олимпиадни, логически и занимателни задачи по математика. Задачи за рязане

С лист карирана хартия с ножица можете да решавате голямо разнообразие от интересни задачи. Тези задачи са не само интересни или забавни. Те често съдържат практическо решение и доказателство за понякога много сложни геометрични задачи.

Нека започнем с основното правило за изрязване и сгъване: Два многоъгълника се наричат ​​еднакво съставени, ако единият от тях може да бъде разделен (изрязан) на други многоъгълници, от които след това може да се образува вторият многоъгълник.

Еднакво съставените многоъгълници, разбира се, имат една и съща площ (равна площ) и следователно свойството на equidisposition понякога позволява да се получат формули за изчисляване на площи или да се сравнят площите на фигурите (както се казва, метод на разделяне или разлагане). Пример е сравняване (изчисляване) на площите на успоредник и правоъгълник.

Общият въпрос за равнопоставеността на два многоъгълника далеч не е прост. Има невероятна теорема, която гласи, че от всеки даден многоъгълник, чрез разрязването му на парчета, може да бъде конструиран всеки друг многоъгълник със същата площ.

Тази теорема се занимава с така наречените прости многоъгълници. Прост многоъгълник е многоъгълник, чиято граница се състои от една затворена линия без самопресечни точки и точно две от връзките му се събират във всеки връх на тази полилиния. Важен имот прост многоъгълнике фактът, че има поне един вътрешен диагонал.

Имайте предвид, че за приемлива трансформация на правоъгълник в квадрат, ние (Фигура 3) трябваше да го разделим на три части. Този дял обаче не е уникален. Можете например да дадете пример за разделяне на правоъгълник на четири части (Фигура 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Въпросът кой е най-малкият брой разфасовки, достатъчен за конструиране на друга от една фигура, остава открит и до днес.

Задача 1.

Една жена имаше правоъгълен килим с размери 27 на 36 инча, два противоположни ъгъла му бяха протрити (Фигура 5) и трябваше да бъдат отрязани, но тя искаше правоъгълен килим. Тя даде тази работа на майстора и той я направи. По какъв начин го направи?

Решението на проблема може да се види от фигура 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Ако зъбната част А се отстрани от назъбената част B и след това се избута обратно между зъбите на част B, като се премести един зъб надясно, се получава желаният правоъгълник.

Задача 2.

Как да направите квадрат от пет еднакви квадрата чрез изрязване.

Както е показано на фигура 7, четирите квадрата трябва да бъдат нарязани на триъгълник и трапец. Прикрепете четири трапеца към страните на петия квадрат и накрая прикрепете триъгълниците с краката към основите на трапеца.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Задача 3.

Разрежете квадрата на седем такива части, така че като ги добавите, да получите три равни квадрата. (Снимки 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Задача 4.

Нарежете квадрата на осем части, така че като ги съберете заедно, да получите два квадрата, единият от които е наполовина по-малък от другия.

Фигура 10 показва как да изрежете квадрата. Решението е подобно на решението на предишния проблем. Фигура 11 показва как да добавите частите, за да получите двата желани квадрата.

Образователна обиколка

Задачи за самостоятелно решаване от екипи от „младата” възрастова група

Задача 1

Охлюв пълзи нагоре по колона с височина 10 м. През деня се издига с 5 м, а през нощта се спуска с 4 м. Колко време отнема на охлюва да стигне от подножието до върха на колоната?

Задача 2

Възможно ли е да се изреже дупка в лист от тетрадка, през която човек може да пропълзи?

Задача 3

Зайците реят трупи. Направиха 10 разреза. Колко тъпаци се оказаха?

Задача 4

Франзела се нарязва на сектори. Направих 10 разфасовки. Колко парчета направи?

Задача 5

На голяма кръгла торта се правят 10 разреза, така че всеки разрез да върви от ръба до ръба и да минава през центъра на тортата. Колко парчета направи?

Задача 6

Двама души имаха две квадратни торти. Всеки направи по 2 прави разреза на тортата си от край до край. В същото време единият получи три парчета, а другият четири. Как е възможно?

Задача 7

Зайците отново режат трупа, но сега двата края на трупа са фиксирани. Паднаха десет средни бута, а двете крайни останаха фиксирани. Колко разфасовки направиха зайците?

Задача 8

Как да разделим палачинка с три прави разреза на 4,5, 6, 7 части?

Задача 9

Върху правоъгълна торта лежи кръгъл шоколад. Как да разрежете тортата на две равни части, така че и шоколадът да се раздели точно наполовина?

Задача 10

Възможно ли е да се изпече торта, която да се раздели на 4 части с един прав разрез?

Задача 11

Какъв е максималният брой парчета, на които може да се раздели една кръгла палачинка с три прави разреза?

Задача 12

Колко пъти е по-дълго стълбището до четвъртия етаж на къщата от стълбището до втория етаж на същата къща?

Задача 13

Джузепе има лист шперплат, размер 22 × 15. Джузепе иска да изреже от него колкото се може повече правоъгълни заготовки с размер 3 × 5. Как да го направя?

Задача 14

AT Магическа земятехните магически закони на природата, един от които казва: „Летящ килим ще лети само когато има правоъгълна форма“.

Иван Царевич имаше летящ килим размер 9 × 12. Веднъж Змията Горинич пропълзя и отряза малък килим с размер 1 от този килим. × 8. Иван Царевич беше много разстроен и искаше да отреже още едно парче 1 × 4, за да направите правоъгълник 8 × 12, но Василиса Мъдрата предложи нещата да се правят по различен начин. Тя разряза килима на три части, от които с вълшебни конци уши квадратен летящ килим с размер 10. × 10.

Можете ли да познаете как Василиса Мъдрата преправи повредения килим?

Задача 15

Когато Гъливер стигна до Лилипутия, той откри, че всички неща там са точно 12 пъти по-къси, отколкото в родината му. Можете ли да кажете колко лилипутски кибритени кутии ще се поберат в кибритената кутия на Гъливер?

Задача 16

На мачтата пиратски корабсе развява двуцветен правоъгълен флаг, състоящ се от редуващи се черни и бели вертикални ивици с еднаква ширина. Общият брой на лентите е равен на броя на затворниците в момента на кораба. Първоначално на кораба имаше 12 затворници и 12 ивици на знамето; след това двама затворници избягаха. Как да разрежете знамето на две части и след това да ги шиете заедно, така че площта на знамето и ширината на ивиците да не се променят, но броят на ивиците да стане 10?

Проблем 17

Маркирайте точка в кръга. Възможно ли е този кръг да се разреже на три части по такъв начин, че да е възможно да се добави нов кръг, чия маркирана точка ще бъде в центъра?

Проблем 18

Възможно ли е да се разреже квадрат на четири части, така че всяка част да е в контакт (т.е. да има общи части на границата) с три други?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Проблем 29

Лесно е да разрежете квадрат на два равни триъгълника или два равни четириъгълника. Но как да разрежете квадрат на два равни петоъгълника или два равни шестоъгълника?

Проблем 30

Иван Царевич отиде да търси Василиса Красивата, която беше отвлечена от Кошчей. Леши ще се срещне с него.

Знам, - казва той, - ходих в Кошчеевското царство, случи се, отидох там. Вървях четири дни и четири нощи. За първия ден минах една трета от пътя - прав път на север. После се обърна на запад, един ден се мъчи през гората и извървя наполовина по-малко. За третия ден минах през гората, вече на юг, и излязох на прав път, водещ на изток. Минах по него 100 мили за ден и се озовах в Кошчеевското царство. Ти си пешеходец като мен. Иди, Иване Царевич, виждаш ли, на петия ден ще гостуваш на Кошчей.

Не, - отговори Иван Царевич, - ако всичко е както казваш, то утре ще видя моята Василиса Прекрасната.

Прав ли е? Колко версти е изминал Леши и колко далеч мисли да отиде Иван Царевич?

Проблем 31

Измислете оцветяване на лицата на куба, така че в три различни позиции да изглежда като показаното на снимката. (Посочете как да оцветите невидими ръбове или да нарисувате мрежа.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Проблем 32

Нумизмат Федя разполага с всички монети с диаметър не повече от 10 см. Той ги съхранява в плоска кутия с размери 30 см * 70 см (в един слой). Подарена му е монета с диаметър 25 см. Докажете, че всички монети могат да бъдат поставени в една плоска кутия с размери 55 см * 55 см.

Проблем 33

Централната клетка беше изрязана от квадрат 5×5. Нарежете получената форма на две части, които могат да увият кубче 2x2x2.

Проблем 34

Разрежете този квадрат по страните на клетките на четири части, така че всички части да са с еднакъв размер и еднаква форма и така че всяка част да съдържа един кръг и една звезда.

Проблем 35

Паркингът в Цветния град е квадрат 7х7, на всеки от които можете да паркирате кола. Паркингът е ограден с ограда, едната от страните на ъгловата клетка е премахната (това е портата). Колата се движи по широка писта. Dunno беше помолен да постави възможно най-много коли на паркинга по такъв начин, че всеки да може да си тръгне, докато другите стоят. Незнайката подреди 24 коли, както е показано на фиг. Опитайте се да подредите колите по различен начин, за да поберат повече от тях.

Проблем 36

Петя и Вася живеят в съседни къщи (вижте плана на снимката). Вася живее в четвъртия вход. Известно е, че Петя, за да избяга при Вася най-краткият път(не е непременно по стените на клетките), няма значение от коя страна да тичате около къщата си. Определете в кой вход живее Петя.

Проблем 37

Предложете начин за измерване на диагонала на обикновена тухла, който лесно се прилага на практика (без теоремата на Питагор).

Проблем 38

Нарежете кръста, съставен от пет еднакви квадрата, на три многоъгълника, равни по площ и периметър.

Проблем 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

На вниманието на преподавателите по математика и учителите от различни факултети и кръжоци се предлага селекция от занимателни и развиващи геометрични задачи за рязане. Целта на използването на подобни задачи от преподавател в часовете му е не само да заинтересува ученика в интересни и ефектни комбинации от клетки и форми, но и да формира у него усещане за линии, ъгли и форми. Наборът от задачи е насочен основно към деца от 4-6 клас, въпреки че е възможно да се използва дори с ученици от гимназията. Упражненията изискват от учениците да имат висока и стабилна концентрация на внимание и са чудесни за развитие и обучение. зрителна памет. Препоръчва се за учители по математика, подготвящи ученици за приемни изпити в математически училища и класове, които поставят специални изисквания към нивото на самостоятелно мислене и креативност на детето. Нивото на задачите съответства на нивото на въвеждащите олимпиади в лицея "второ училище" (второ математическо училище), малък Мехмат на Московския държавен университет, училище Курчатов и др.

Бележка на учителя по математика:
При някои решения на проблемите, които можете да видите, като щракнете върху съответния показалец, е посочен само един от възможните примери за изрязване. Напълно признавам, че може да получите друга правилна комбинация - не се страхувайте от това. Проверете внимателно решението на вашата мишка и ако то удовлетворява условието, тогава не се колебайте да се заемете със следващата задача.

1) Опитайте се да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 равни части:

: Малките фигури са много подобни на буквата Т

2) Сега нарежете тази фигура на 4 равни части:

Съвет за учител по математика: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки и няма толкова много фигури от три клетки. Има само два вида от тях: ъгъл и правоъгълник 1 × 3.

3) Нарежете тази фигура на 5 равни части:

Намерете броя на клетките, от които се състои всяка такава фигура. Тези фигурки приличат на буквата G.

4) И сега трябва да изрежете фигурата от десет клетки на 4 неравностойноправоъгълник (или квадрат) един спрямо друг.

Указание за преподавател по математика: Изберете правоъгълник и след това опитайте да въведете още три в останалите клетки. Ако не работи, променете първия правоъгълник и опитайте отново.

5) Задачата става по-сложна: трябва да изрежете фигурата на 4 различни по формафигури (не непременно в правоъгълници).

Съвет за учител по математика: първо нарисувайте всички видове фигури поотделно различни форми(ще има повече от четири) и повторете метода за изброяване на опции, както в предишната задача.
:

6) Нарежете тази фигура на 5 фигури от четири клетки с различни форми, така че само една зелена клетка да бъде запълнена във всяка от тях.

Съвет за учител по математика:Опитайте се да започнете да режете от горния ръб на тази форма и веднага ще разберете как да продължите.
:

7) Въз основа на предишния проблем. Намерете колко фигури с различни форми има, състоящи се точно от четири клетки? Фигурките могат да се усукват, въртят, но е невъзможно да се повдигне состолът (от повърхността му), върху който лежи. Тоест двете дадени фигури няма да се считат за равни, тъй като не могат да бъдат получени една от друга чрез завъртане.

Съвет за учител по математика:Проучете решението на предишния проблем и се опитайте да си представите различните позиции на тези фигури при завъртане. Лесно е да се досетим, че отговорът в нашата задача ще бъде числото 5 или повече. (Всъщност дори повече от шест). Има общо 7 вида описани фигури.

8) Нарежете квадрат от 16 клетки на 4 равни части, така че всяка от четирите части да има точно една зелена клетка.

Съвет за учител по математика: Появата на малки фигури не е квадрат или правоъгълник и дори не е ъгъл от четири клетки. И така, какви форми трябва да се опитаме да изрежем?

9) Разрежете изобразената фигура на две части, така че от получените части да може да се сгъне квадрат.

Съвет за учител по математика: Общо на фигурата има 16 клетки, което означава, че квадратът ще бъде с размери 4 × 4. И по някакъв начин трябва да запълните прозореца в средата. Как да го направя? Може би някаква смяна? След това, тъй като дължината на правоъгълника е равна на нечетен брой клетки, рязането трябва да се извършва не с вертикален разрез, а по накъсана линия. Така че горната част се отрязва от едната страна от средните клетки, а долната - от другата.

10) Нарежете правоъгълник 4×9 на две части, така че в резултат да можете да добавите квадрат от тях.

Съвет за учител по математика: Има 36 клетки в правоъгълника. Следователно квадратът ще бъде с размери 6 × 6. Тъй като дългата страна се състои от девет клетки, три от тях трябва да бъдат отрязани. Как ще мине това разрязване?

11) Кръстът от пет клетки, показан на фигурата, трябва да бъде нарязан (можете да изрежете самите клетки) на такива части, от които може да се сгъне квадрат.

Съвет за учител по математика: Ясно е, че както и да режем по линиите на клетките, няма да получим квадрат, тъй като клетките са само 5. Това е единствената задача, в която е разрешено да се изрязва не в клетките. Все пак би било добре да ги оставим като ориентир. например, заслужава да се отбележи, че по някакъв начин трябва да премахнем вдлъбнатините, които имаме - а именно във вътрешните ъгли на нашия кръст. как бихте го направили? Например, отрязване на някои стърчащи триъгълници от външни ъгликръст...

(7 точки) Дайте пример за две обикновени дроби, чиято разлика е три пъти техния продукт. Дайте изчисленията, които оправдават това свойство.

Отговор. Например 1/2 и 1/5

Решение

Подходящ за всяка фракция 1/nи 1/(n+3), има и други решения.

Критерии за проверка

• Даден е верният отговор без обосновка – 3 точки.

Задача 2

(7 точки) Покажете как да разрежете фигура на три части и да направите квадрат от тях.

Решение

1 начин

2 начин

Възможни са и други решения.

Критерии за проверка.

• Всяко правилно решение (на снимките се вижда как се изрязва трапец и как се сгъва квадрат) - 7 точки.
• Непълно решение (показва само как се изрязва трапец или как се сгъва квадрат) - 3 точки.

Задача 3

(7 точки) На дъската е изписано числото 49. С един ход е позволено или да удвоите числото, или да изтриете последната му цифра. Възможно ли е да се получи числото 50 в няколко хода?

Отговор. Мога.

Решение

Числото 50 може да се получи чрез удвояване на 25, а 25 може да се получи чрез изтриване на последната цифра от 256, което е степен на две. Така необходимата верига от трансформации може да изглежда така:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Има и други решения.

Критерии за проверка.

• Всяко пълно правилно решение - 7 точки.
• Непълно решение (например е посочено, че 50 може да се получи от числото 256, но не е посочено как да се получи 256) - 3 точки.

Задача 4

(7 точки) Един от тримата приятели: Андрей, Борис или Владимир е най-силният, другият е най-умният, третият е най-добрият. Веднъж казаха следното:

Андрей: Владимир е по-силен от мен.

Борис : Аз съм по-умен от Владимир.

Владимир : Борис е по-умен от мен.

Известно е, че най-силните и добри са казали истината, най-интелигентните са излъгали и сред тях няма двама равни по сила.

Вярно ли е, че сред тримата приятели този, който е най-добрият, е и най-слабият?

Обосновете отговора си.

Отговор. да.

Решение

Да обозначим: А - Андрей, Б - Борис, В - Владимир. Твърденията B и C се повтарят едно друго и тъй като сред трите има само едно невярно твърдение, B и C казаха истината, A - лъжа. Следователно А е най-умният (по условие), А е по-силен от В (защото А излъга) и В е по-умен от С (защото Б и В казаха истината). Тъй като A е по-силен от B, тогава B не е най-силният. Оказва се, че B е най-силният, A е среден по сила, C е най-слабият. В същото време C не е най-умният и не е най-силният, което означава, че е най-добрият.

За по-голяма яснота можете да въведете наличната информация в таблица. Ще обозначим "местата" на всяко качество: 1 - първо място (най-умният / най-силният / най-добрият), 2 - средно, 3 - последно място.

От таблицата се вижда, че Б - най-добрият и най-слабият.

Критерии за проверка

• Всяко пълно правилно решение - 7 точки.
• Правилно и разумно беше намерено кой е най-силен, кой е най-умен и кой е най-добрият и няма напредък - 5 точки.
• Разумно приет, Андрей е най-умният, приятелите са правилно разпределени по сила (всички 3 места), но не са получени или не са свързани с факта, че Владимир е най-добрият, - 5 точки.
• Разсъждението се дава само за конкретен случай (например се разглежда само случаят, че Андрей е излъгал), без да се разглеждат други специални случаи и без да се посочва тяхната невъзможност - 2 точки.
• Правилният отговор, посочващ кой е най-умен, кой е най-силният и кой е най-добрият, с проверка, че при такава подредба са изпълнени всички условия на задачата, но без обосновка - 2 точки.
• Допусната е грешка в самото начало на разсъжденията - 0 точки.
• Дава се само отговорът – 0 точки.

Задача 5

(7 точки) Мама се разхожда с количка около езерото и напълно заобикаля езерото за 12 минути. Ваня кара скутер по същата пътека в същата посока и се среща (изпреварва) майка си на всеки 12 минути. На какви интервали от време

Ще срещне ли Ваня майка си, ако той кара със същата скорост, но в обратна посока?

Отговор . След 4 минути.

Решение

Тъй като майката напълно заобикаля езерото за 12 минути и се среща с Ваня веднъж на всеки 12 минути, за 12 минути Ваня обикаля езерото точно 2 пъти, а майката - веднъж. Това означава, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката. От това следва, че когато Ваня е карал в същата посока като майка му, скоростта на тяхното приближаване е била равна на скоростта на майка му. Ако Ваня тръгне в обратна посока, тогава скоростта на тяхното сближаване ще бъде равна на три скорости на майката, тоест ще бъде три пъти повече. Това означава, че той ще се среща с майка си три пъти по-често, тоест на всеки 4 минути.

Това разсъждение може да бъде осъществено чрез въвеждане на нотация за дължината на пистата.

Нека бъде а- дължината на пътеката около езерото (в метри), тогава скоростта на майката е а/12 (м/мин) и скоростта на Ваня е а/6 (m/min). Скоростта на сближаване в случай, че мама и Ваня вървят един към друг, е равна на 3 а/12=а/4 (m/min). Следователно с такава скорост те ще преодолеят заедно аметра за 4 минути, тоест ще се срещат на всеки 4 минути.

Критерии за проверка

• Всяко пълно правилно решение - 7 точки.
• Правилно е установено, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката, правилно е намерена сумата от скоростите, но крайният извод е направен неправилно - 2 точки.
• Правилно и обосновано беше установено, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката, но по-нататъшните разсъждения или не са оправдани, или не са завършени - 1 точка.
• Решението, в което се дават конкретни разстояния и скорости и се получава верният отговор, е 1 точка.
• Само верният отговор - 0 точки.

Максималният резултат за всички изпълнени задачи е 35.