και y, το xRy σημαίνει yRx. Παράδειγμα: σχέση "περισσότερο από" (>) και "λιγότερο από" (<).
• Σχέση ισοδυναμίας(σχέση ταυτότητας [ προσδιορίζω], σχέση τύπου ισότητας) είναι μια σχέση R δύο θέσεων μεταξύ των αντικειμένων x και y στην θεματική περιοχή D, που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα (συνθήκες): Έτσι, μια σχέση τύπου ισότητας είναι ταυτόχρονα αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Παραδείγματα: ισότητα, ίση πληθώρα δύο συνόλων, ανταλλαξιμότητα αγαθών στην αγορά, ομοιότητα, ταυτοχρονισμός. Ένα παράδειγμα μιας σχέσης που ικανοποιεί το αξίωμα (3), αλλά δεν ικανοποιεί τα αξιώματα (1) και (2): "περισσότερο".
• Σχέσεις τάξης- σχέσεις που έχουν μόνο μερικές από τις τρεις ιδιότητες μιας σχέσης ισοδυναμίας. Συγκεκριμένα, μια σχέση που είναι αντανακλαστική και μεταβατική, αλλά ασύμμετρη (για παράδειγμα, «όχι πια») σχηματίζει μια «χαλαρή» σειρά. Η σχέση είναι μεταβατική, αλλά μη αντανακλαστική και ασύμμετρη (για παράδειγμα, "λιγότερο από") - μια "αυστηρή" σειρά.
• Λειτουργία- διπλή σχέση R, που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο, που χαρακτηρίζεται από το ότι για κάθε τιμή Χσχέση xRy y. Παράδειγμα: " yπατέρας Χ" Ιδιότητα λειτουργικότητας σχέσης Rγράφεται ως αξίωμα: ( xRyΚαι xRz)→(y≡z). Δεδομένου ότι κάθε τιμή Χσε εκφράσεις xRyΚαι xRzαντιστοιχεί στην ίδια τιμή, λοιπόν yΚαι zσυμπίπτουν, αποδεικνύεται ότι είναι το ίδιο. Η συναρτησιακή σχέση είναι μοναδική, αφού κάθε τιμή x έχει μια σχέση xRyαντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή y, αλλά όχι το αντίστροφο.
• Bijection(σχέση ενός τόπου) - σχέση δύο θέσεων R, που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο, που χαρακτηρίζεται από το ότι σε αυτό κάθε τιμή x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή στο, και κάθε τιμή στοταιριάζει με μία μόνο τιμή Χ. Μια σχέση ένα προς ένα είναι μια ειδική περίπτωση μιας σχέσης ένα προς ένα.
• Σχετική σχέση- αυτή είναι μια σχέση δύο θέσεων R, που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο, που χαρακτηρίζεται από το ότι για οποιαδήποτε δύο διαφορετικά στοιχεία ΧΚαι στοαπό αυτό το σύνολο, ένα από αυτά είναι σε σχέση Rσε άλλον (δηλαδή, ικανοποιείται μία από τις δύο σχέσεις: xRyή yRx). Παράδειγμα: σχέση "λιγότερο από" (<).

Λειτουργίες στις σχέσεις

Εφόσον οι σχέσεις που ορίζονται σε ένα σταθερό ζεύγος συνόλων , είναι υποσύνολα του συνόλου , το σύνολο όλων αυτών των σχέσεων σχηματίζει μια άλγεβρα Boole σε σχέση με τις πράξεις ένωσης, τομής και πρόσθεσης σχέσεων. Ειδικότερα, για αυθαίρετα

Συχνά, αντί να συνδυάζουν, να τέμνουν και να συμπληρώνουν σχέσεις, μιλούν για τη διάζευξη, τη σύνδεση και την άρνησή τους.

Για παράδειγμα, , , δηλαδή, η ένωση μιας σχέσης αυστηρής τάξης με μια σχέση ισότητας συμπίπτει με μια σχέση μη αυστηρής τάξης και η τομή τους είναι κενή.

Εκτός από αυτές που αναφέρονται, σημαντικές είναι και οι πράξεις αντιστροφής και πολλαπλασιασμού σχέσεων, που ορίζονται ως εξής.

Αν , τότε μια αντίστροφη σχέση είναι μια σχέση που ορίζεται στο ζεύγος και αποτελείται από εκείνα τα ζεύγη για τα οποία . Για παράδειγμα, .

Άσε τώρα, . Το προϊόν των σχέσεων είναι μια σχέση τέτοια που

Αν , και , τότε το γινόμενο των σχέσεων είναι απροσδιόριστο. Αν θεωρήσουμε τις σχέσεις που ορίζονται σε κάποιο σύνολο, τότε δεν προκύπτει μια τέτοια κατάσταση.

Για παράδειγμα, θεωρήστε μια σχέση αυστηρής τάξης που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Είναι εύκολο να το παρατηρήσεις αυτό

Οι δυαδικές σχέσεις ονομάζονται ανταλλάξιμες αν . Είναι εύκολο να δούμε ότι για οποιαδήποτε δυαδική σχέση που ορίζεται στο , όπου το σύμβολο υποδηλώνει την ισότητα που ορίζεται στο . Ωστόσο, η ισότητα δεν είναι πάντα δίκαιη.

Ισχύουν οι ακόλουθες ταυτότητες:

Σημειώστε ότι τα ανάλογα των δύο τελευταίων ταυτοτήτων δεν ισχύουν.

Ορισμένες ιδιότητες μιας σχέσης μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας πράξεις σχέσεων:

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

• Α. Ι. Μάλτσεφ.Αλγεβρικά συστήματα. - Μ.: Επιστήμη, 1970.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

- ένα κατηγόρημα δύο θέσεων σε ένα δεδομένο σύνολο. Υπό Β. ο. μερικές φορές εννοείται ως υποσύνολο του συνόλου των διατεταγμένων ζευγών (a, 6) στοιχείων ενός δεδομένου συνόλου A. B. o. ειδική περίπτωση σχέσης. Ας είναι. Αν, τότε το στοιχείο λέγεται ότι είναι δυαδικό... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Στη λογική, κάτι που, σε αντίθεση με μια ιδιότητα, δεν χαρακτηρίζει ένα μεμονωμένο αντικείμενο, αλλά ένα ζευγάρι, τρία κ.λπ. είδη. Η παραδοσιακή λογική δεν θεωρούσε το Ο. στη σύγχρονη λογική το Ο. είναι μια προτασιακή συνάρτηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Δυάδικος... Φιλοσοφική Εγκυκλοπαίδεια

στάση- ΣΧΕΣΗ είναι ένα σύνολο διατεταγμένων n οκ ατόμων (όπου n είναι 1), δηλ. δύο, τρία, κ.λπ. Ο αριθμός n λέγεται «τοπικότητα», ή «αριτότητα», Ο. και, κατά συνέπεια, μιλούν για n τοπικό (n άρνο) Ο. Έτσι, για παράδειγμα, ένα διπλό Ο. ονομάζεται... ... Εγκυκλοπαίδεια Επιστημολογίας και Φιλοσοφίας της Επιστήμης

Στη θεωρία του καταναλωτή, αυτή είναι μια επίσημη περιγραφή της ικανότητας του καταναλωτή να συγκρίνει (παραγγελία βάσει επιθυμίας) διαφορετικά σύνολα αγαθών (δέσμες κατανάλωσης). Για να περιγράψουμε μια σχέση προτίμησης, δεν είναι απαραίτητο να μετρήσουμε την επιθυμία... ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Στάση. Μια σχέση είναι μια μαθηματική δομή που ορίζει επίσημα τις ιδιότητες διαφόρων αντικειμένων και τις σχέσεις τους. Οι σχέσεις ταξινομούνται συνήθως με βάση τον αριθμό των αντικειμένων που συνδέονται... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Στάση. Μια σχέση στη λογική πρώτης τάξης με δύο ή περισσότερα κατηγορήματα ορισμάτων (πολλαπλά κατηγορήματα), δύο ή περισσότερες κατηγορηματικές ιδιότητες. Σημάδι σχέσης: R.[προσδιορίστε] Όσον αφορά τις σχέσεις... ... Wikipedia, A.I. Shirokov. Το εγχειρίδιο αποτελεί το έβδομο μέρος της ενότητας «Βασικές θεωρητικές κατασκευές συνόλων» του ακαδημαϊκού κλάδου «Διακριτά Μαθηματικά». Εισάγει και αναλύει τέτοια... eBook

Αφήνω Rείναι κάποια δυαδική σχέση στο σύνολο X, και τα x, y, z είναι οποιοδήποτε από τα στοιχεία του. Εάν ένα στοιχείο x βρίσκεται σε σχέση R με ένα στοιχείο y, τότε γράψτε xRy.

1. Μια σχέση R σε ένα σύνολο Χ ονομάζεται ανακλαστική αν κάθε στοιχείο του συνόλου βρίσκεται σε αυτή τη σχέση με τον εαυτό του.

R -ανακλαστικό στο Χ<=>xRx για οποιοδήποτε x€ X

Εάν η σχέση R είναι ανακλαστική, τότε υπάρχει ένας βρόχος σε κάθε κορυφή του γραφήματος. Για παράδειγμα, οι σχέσεις ισότητας και παραλληλισμού για τμήματα είναι αντανακλαστικές, αλλά οι σχέσεις καθετότητας και "μακρύτερο" δεν είναι αντανακλαστικές. Αυτό αντικατοπτρίζεται στα γραφήματα στο Σχήμα 42.

2. Μια σχέση R σε ένα σύνολο X ονομάζεται συμμετρική αν από το γεγονός ότι το στοιχείο x βρίσκεται σε δεδομένη σχέση με το στοιχείο y, προκύπτει ότι το στοιχείο y βρίσκεται στην ίδια σχέση με το στοιχείο x.

R - συμμετρικά ενεργό (xYay =>y Rx)

Ένα γράφημα συμμετρικής σχέσης περιέχει ζευγαρωμένα βέλη που κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις. Οι σχέσεις παραλληλισμού, καθετότητας και ισότητας για τα τμήματα είναι συμμετρικές, αλλά η σχέση «μακρύτερη» δεν είναι συμμετρική (Εικ. 42).

3. Μια σχέση R σε ένα σύνολο X ονομάζεται αντισυμμετρική αν, για διαφορετικά στοιχεία x και y από το σύνολο X, από το γεγονός ότι το στοιχείο x βρίσκεται σε δεδομένη σχέση με το στοιχείο y, προκύπτει ότι το στοιχείο y δεν είναι σε αυτή τη σχέση με το στοιχείο x.

R - αντισυμμετρικό στο X « (xRy και xy ≠ yRx)

Σημείωση: μια overbar υποδηλώνει την άρνηση μιας πρότασης.

Σε ένα γράφημα αντισυμμετρικής σχέσης, δύο σημεία μπορούν να συνδεθούν μόνο με ένα βέλος. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας σχέσης είναι η σχέση "μακρύτερο" για τμήματα (Εικ. 42). Οι σχέσεις παραλληλισμού, καθετότητας και ισότητας δεν είναι αντισυμμετρικές. Υπάρχουν σχέσεις που δεν είναι ούτε συμμετρικές ούτε αντισυμμετρικές, για παράδειγμα η σχέση «είναι αδελφός» (Εικ. 40).

4. Μια σχέση R σε ένα σύνολο X ονομάζεται μεταβατική αν από το γεγονός ότι ένα στοιχείο x βρίσκεται σε μια δεδομένη σχέση με ένα στοιχείο y και ένα στοιχείο y είναι σε αυτή τη σχέση με ένα στοιχείο z, προκύπτει ότι το στοιχείο x βρίσκεται σε μια δεδομένη σχέση με ένα στοιχείο Ζ

R - μεταβατικό στο A≠ (xRy και yRz=> xRz)

Στα γραφήματα των σχέσεων "μακρύτερο", παραλληλισμού και ισότητας στο Σχήμα 42, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι εάν ένα βέλος πηγαίνει από το πρώτο στοιχείο στο δεύτερο και από το δεύτερο στο τρίτο, τότε σίγουρα υπάρχει ένα βέλος που πηγαίνει από το πρώτο στοιχείο στο τρίτο. Αυτές οι σχέσεις είναι μεταβατικές. Η καθετότητα των τμημάτων δεν έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας.

Υπάρχουν και άλλες ιδιότητες σχέσεων μεταξύ στοιχείων του ίδιου συνόλου που δεν εξετάζουμε.

Η ίδια σχέση μπορεί να έχει πολλές ιδιότητες. Έτσι, για παράδειγμα, σε ένα σύνολο τμημάτων η σχέση «ίσο» είναι αντανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική. η σχέση «περισσότερο» είναι αντισυμμετρική και μεταβατική.

Εάν μια σχέση σε ένα σύνολο Χ είναι αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, τότε είναι μια σχέση ισοδυναμίας σε αυτό το σύνολο. Τέτοιες σχέσεις χωρίζουν το σύνολο Χ σε κλάσεις.

Αυτές οι σχέσεις εκδηλώνονται, για παράδειγμα, κατά την ολοκλήρωση εργασιών: «Μαζέψτε λωρίδες ίσου μήκους και τακτοποιήστε τις σε ομάδες», «Τακτοποιήστε τις μπάλες έτσι ώστε κάθε κουτί να περιέχει μπάλες του ίδιου χρώματος». Οι σχέσεις ισοδυναμίας ("να είναι ίσο σε μήκος", "να είναι του ίδιου χρώματος") καθορίζουν σε αυτήν την περίπτωση τη διαίρεση των σετ λωρίδων και μπάλων σε τάξεις.

Εάν μια σχέση στο σύνολο 1 είναι μεταβατική και αντισυμμετρική, τότε ονομάζεται σχέση τάξης σε αυτό το σύνολο.

Ένα σύνολο με μια δεδομένη σχέση τάξης ονομάζεται διατεταγμένο σύνολο.

Για παράδειγμα, κατά την ολοκλήρωση των εργασιών: «Συγκρίνετε τις λωρίδες σε πλάτος και τακτοποιήστε τις από το στενότερο προς το ευρύτερο», «Σύγκρινε τους αριθμούς και τακτοποιήστε τις κάρτες αριθμών με τη σειρά», τα παιδιά διατάσσουν τα στοιχεία των σετ λωρίδων και καρτών αριθμών χρήση σχέσεων παραγγελίας. «να είναι ευρύτερο», «να ακολουθήσει».

Γενικά, οι σχέσεις ισοδυναμίας και τάξης παίζουν μεγάλο ρόλο στη διαμόρφωση στα παιδιά σωστών ιδεών σχετικά με την ταξινόμηση και τη σειρά των συνόλων. Επιπλέον, υπάρχουν πολλές άλλες σχέσεις που δεν είναι ούτε σχέσεις ισοδυναμίας ούτε σχέσεις τάξης.

6. Τι είναι χαρακτηριστική ιδιότητα ενός συνόλου;

7. Σε ποιες σχέσεις μπορεί να υπάρχουν σύνολα; Δώστε εξηγήσεις για κάθε περίπτωση και απεικονίστε τις χρησιμοποιώντας κύκλους Euler.

8. Ορίστε ένα υποσύνολο. Δώστε ένα παράδειγμα συνόλων, ένα από τα οποία είναι υποσύνολο ενός άλλου. Γράψτε τη σχέση τους χρησιμοποιώντας σύμβολα.

9. Ορίστε ίσα σύνολα. Δώστε παραδείγματα δύο ίσων συνόλων. Γράψτε τη σχέση τους χρησιμοποιώντας σύμβολα.

10. Ορίστε την τομή δύο συνόλων και απεικονίστε την χρησιμοποιώντας κύκλους Euler για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση.

11. Ορίστε την ένωση δύο συνόλων και απεικονίστε την χρησιμοποιώντας κύκλους Euler για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση.

12. Ορίστε τη διαφορά μεταξύ δύο συνόλων και απεικονίστε την χρησιμοποιώντας κύκλους Euler για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση.

13. Ορίστε το συμπλήρωμα και απεικονίστε το χρησιμοποιώντας κύκλους Euler.

14. Τι ονομάζεται κατάτμηση ενός συνόλου σε κλάσεις; Ονομάστε τις προϋποθέσεις για τη σωστή ταξινόμηση.

15. Τι ονομάζεται αντιστοιχία μεταξύ δύο συνόλων; Ονομάστε τις μεθόδους για τον καθορισμό αντιστοιχιών.

16. Τι είδους αντιστοιχία ονομάζεται ένας προς έναν;

17. Ποια σύνολα ονομάζονται ίσα;

18. Ποια σύνολα ονομάζονται ισοδύναμα;

19. Ονομάστε τρόπους ορισμού σχέσεων σε ένα σύνολο.

20. Ποια σχέση σε ένα σύνολο ονομάζεται ανακλαστική;

21. Ποια σχέση σε ένα σύνολο λέγεται συμμετρική;

22. Ποια σχέση σε ένα σύνολο ονομάζεται αντισυμμετρική;

23. Ποια σχέση σε ένα σύνολο λέγεται μεταβατική;

24. Ορίστε μια σχέση ισοδυναμίας.

25. Ορίστε τη σχέση παραγγελίας.

26. Ποιο σύνολο λέγεται διατεταγμένο;

Η γλώσσα T-SQL στον SQL Server βασίζεται στην τυπική γλώσσα SQL, η οποία βασίζεται στο σχεσιακό μοντέλο, το οποίο με τη σειρά του βασίζεται σε μαθηματικά θεμέλια όπως η θεωρία συνόλων και η λογική κατηγορημάτων. Αυτό το άρθρο εξετάζει ένα θεμελιώδες θέμα από τη θεωρία συνόλων: ιδιότητες των σχέσεων σε σύνολα. Οι αναγνώστες μπορούν να χρησιμοποιήσουν τους προτεινόμενους κωδικούς T-SQL για να ελέγξουν την παρουσία ορισμένων ιδιοτήτων ορισμένων σχέσεων. Ωστόσο, μπορείτε επίσης να δοκιμάσετε να γράψετε τις δικές σας εκδόσεις σεναρίων (για να προσδιορίσετε εάν μια σχέση έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα) πριν εφαρμόσετε τις λύσεις που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο.

Σύνολα και σχέσεις

Ο Georg Cantor, ο δημιουργός της θεωρίας συνόλων, ορίζει ένα σύνολο ως «την ένωση σε ένα ορισμένο σύνολο M μιας συλλογής ορισμένων σαφώς διακριτών αντικειμένων m της ενατένισης ή της σκέψης μας (τα οποία θα ονομάζονται στοιχεία του συνόλου M). Τα στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι αντικείμενα αυθαίρετης φύσης: άνθρωποι, αριθμοί, ακόμη και τα ίδια τα σύνολα. Τα σύμβολα ∈ και ∉ δηλώνουν, αντίστοιχα, τελεστές που αντικατοπτρίζουν τη συμμετοχή (εμφάνιση, συμμετοχή) και τη μη συμμετοχή ενός στοιχείου σε ένα σύνολο. Έτσι, ο συμβολισμός x ∈ V σημαίνει ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου V και ο συμβολισμός x ∉ V σημαίνει ότι το x δεν είναι στοιχείο του V.

Μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών στοιχείων του αρχικού συνόλου. Έτσι, για ένα σύνολο στοιχείων V = (a, b, c), μια δυαδική σχέση R σε ένα δεδομένο σύνολο V θα είναι ένα αυθαίρετο υποσύνολο του συνόλου όλων των διατεταγμένων ζευγών του καρτεσιανού γινομένου V × V = ((a, α), (α, β), (α , γ), (β, α), (β, β), (β, γ), (γ, α), (γ, β), (γ, γ) ). Η σχέση R = ((a, b), (b, c), (a, c)) είναι μια έγκυρη δυαδική σχέση στο V. Μπορούμε να πούμε ότι το a σχετίζεται με το b από το R. Έστω ότι R = ((a , β ), (β, γ), (γ, δ)). Ένα τέτοιο R δεν είναι μια αποδεκτή σχέση στο V, αφού το ζεύγος (c, d) δεν ανήκει στο καρτεσιανό γινόμενο V × V. Σημειώστε ότι η σειρά με την οποία καθορίζονται τα στοιχεία που περιλαμβάνονται στο σύνολο δεν είναι σημαντική. Το σύνολο V μπορεί να οριστεί ως (a, b, c) ή ως (b, a, c) και ούτω καθεξής. Ωστόσο, η σειρά σε διατεταγμένα ζεύγη, όπως (α, β) μιας δυαδικής σχέσης, είναι σημαντική. έτσι (a, b) ≠ (b, a).

Ως πιο ρεαλιστικό παράδειγμα δυαδικής σχέσης, θεωρήστε το σύνολο F των μελών της οικογένειας: (Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Ο Μίκυ είναι ο δίδυμος αδερφός του Ίτζικ, η Ίννα είναι η μεγαλύτερη αδερφή του, η Μίλα η μητέρα του και η Γκάμπι είναι ο πατέρας του. Ένα παράδειγμα μιας σχέσης R σε ένα σύνολο F θα ήταν: "είναι αδελφός". Τα στοιχεία αυτής της σχέσης είναι ((Itsik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itsik, Inna), (Mickey, Inna)). Σημειώνουμε ότι το διατεταγμένο ζεύγος (Itsik, Inna) εμφανίζεται στο R, αλλά το ζεύγος (Inna, Itsik) όχι. Αν και ο Ιτζικ είναι αδερφός της Ίνα, δεν είναι αδερφός του.

Ιδιότητες σχέσεων σε σύνολα

Τώρα που ανανεώσαμε την κατανόησή μας για τα σύνολα και τις σχέσεις, ας περάσουμε στο θέμα του άρθρου - τις ιδιότητες των σχέσεων σε σύνολα. Για παράδειγμα δεδομένα, χρησιμοποιήστε τον κώδικα στη Λίστα 1 για να δημιουργήσετε πίνακες V και R. Το V θα αντιπροσωπεύει ένα σύνολο και το R θα αντιπροσωπεύει μια δυαδική σχέση σε αυτό. Χρησιμοποιήστε τον κώδικα στη Λίστα 2 για να δημιουργήσετε μια διαδικασία ClearTables που θα διαγράψει και τους δύο αυτούς πίνακες των εγγραφών πριν τους συμπληρώσει με νέα δείγματα δεδομένων. Τέλος, χρησιμοποιήστε τον κώδικα στις καταχωρίσεις 3, 4 και 5 για να συμπληρώσετε τους πίνακες V και R με διάφορα σύνολα δεδομένων για δοκιμή (θα τα ονομάσουμε δείγματα δεδομένων 1, 2 και 3, αντίστοιχα).

Ανακλαστικότητα.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V είναι ανακλαστική αν για οποιοδήποτε στοιχείο v του συνόλου V, v ∈ V, προκύπτει ότι (v, v) ∈ R, δηλαδή, το ζεύγος (v, v) ανήκει πάντα στο R. Και η σχέση R στο V δεν είναι αντανακλαστική , αν υπάρχει ένα στοιχείο v ∈ V τέτοιο ώστε το ζεύγος (v, v) ∉ R. Εξετάστε ξανά το παράδειγμα του συνόλου F - μέλη της οικογένειάς μου.

Η σχέση «να είσαι στην ίδια ηλικία με» στο F είναι προφανώς αντανακλαστική. Τα στοιχεία της σχέσης θα είναι τα εξής ζευγάρια: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , Γκάμπι)).

Ας αρχίσουμε να γράφουμε ένα ερώτημα T-SQL έναντι των πινάκων V και R (που αντιπροσωπεύουν ένα σύνολο και μια σχέση σε αυτό το σύνολο), ελέγχοντας αν το R είναι αντανακλαστικό:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ v, v ΑΠΟ dbo.V
ΕΚΤΟΣ
ΕΠΙΛΟΓΗ r1, r2 ΑΠΟ dbo.R)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ αντανακλαστικό

Το πρώτο υποερώτημα στη λειτουργία EXCEPT επιστρέφει το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (v, v) για όλες τις σειρές του πίνακα V. Το δεύτερο υποερώτημα επιστρέφει το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (r1, r2) - όλες τις σειρές του πίνακα R. Η πράξη EXCEPT θα επιστρέψει έτσι όλα τα παραγγελθέντα ζεύγη που εμφανίζονται στο πρώτο και λείπουν στο δεύτερο σετ. Το κατηγόρημα ΥΠΑΡΧΕΙ απαιτείται για να ελεγχθεί η ύπαρξη τουλάχιστον μιας εγγραφής στο σύνολο αποτελεσμάτων. Εάν υπάρχει τουλάχιστον μία τέτοια εγγραφή, τότε η έκφραση CASE θα επιστρέψει "Όχι" (χωρίς ανακλαστικότητα), αλλά και "Ναι" διαφορετικά (υπάρχει ανακλαστικότητα).

Ρίξτε μια ματιά στα τρία παραδείγματα συνόλων δεδομένων στις Καταχωρίσεις 3, 4 και 5 και προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποια θα είχαν μια ανακλαστική σχέση χωρίς να εκτελέσετε ένα ερώτημα. Οι απαντήσεις δίνονται περαιτέρω στο κείμενο του άρθρου.

Αντανάκλαση.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V ονομάζεται αντανάκλαση (δεν πρέπει να συγχέεται με τη μη ανακλαστικότητα) εάν για κάθε στοιχείο v ∈ V προκύπτει ότι (v, v) ∉ R. Μια σχέση δεν είναι αντανάκλαση εάν υπάρχει ένα στοιχείο v ∈ V για το οποίο (v, v) ∈ R. Ένα παράδειγμα αντανάκλασης σχέσης στο σύνολο F των μελών της οικογένειάς μου είναι η σχέση «να είμαι γονέας», αφού κανένα άτομο δεν μπορεί να είναι γονέας του εαυτού του. Τα μέλη αυτής της σχέσης στο F θα είναι τα ακόλουθα ζεύγη: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

Η ακόλουθη ερώτηση ελέγχει εάν η σχέση R στο V είναι αντανάκλαση:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ * ΑΠΟ dbo.R
ΠΟΥ r1 = r2)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ αναντανακλαστικό

Τα ξένα κλειδιά στον ορισμό του πίνακα R εισήχθησαν για να διασφαλιστεί ότι μόνο τα στοιχεία του V μπορούν να συνθέσουν τα χαρακτηριστικά r1 και r2 μιας εγγραφής R. Έτσι, το μόνο που μένει είναι να ελέγξουμε εάν υπάρχουν εγγραφές στο R με τα ίδια χαρακτηριστικά r1 και r1 και r2. Εάν βρεθεί μια τέτοια καταχώρηση, η σχέση R δεν είναι αντανάκλαση, αν δεν υπάρχει καταχώρηση, είναι αντανάκλαση.

Συμμετρία.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V ονομάζεται συμμετρική εάν μαζί με (r1, r2) ∈ R, (r2, r1) ∈ R είναι πάντα ικανοποιημένη. Η σχέση δεν είναι συμμετρική αν υπάρχει κάποιο ζεύγος (r1, r2) ∈ R για το οποίο (r2, r1) ∉ R. Στο σύνολο F των μελών της οικογένειας Ben-Gan, η σχέση «είναι αδελφός του» θα ήταν παράδειγμα συμμετρικής σχέσης. Τα ζευγάρια αυτής της σχέσης θα είναι τα εξής σύνολα: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Το ακόλουθο ερώτημα ελέγχει εάν η σχέση R προς V είναι συμμετρική:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ r1, r2 ΑΠΟ dbo.R
ΕΚΤΟΣ
ΕΠΙΛΟΓΗ r2, r1 ΑΠΟ dbo.R)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ συμμετρικό

Ο κωδικός αιτήματος χρησιμοποιεί τη λειτουργία EXCEPT. Το πρώτο υποερώτημα της πράξης EXCEPT επιστρέφει ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (r1, r2) - εγγραφές του πίνακα R, και το δεύτερο - ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (r2, r1) για κάθε εγγραφή του R. Εάν η σχέση R στο Το σύνολο V δεν είναι συμμετρικό, τότε η πράξη EXCEPT θα επιστρέψει ένα μη κενό σύνολο αποτελεσμάτων , και το κατηγόρημα EXISTS, αντίστοιχα, την τιμή TRUE και, τέλος, η έκφραση CASE θα επιστρέψει "Όχι".

Εάν η σχέση είναι συμμετρική, τότε η έκφραση CASE θα δώσει "Ναι".

Ασυμμετρία.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V είναι ασύμμετρη (αυτή η ιδιότητα δεν πρέπει να συγχέεται με την ασυμμετρία) εάν για κάθε σύνολο (r1, r2) ∈ R, στο οποίο r1 ≠ r2, είναι αλήθεια ότι (r2, r1) ∉ R. An παράδειγμα ασύμμετρης σχέσης σε ένα σύνολο F τα μέλη της οικογένειας του συγγραφέα θα έχουν τη σχέση «να είσαι γονέας» που περιγράφηκε παραπάνω. Ως άσκηση, προσπαθήστε να βρείτε ένα παράδειγμα μιας σχέσης σε ένα μη κενό σύνολο που να είναι συμμετρικό και ασύμμετρο. Ανατρέξτε στα παραδείγματα δεδομένων σε αυτό το άρθρο για μια λύση.

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ r1, r2 ΑΠΟ dbo.R ΟΠΟΥ r1 r2
ΔΙΑΤΕΜΝΩ
ΕΠΙΛΟΓΗ r2, r1 ΑΠΟ dbo.R ΟΠΟΥ r1 r2)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ ασύμμετρη

Ο κώδικας χρησιμοποιεί τη λειτουργία INTERSECT. Το πρώτο υποερώτημα σε αυτήν τη λειτουργία επιστρέφει το ταξινομημένο ζεύγος (r1, r2) για κάθε εγγραφή του πίνακα R στον οποίο r1 r2.

Το δεύτερο υποερώτημα της πράξης INTERSECT επιστρέφει το ταξινομημένο ζεύγος (r2, r1) για κάθε εγγραφή του πίνακα R στον οποίο r1 r2. Εάν το σύνολο αποτελεσμάτων (το αποτέλεσμα της τομής αυτών των συνόλων) περιλαμβάνει τουλάχιστον μία εγγραφή, αυτό θα σημαίνει ότι το R δεν είναι ασύμμετρο. διαφορετικά το R είναι ασύμμετρο.

Μεταβατικότητα.Μια σχέση R σε ένα σύνολο V είναι μεταβατική εάν τα εγκλείσματα (a, b) ∈ R και (b, c) ∈ R υποδηλώνουν πάντα ότι (a, c) ∈ R. Ένα παράδειγμα μεταβατικής σχέσης σε ένα σύνολο μελών της οικογένειας Το F θα ήταν η σχέση "είναι αδελφός ή αδελφή" που συζητήθηκε παραπάνω.

Ο παρακάτω κώδικας ελέγχει τη μεταβατικότητα της σχέσης R:

ΕΠΙΛΕΓΩ
ΥΠΟΘΕΣΗ
ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ
(ΕΠΙΛΟΓΗ *
ΑΠΟ dbo.R AS RA
ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΣΥΝΔΕΣΗ dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΣΥΝΔΕΣΗ dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 ΚΑΙ RB.r2 = RC.r2
ΟΠΟΥ το RC.r1 ΕΙΝΑΙ ΜΗΧΑΝΟ)
Τοτε οχι"
ΑΛΛΟ "Ναι"
ΤΕΛΟΣ ΩΣ μεταβατικό

Ο κώδικας χρησιμοποιεί πρώτα μια εσωτερική ένωση μεταξύ δύο περιπτώσεων του R για να επιλέξει μόνο εκείνες τις σειρές όπου το r2 στην πρώτη περίπτωση ταιριάζει με το r1 στη δεύτερη περίπτωση. Δεύτερον, ο κώδικας χρησιμοποιεί μια αριστερή εξωτερική ένωση με την τρίτη περίπτωση του πίνακα R, σύμφωνα με την οποία το r1 της πρώτης περίπτωσης του R είναι το ίδιο με το r1 της τρίτης περίπτωσης και το r2 της δεύτερης περίπτωσης είναι το ίδιο με το r2 του τρίτος. Εάν υπάρχει τουλάχιστον μία γραμμή αποτελέσματος στο εσωτερικό υποερώτημα (συνθήκη επιλογής για την τρίτη περίπτωση: το r1 είναι Null), αυτό σημαίνει ότι η σχέση δεν είναι μεταβατική. διαφορετικά η σχέση R είναι μεταβατική.

Σχέση ισοδυναμίας.Μια σχέση ισοδυναμίας είναι μια σχέση που έχει ταυτόχρονα τις ιδιότητες της ανακλαστικότητας, της συμμετρίας και της μεταβατικότητας. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα ερωτήματα που προτείνονται παραπάνω για να ελέγξετε χωριστά για την παρουσία κάθε ιδιότητας: εάν μια σχέση έχει και τις τρεις, τότε θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι ισχύει μια σχέση ισοδυναμίας. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κώδικα στη Λίστα 6 για να ελέγξετε όλες τις ιδιότητες μιας σχέσης R σε ένα σύνολο V που συζητήθηκαν νωρίτερα στο άρθρο, συμπεριλαμβανομένου του ελέγχου της ιδιότητας της σχέσης ισοδυναμίας. Εάν εκτελέσετε τη Λίστα 6 στο δείγμα δεδομένων 1, 2 και 3 (που προέρχονται από τις καταχωρίσεις 3, 4 και 5, αντίστοιχα), θα λάβετε τα αποτελέσματα που εμφανίζονται στους Πίνακες 1, 2 και 3, αντίστοιχα.

Επιστροφή στα βασικά T-SQL

Έτσι, εξετάσαμε ένα θεμελιώδες θέμα από τη μαθηματική θεωρία συνόλων: τις ιδιότητες των σχέσεων στα σύνολα. Έχω προτείνει κωδικούς δοκιμής T-SQL για να δοκιμάσω τις ιδιότητες κάποιας σχέσης που αντιπροσωπεύεται από τον πίνακα R (διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων) στο σύνολο στοιχείων που αντιπροσωπεύονται από τον πίνακα V.

Η χρήση βασικών κατασκευών T-SQL μας βοήθησε να διαμορφώσουμε σωστά και να εφαρμόσουμε τα εργαλεία αυτής της γλώσσας για καλύτερη κατανόηση των ιδιοτήτων των σχέσεων σε σύνολα.

Ιτζικ Μπεν-Γκαν ( [email προστατευμένο]) - δάσκαλος και σύμβουλος, συγγραφέας βιβλίων για την T-SQL, έχει τον τίτλο του SQL Server MVP

Διάλεξη 3.

ρήτρα 3. Σχέσεις στα σετ. Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων.

3.1. Δυαδικές σχέσεις.

Όταν μιλούν για τη σχέση δύο ανθρώπων, για παράδειγμα, του Σεργκέι και της Άννας, εννοούν ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη οικογένεια στην οποία ανήκουν. Ένα διατεταγμένο ζευγάρι (Σεργκέι, Άννα) διαφέρει από άλλα διατεταγμένα ζευγάρια ανθρώπων στο ότι υπάρχει κάποιο είδος σχέσης μεταξύ του Σεργκέι και της Άννας (ξάδερφος, πατέρας κ.λπ.).

Στα μαθηματικά, ανάμεσα σε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη του άμεσου γινόμενου δύο συνόλων ΕΝΑΚαι σι (ΕΝΑ´ σι) Τα «ειδικά» ζεύγη διακρίνονται και λόγω του ότι μεταξύ των συστατικών τους υπάρχουν κάποιες «συγγενικές» σχέσεις που άλλοι δεν έχουν. Ως παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο μικρόφοιτητές κάποιου πανεπιστημίου και πολλών κμαθήματα που διδάσκονται εκεί. Σε άμεσο προϊόν μικρό´ κμπορεί κανείς να επιλέξει ένα μεγάλο υποσύνολο διατεταγμένων ζευγών ( μικρό, κ) έχοντας την ιδιοκτησία: φοιτητής μικρόπαρακολουθεί μάθημα κ. Το κατασκευασμένο υποσύνολο αντικατοπτρίζει τη σχέση «...ακούει...» που προκύπτει φυσικά μεταξύ συνόλων σπουδαστών και μαθημάτων.

Για μια αυστηρή μαθηματική περιγραφή τυχόν συνδέσεων μεταξύ στοιχείων δύο συνόλων, εισάγουμε την έννοια της δυαδικής σχέσης.

Ορισμός 3.1. Δυάδικος (ή διπλό )στάση rμεταξύ των σετ ΕΝΑΚαι σικαλείται ένα αυθαίρετο υποσύνολο ΕΝΑ´ σι, δηλ.

Ειδικότερα, εάν Α=σι(δηλαδή rÍ ΕΝΑ 2), τότε λένε ότι το r είναι μια σχέση στο σύνολο ΕΝΑ.

Στοιχεία έναΚαι σιλέγονται συστατικά (ή συντεταγμένες ) σχέση r.

Σχόλιο. Ας συμφωνήσουμε ότι για να δηλώσετε τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων των συνόλων, χρησιμοποιήστε το ελληνικό αλφάβητο: r, t, j, s, w κ.λπ.

Ορισμός 3.2. Τομέας ορισμού ρε r=( ένα| $ σι, Τι ένα r σι) (αριστερή πλευρά). Εύρος τιμών μιας δυαδικής σχέσης r ονομάζεται σύνολο R r=( σι| $ ένα, Τι ένα r σι) (δεξιό μέρος).

Παράδειγμα 3. 1. Ας δοθούν δύο σετ ΕΝΑ=(1; 3; 5; 7) και σι=(2; 4; 6). Ας ορίσουμε τη σχέση ως εξής t=(( Χ; y)Î ΕΝΑ´ σι | x+y=9). Αυτή η σχέση θα αποτελείται από τα ακόλουθα ζεύγη (3; 6), (5; 4) και (7; 2), τα οποία μπορούν να γραφτούν ως t=((3; 6), (5; 4), (7;2 ) ). Σε αυτό το παράδειγμα ρε t=(3; 5; 7) και R t= σι={2; 4; 6}.

Παράδειγμα 3. 2. Η σχέση ισότητας στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο r=(( Χ; y) | ΧΚαι y– πραγματικοί αριθμοί και Χισοδυναμεί y). Υπάρχει μια ειδική σημείωση για αυτή τη σχέση: "=". Το πεδίο ορισμού συμπίπτει με το πεδίο των τιμών και είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ρε r= R r.

Παράδειγμα 3. 3. Αφήνω ΕΝΑ– πολλά αγαθά στο κατάστημα, και σι– σύνολο πραγματικών αριθμών. Τότε j=(( Χ; y)Î ΕΝΑ´ σι | y– τιμή Χ) – σχέση συνόλων ΕΝΑΚαι σι.

Εάν προσέξετε το παράδειγμα 3.1., θα παρατηρήσετε ότι αυτή η σχέση καθορίστηκε για πρώτη φορά με τη μορφή t=(( Χ; y)Î ΕΝΑ´ σι | x+y=9), και στη συνέχεια γράφεται ως t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Αυτό υποδηλώνει ότι οι σχέσεις σε σύνολα (ή σε ένα σύνολο) μπορούν να καθοριστούν με διάφορους τρόπους. Ας δούμε τρόπους ορισμού δυαδικών σχέσεων.

Μέθοδοι καθορισμού σχέσεων:

1) χρησιμοποιώντας ένα κατάλληλο κατηγόρημα.

2) ένα σύνολο παραγγελθέντων ζευγών.

3) σε γραφική μορφή: ας ΕΝΑΚαι σι– δύο πεπερασμένα σύνολα και r – μια δυαδική σχέση μεταξύ τους. Τα στοιχεία αυτών των συνόλων αντιπροσωπεύονται από σημεία στο επίπεδο. Για κάθε διατεταγμένο ζεύγος σχέσεων, το r σχεδιάζει ένα βέλος που συνδέει τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τα συστατικά του ζεύγους. Ένα τέτοιο αντικείμενο ονομάζεται κατευθυνόμενο γράφημαή δίφθογγος, συνήθως ονομάζονται τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τα στοιχεία των συνόλων κορυφές του γραφήματος.

4) με τη μορφή μήτρας: ας ΕΝΑ={ένα 1, ένα 2, …, ένα) Και σι={σι 1, σι 2, …, bm), r – αναλογία ενεργή ΕΝΑ´ σι. Αναπαράσταση μήτραςΤο r ονομάζεται μήτρα Μ=[mij] Μέγεθος n´ Μ, που ορίζεται από τις σχέσεις

.

Παρεμπιπτόντως, η αναπαράσταση πίνακα είναι μια αναπαράσταση μιας σχέσης σε έναν υπολογιστή.

Παράδειγμα 3. 4. Ας δοθούν δύο σετ ΕΝΑ=(1; 3; 5; 7) και σι=(2; 4; 6). Η σχέση δίνεται ως εξής t=(( Χ; y) | x+y=9). Ορίστε αυτή τη σχέση ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών, ένα δίγραφο, με τη μορφή πίνακα.

Λύση. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - είναι ένας ορισμός μιας σχέσης ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών.

2) το αντίστοιχο κατευθυνόμενο γράφημα φαίνεται στο σχήμα.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Παράδειγμα 3. 5 . Ως παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε το προτεινόμενο J. von Neumann(1903 – 1957) μπλοκ διάγραμμα ενός διαδοχικού υπολογιστή, ο οποίος αποτελείται από πολλές συσκευές Μ:

,

Οπου ένα- συσκευή εισόδου, σι– αριθμητική συσκευή (επεξεργαστής), ντο- συσκευή ελέγχου, ρε- Συσκευή μνήμης, μι- συσκευή εξόδου.

Ας εξετάσουμε την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ συσκευών μιΚαι mj, τα οποία είναι σε σχέση r εάν από τη συσκευή μιπληροφορίες εισέρχονται στη συσκευή mj.

Αυτή η δυαδική σχέση μπορεί να οριστεί παραθέτοντας και τα 14 διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων της:

Το αντίστοιχο διάγραμμα που ορίζει αυτή τη δυαδική σχέση παρουσιάζεται στο σχήμα:

Η αναπαράσταση πίνακα αυτής της δυαδικής σχέσης είναι:

. ,

Για τις δυαδικές σχέσεις, οι πράξεις θεωρίας συνόλων ορίζονται με τον συνήθη τρόπο: ένωση, τομή κ.λπ.

Ας εισαγάγουμε μια γενικευμένη έννοια της σχέσης.

Ορισμός 3.3. ν-τόπος (n-αρία ) η σχέση r είναι ένα υποσύνολο του άμεσου γινόμενου nσετ, δηλαδή ένα σύνολο από διατεταγμένα σετ ( πλειάδες )

rÍ ΕΝΑ 1 Ενα={(ένα 1, …, ένα)| ένα 1О ΕΝΑ 1Ù…Ù έναÎ Ενα}

Είναι βολικό να ορίσετε σχέσεις πολλαπλών θέσεων χρησιμοποιώντας σχεσιακούς πίνακες . Αυτή η εργασία αντιστοιχεί στην απαρίθμηση του συνόλου n-σε σχέση r. Οι σχεσικοί πίνακες χρησιμοποιούνται ευρέως στην πρακτική των υπολογιστών σε σχεσιακές βάσεις δεδομένων. Σημειώστε ότι οι σχεσικοί πίνακες χρησιμοποιούνται στην καθημερινή πρακτική. Όλα τα είδη παραγωγικών, οικονομικών, επιστημονικών και άλλων εκθέσεων συχνά παίρνουν τη μορφή σχεσιακών πινάκων.

λέξη" σχετικός" προέρχεται από τη λατινική λέξη σχέση, που μεταφράζεται στα ρωσικά σημαίνει «στάση». Επομένως, στη βιβλιογραφία, το γράμμα χρησιμοποιείται για να δηλώσει τη σχέση R(Λατινικά) ή r (ελληνικά).

Ορισμός 3.4.Άσε rÍ ΕΝΑ´ σιυπάρχει μια στάση απέναντι ΕΝΑ´ ΣΙ.Τότε καλείται ο λόγος r-1 αντίστροφη σχέση σε μια δεδομένη αναλογία r κατά ΕΝΑ´ σι, το οποίο ορίζεται ως εξής:

r-1=(( σι, ένα) | (ένα, σι)Îr).

Ορισμός 3.5.Έστω r Н ΕΝΑ´ σιυπάρχει μια στάση απέναντι ΕΝΑ´ ΣΙ, a s Н σι´ Γ –συμπεριφορά προς σι´ ΝΤΟ. Σύνθεσησυγγένειες s και r λέγεται η σχέση t Н ΕΝΑ´ ντο, το οποίο ορίζεται ως εξής:

t=s◦r= (( ένα, ντο)| $σιÎ Β, τι (ένα, σι) Ιρ Και (σι, ντο)Είναι).

Παράδειγμα 3. 6 . Αφήστε και ντο=(, !, δ, α). Και ας είναι η αναλογία r ΕΝΑ´ σικαι η αναλογία είναι ενεργοποιημένη σι´ ντοδίνονται με τη μορφή:

r=((1, Χ), (1, y), (3, Χ)};

s=(( Χ,), (Χ, !), (y, δ), ( y, à)}.

Βρείτε r-1 και s◦r, r◦s.

Λύση. 1) Εξ ορισμού r-1=(( Χ, 1), (y, 1), (Χ, 3)};

2) Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύνθεσης δύο σχέσεων, παίρνουμε

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, α), (3,), (3, !)),

αφού από (1, Χ)Ιr και ( Χ,)Îs ακολουθεί (1,)Îs◦r;

από (1, Χ)Ιr και ( Χ, !)Îs ακολουθεί (1, !)Îs◦r;

από (1, y)Ιr και ( y, d)Îs ακολουθεί (1, d)Îs◦r;

από (3, Χ)Ιr και ( Χ, !)Îs ακολουθεί (3, !)Îs◦r.

Θεώρημα 3.1.Για οποιεσδήποτε δυαδικές σχέσεις ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

2) ;

3) - συσχετισμός της σύνθεσης.

Απόδειξη.Η ιδιότητα 1 είναι προφανής.

Ας αποδείξουμε την ιδιότητα 2. Για να αποδείξουμε τη δεύτερη ιδιότητα, θα δείξουμε ότι τα σύνολα που γράφονται στην αριστερή και δεξιά πλευρά της ισότητας αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. ας ( ένα; σι) О (s◦r)-1 Û ( σι; ένα) О s◦r Û $ ντοτέτοιο που ( σι; ντο) О r και ( ντο; ένα) О s Û $ ντοτέτοιο που ( ντο; σι) О r-1 και ( ένα; ντο) О s-1 Ш ( ένα; σι) О r -1◦s -1.

Αποδείξτε μόνοι σας την ιδιότητα 3.

3.2. Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων.

Ας εξετάσουμε τις ειδικές ιδιότητες των δυαδικών σχέσεων στο σύνολο ΕΝΑ.

Ιδιότητες δυαδικών σχέσεων.

1. Αναλογία r ενεργή ΕΝΑ´ ΕΝΑπου ονομάζεται ανακλαστικός , Αν ( ένα,ένα) ανήκει στο r για όλους ένααπό ΕΝΑ.

2. Η σχέση r ονομάζεται αντιανακλαστικό , αν από ( ένα,σι) Ιr ακολουθεί ένα¹ σι.

3. Αναλογία r συμμετρικώς , εάν για έναΚαι σιανήκει σε ΕΝΑ, από ( ένα,σι) Από αυτό προκύπτει ότι ( σι,ένα) Ιρ.

4. Η σχέση r ονομάζεται αντισυμμετρική , εάν για έναΚαι σιαπό ΕΝΑ, από το ανήκειν ( ένα,σι) Και ( σι,ένα) η σχέση r υπονοεί ότι ένα=σι.

5. Αναλογία r μεταβατικά , εάν για ένα, σιΚαι ντοαπό ΕΝΑαπό το γεγονός ότι ( ένα,σι)Ιr και ( σι,ντο)Ε, προκύπτει ότι ( ένα,ντο) Ιρ.

Παράδειγμα 3. 7. Αφήνω ΕΝΑ=(1; 2; 3; 4; 5; 6). Σε αυτό το σύνολο δίνεται η σχέση rÍ ΕΝΑ 2, που έχει τη μορφή: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Τι ιδιότητες έχει αυτή η σχέση;

Λύση. 1) Η σχέση αυτή είναι αντανακλαστική, αφού για το καθένα έναÎ ΕΝΑ, (ένα; ένα) Ιρ.

2) Η σχέση δεν είναι αντι-αντανακλαστική, αφού η συνθήκη αυτής της ιδιότητας δεν ικανοποιείται. Για παράδειγμα, (2, 2)Îr, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι 2¹2.

3) Εξετάστε όλες τις πιθανές περιπτώσεις, δείχνοντας ότι η σχέση r είναι συμμετρική:

	(ένα, σι) Ιρ	(σι, ένα)	(σι, ένα)Ε;

4) Αυτή η σχέση δεν είναι αντισυμμετρική, αφού (1, 2)Îr και (2,1)Îr, αλλά δεν προκύπτει από αυτό ότι 1=2.

5) Είναι δυνατόν να δείξουμε ότι η σχέση r είναι μεταβατική χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της άμεσης απαρίθμησης.

	(ένα, σι) Ιρ	(σι, ντο) Ιρ	(ένα, ντο)	(ένα, ντο)Ε;

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αναπαράσταση μήτρας

προσδιορίζει τις ιδιότητες μιας δυαδικής σχέσης

1. Ανακλαστικότητα:Όλες οι μονάδες βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο, τα μηδενικά ή τα μονά υποδεικνύονται με αστερίσκους.

.

2. Αντιανακλαστικότητα:Όλα τα μηδενικά στην κύρια διαγώνιο.

3. Συμμετρία:Αν .

4. Αντισυμμετρία:Όλα τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. μπορεί επίσης να υπάρχουν μηδενικά στην κύρια διαγώνιο.

.

Η λειτουργία "*" εκτελείται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: , Οπου , .

5. Μεταβατικότητα:Αν . Η πράξη «◦» εκτελείται σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα πολλαπλασιασμού και είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη: .

3.3 Σχέση ισοδυναμίας. Μερική σχέση παραγγελίας.

Η σχέση ισοδυναμίας είναι μια επισημοποίηση της κατάστασης όταν μιλάμε για ομοιότητα (ομοιότητα) δύο στοιχείων ενός συνόλου.

Ορισμός 3.6.Αναλογία r ενεργή ΕΝΑΥπάρχει σχέση ισοδυναμίας, αν αυτο αντανακλαστικό, συμμετρικό και μεταβατικό.Σχέση ισοδυναμίας ένα r σισυχνά υποδηλώνεται: ένα~ σι.

Παράδειγμα 3. 8 . Η σχέση ισότητας στο σύνολο των ακεραίων είναι μια σχέση ισοδυναμίας.

Παράδειγμα 3. 9 . Η σχέση «ίδιου ύψους» είναι μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο ανθρώπων Χ.

Παράδειγμα 3. 1 0 . Έστω ¢ το σύνολο των ακεραίων. Ας ονομάσουμε δύο αριθμούς ΧΚαι yαπό ¢ συγκρίσιμο σε συντελεστήΜ(ΜО¥) και γράψτε , εάν τα υπόλοιπα αυτών των αριθμών αφού τους διαιρέσετε με Μ, δηλαδή η διαφορά ( Χ-y) διαιρείται με Μ.

Η σχέση «συγκρίσιμο σε συντελεστή Μακέραιοι" είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο των ακεραίων ¢. Πράγματι:

αυτή η σχέση είναι αντανακλαστική, γιατί για " Χ¢ έχουμε Χ-Χ=0, και επομένως διαιρείται με Μ;

αυτή η σχέση είναι συμμετρική, γιατί αν ( Χ-y) διαιρείται με Μ, έπειτα ( y-Χ) διαιρείται επίσης με Μ;

αυτή η σχέση είναι μεταβατική, γιατί αν ( Χ-y) διαιρείται με Μ, μετά για κάποιο ακέραιο t 1 έχουμε https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, από εδώ , δηλαδή ( Χ-z) διαιρείται με Μ.

Ορισμός 3.7.Αναλογία r ενεργή ΕΝΑΥπάρχει σχέση μερικής παραγγελίας, αν αυτο αντανακλαστικό, αντισυμμετρικό και μεταβατικόκαι υποδεικνύεται με το σύμβολο °.

Η μερική σειρά είναι σημαντική σε καταστάσεις όπου θέλουμε να χαρακτηρίσουμε με κάποιο τρόπο την προτεραιότητα. Με άλλα λόγια, αποφασίστε υπό ποιες συνθήκες θεωρούμε ότι ένα στοιχείο του συνόλου είναι ανώτερο από ένα άλλο.

Παράδειγμα 3. 11 . Στάση Χ£ yυπάρχει μια μερική σχέση τάξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. ,

Παράδειγμα 3. 1 2 . Στο σύνολο των υποσυνόλων κάποιου καθολικού συνόλου Uστάση ΕΝΑÍ σιυπάρχει μια μερική σχέση παραγγελίας.

Παράδειγμα 3. 1 3 . Το σχήμα οργάνωσης της υποταγής σε ένα ίδρυμα είναι μια σχέση μερικής τάξης σε ένα σύνολο θέσεων.

Το πρωτότυπο μιας σχέσης μερικής τάξης είναι η διαισθητική έννοια μιας σχέσης προτίμησης (προτεραιότητας). Μια σχέση προτίμησης προσδιορίζει μια κατηγορία προβλημάτων που μπορούν να συνδυαστούν ως πρόβλημα επιλογής πρόβλημα το καλύτερο αντικείμενο .

Διατύπωση προβλήματος:ας υπάρχει μια συλλογή αντικειμένων ΕΝΑκαι απαιτείται η σύγκριση τους ανάλογα με την προτίμηση, δηλαδή να οριστεί η σχέση προτίμησης στο σύνολο ΕΝΑκαι να εντοπίσετε τα καλύτερα αντικείμενα.

Σχέση προτίμησης Π, το οποίο μπορεί να οριστεί ως " aPb, ένα, σιÎ ΕΝΑÛ αντικείμενο έναόχι λιγότερο προτιμότερο από το αντικείμενο σι"είναι αντανακλαστικό και αντισυμμετρικό ως προς το νόημα (κάθε αντικείμενο δεν είναι χειρότερο από τον εαυτό του, και αν το αντικείμενο έναόχι χειρότερα σιΚαι σιόχι χειρότερα ένα, τότε είναι τα ίδια κατά προτίμηση). Είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι η σχέση Πμεταβατικά (αν και στην περίπτωση που, για παράδειγμα, συζητούνται προτιμήσεις από μια ομάδα ατόμων με αντίθετα συμφέροντα, αυτή η ιδιότητα μπορεί να παραβιαστεί), π.χ. Π– μερική σχέση παραγγελίας.

Ένας από τους πιθανούς τρόπους επίλυσης του προβλήματος της σύγκρισης αντικειμένων κατά προτίμηση είναι κυμαίνεται , δηλαδή, παραγγελία αντικειμένων σύμφωνα με φθίνουσα προτίμηση ή ισοδυναμία. Ως αποτέλεσμα της κατάταξης, προσδιορίζουμε τα «καλύτερα» ή «χειρότερα» αντικείμενα από την άποψη της σχέσης προτίμησης.

Τομείς χρήσης προβλήματα σχετικά με το πρόβλημα της επιλογής του καλύτερου αντικειμένου: θεωρία αποφάσεων, εφαρμοσμένα μαθηματικά, τεχνολογία, οικονομία, κοινωνιολογία, ψυχολογία.