Пръстенът на Мьобиус като източник на енергия. "Тайните на лентата на Мьобиус"

Основната характеристика на лентата на Мьобиус е, че има само една страна. Този прекрасен имот е послужил като основа за сюжетите на много фантастични истории. Един от тях описва инцидент, станал в метрото на Ню Йорк, където след време цял влак тръгва на път, затворен в лентата на Мьобиус. В разказа на друг писател Артър С. Кларк „Стената на мрака“ главният герой пътува през планета, която е извита във формата на лента на Мобиус.

Освен в научнофантастичните истории, лентата на Мьобиус се среща в различни области на науката и изкуството. Това вдъхнови художници и скулптори да създадат невероятни творения. Един от художниците, които го харесаха особено и посветиха няколко литографии на този математически обект, беше Ешер. Една от тях изобразява мравки, пълзящи по повърхността на лента на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус се използва в много изобретения, резултат от внимателно изследване на свойствата на едностранна повърхност. Формата му се повтаря от абразивни ленти за заточване на инструменти, ремъчни задвижвания и мастилени ленти в печатащите устройства.

Касетата, която се намира в касетата като лента на Мьобиус, ще се възпроизвежда 2 пъти по-дълго. Преди няколко десетилетия беше открито нещо необичайно - превърна се в невероятен извор. Както знаете, конвенционалната заредена пружина винаги се задейства в обратната посока. Използването на откритието на Moebius направи възможно създаването на пружина, която не променя посоката на задействане. Подобен механизъм се използва и в стабилизатора на волана, осигуряващ връщане към първоначалното положение на волана. Това е важно, когато няма обратна връзка между управляваните елементи и волана.

Формата на лентата на Мобиус също е използвана при конструирането на конвейерна лента. Това му позволи да работи много по-дълго, тъй като в този случай цялата повърхност на колана се износва равномерно.

Има хипотеза, че спиралата на ДНК също има фрагмент от лента на Мьобиус и следователно генетичният код е труден за възприемане и дешифриране. В допълнение, такава структура логично обяснява биологичната причина - спирала, която се затваря в себе си, води до самоунищожение.

Физиците твърдят, че в основата на всички оптични закони е принципът на лентата на Мьобиус. Например отражението в огледалото е вид прехвърляне във времето, тъй като човек вижда огледалото си двойно пред себе си. Математиците сравняват лентата на Мьобиус със знака за безкрайност.

Философи и астрономи, историци и психолози - всички те използват добре познатата лента на Мьобиус в своите хипотези. Например Алберт Айнщайн вярва, че Вселената е затворена под формата на пръстен, като лента на Мьобиус, и философите изграждат цели теории, базирани на невероятните свойства на този математически обект.

Лентата на Мьобиус е триизмерна повърхност, която има само една страна и една граница и има математическото свойство на неориентируемост. Открит е независимо и едновременно от двама немски математици Август Фердинанд Мьобиус и Йохан Бенедикт Листинг през 1858 г.

Модел на лента на Мьобиус може лесно да бъде създаден от лента хартия, като завъртите единия край на лентата на половин оборот и я свържете с другия край, за да образувате затворена форма. Ако започнете да рисувате линия с молив върху повърхността на лентата, линията ще навлезе дълбоко във фигурата и ще премине под началната точка на линията, сякаш отива от „другата страна“ на лентата. Ако продължите линията, тя ще се върне в началната точка. В този случай дължината на начертаната линия ще бъде два пъти по-голяма от дължината на лентата хартия. Този пример показва, че лентата на Мьобиус има само една страна и една граница.

В евклидовото пространство всъщност има два вида наполовина обърната лента на Мьобиус: едната - по посока на часовниковата стрелка, другата - обратно на часовниковата стрелка.

Геометрия и математика

Лентата на Мьобиус може да бъде представена чрез параметрична система от уравнения:

където и . Тези уравнения описват лента на Мьобиус с ширина 1, разположена в равнината х-y;вътрешният радиус на кръг е 1, центърът на вътрешния кръг е в началото (0,0,0). Параметър uсе движи по лентата, а параметърът v- от една граница до друга.

По друг начин лентата може да бъде представена чрез израз в полярни координати:

Топологично, лентата на Мьобиус може да се дефинира като квадрат x, чийто връх е свързан с дъното в съотношението ( х,0) ~ (1-х,1) за 0 ≤ х≤ 1, както е показано на фигурата вдясно.

Близки обекти

Тясно свързан с лентата на Мьобиус е мистериозен обект - бутилката Клайн. Бутилка Klein може да бъде създадена чрез залепване на две ленти на Мьобиус заедно по техните граници. Тази операция не може да се извърши в триизмерно пространство без създаване на пресечни точки във фигурата.

Една от основните невъзможни фигури невъзможен триъгълникможе да се представи като лента на Мьобиус, ако някои от ръбовете й са изгладени. Това ще доведе до лента на Мьобиус, описваща три завоя.

Изкуство

Логото на Power Architecture

Освен това лентата на Мобиус често се използва в изображения на различни лога и търговски марки. Най-яркият пример е международният символ за повторна употреба.

Приложение. Картини с ленти на Мьобиус

Картината по-долу на Paul Bielaczyc се нарича Както казва авторът, тази картина е смесица от различни аспекти от живота му. Келтски възли го заобикалят в работата му, картини на М.К. Творбите на Ешер винаги са източник на вдъхновение, а лентата на Мьобиус е подходяща за темата на художника.

Има научни познания и феномени, които внасят мистерия и мистерия в ежедневието на нашия живот. Лентата на Мьобиус се отнася за тях в пълна степен.

Съвременната математика чудесно описва всички свои свойства и характеристики с помощта на формули. Но обикновените хора, които имат малко разбиране от топонимия и други геометрични мъдрости, почти всеки ден срещат предмети, направени по негов образ и подобие, без дори да го знаят.

Какво е? Кой го отвори и кога?

Лентата на Мьобиус, наричана още контур, повърхност или лист, е обект на изследване в математическата дисциплина топология, която изучава общите свойства на фигурите, които се запазват при такива непрекъснати трансформации като усукване, разтягане, компресия, огъване и други не свързани с нарушаване на целостта . Удивителна и уникална характеристика на такава лента е, че тя има само една страна и ръб и по никакъв начин не е свързана с местоположението й в пространството. Лентата на Мьобиус е топологична, т.е. непрекъснат обект с най-простата едностранна повърхност с граница в обикновеното евклидово пространство (3-измерно), където е възможно от една точка на такава повърхност да стигнете до всяка друга, без да пресичате ръбовете.

Такъв сложен обект като лентата на Мьобиус беше открит по доста необичаен начин. На първо място, отбелязваме, че двама математици, напълно несвързани помежду си в своите изследвания, го откриват по едно и също време - през 1858 г. Друг интересен факт е, че и двамата учени по различно време са били ученици на един и същи велик математик - Йохан Карл Фридрих Гаус. И така, до 1858 г. се смяташе, че всяка повърхност трябва да има две страни. Въпреки това Йохан Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мьобиус откриват геометричен обект, който има само една страна и описват неговите свойства. Лентата е кръстена на Мьобиус, но тополозите смятат Листинг и неговата работа „Предварителни изследвания в топологията“ за основател на „гумената геометрия“.

Имоти

Лентата на Мьобиус има следните свойства, които не се променят, когато се компресира, нарязва по дължина или смачква:

1. Наличието на една страна. А. Мобиус в работата си „За обема на полиедрите“ описва геометрична повърхност, по-късно наречена в негова чест, само с една страна. Много е лесно да проверите това: вземете лента или лента на Мобиус и се опитайте да нарисувате вътрешността с един цвят, а външната страна с друг. Няма значение в кое място и посока е започнало оцветяването, цялата фигура ще бъде боядисана с един и същи цвят.

2. Непрекъснатостта се изразява в това, че всяка точка от тази геометрична фигура може да бъде свързана с всяка друга точка, без да се пресичат границите на повърхността на Мьобиус.

3. Свързаността или двуизмерността се състои в това, че при нарязване на лентата по дължина от нея няма да се получат няколко различни форми и тя остава твърда.

4. Липсва му такова важно свойство като ориентация. Това означава, че човек, който следва тази фигура, ще се върне в началото на своя път, но само в огледален образ на себе си. Така една безкрайна лента на Мьобиус може да доведе до вечно пътуване.

5. Специално хроматично число, показващо максималния възможен брой области на повърхността на Мьобиус, които могат да бъдат създадени, така че всяка от тях да има обща граница с всички останали. Лентата на Мьобиус има хроматично число 6, но хартиеният пръстен има хроматично число 5.

Научна употреба

Днес лентата на Мьобиус и нейните свойства се използват широко в науката, като служат като основа за изграждане на нови хипотези и теории, провеждане на изследвания и експерименти и създаване на нови механизми и устройства.

По този начин съществува хипотеза, според която Вселената е огромна примка на Мобиус. Това косвено се доказва от теорията на относителността на Айнщайн, според която дори кораб, летящ направо, може да се върне в същата времева и пространствена точка, от която е тръгнал.

Друга теория разглежда ДНК като част от повърхността на Мобиус, което обяснява трудността при разчитането и дешифрирането на генетичния код. Освен всичко друго, такава структура дава логично обяснение за биологичната смърт - спирала, затворена върху себе си, води до самоунищожение на обекта.

Според физиците много оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мьобиус. Така например огледалното отражение е специално прехвърляне във времето и човек вижда огледалото си двойно пред себе си.

Прилагане на практика

Лентата на Mobius се използва в различни индустрии от дълго време. Великият изобретател Никола Тесла в началото на века изобретява резистора на Мобиус, състоящ се от две проводими повърхности, усукани на 1800, които могат да устоят на потока на електрически ток, без да създават електромагнитни смущения.

Въз основа на изследванията на повърхността на лентата на Мьобиус и нейните свойства са създадени много устройства и инструменти. Формата му се повтаря при създаването на лентови конвейерни ленти и мастилени ленти в печатащи устройства, абразивни ленти за заточване на инструменти и автоматични трансфери. Това ви позволява значително да увеличите експлоатационния им живот, тъй като износването става по-равномерно.

Неотдавна удивителните характеристики на лентата на Мобиус направиха възможно създаването на пружина, която, за разлика от конвенционалните пружини, които се задействат в обратна посока, не променя посоката на действие. Използва се в стабилизатора на задвижването на волана, осигурявайки връщането на волана в първоначалното му положение.

Освен това знакът с лентата на Мьобиус се използва в различни марки и лога. Най-известният от тях е международният символ на рециклирането. Поставя се върху опаковките на стоки, които могат да се рециклират или са направени от рециклирани ресурси.

Източник на творческо вдъхновение

Лентата на Мьобиус и нейните свойства формират основата за работата на много художници, писатели, скулптори и режисьори. Най-известният художник, който използва лентата и нейните характеристики в произведения като „Лентата на Мобиус II (Червени мравки)“, „Ездачи“ и „Възли“, е Мауриц Корнелис Ешер.

Лентите на Мьобиус или повърхностите с минимална енергия, както още ги наричат, са се превърнали в източник на вдъхновение за математически художници и скулптори като Брент Колинс и Макс Бил. Най-известният паметник на лентата на Мобиус е инсталиран на входа на Музея за история и технологии във Вашингтон.

Руските художници също не останаха настрана от тази тема и създадоха свои собствени произведения. Скулптурите на Лентата на Мобиус са поставени в Москва и Екатеринбург.

Литература и топология

Необичайните свойства на повърхностите на Мьобиус са вдъхновили много писатели да създават фантастични и сюрреалистични творби. Примката на Мобиус играе важна роля в романа на Р. Зелазни „Врати в пясъка“ и служи като средство за движение през пространството и времето за главния герой на романа „Некроскоп“ на Б. Лъмли

Тя също се появява в разказите „Стената на мрака“ от Артър С. Кларк, „На лентата на Мобиус“ от М. Клифтън и „Ивицата на Мобиус“ от А. Дж. Дейч. Въз основа на последния режисьорът Густаво Москера направи фантастичния филм „Мобиус“.

Ние го правим сами, със собствените си ръце!

Ако се интересувате от лентата на Mobius, как да направите модел от нея, малка инструкция ще ви каже:

1. За да направите неговия модел ще ви трябва:

Лист обикновена хартия;

ножици;

Владетел.

2. Изрежете лента от лист хартия, така че ширината й да е 5-6 пъти по-малка от дължината.

3. Поставете получената хартиена лента върху равна повърхност. Държим единия край с ръка, а другия завъртаме на 1800, така че лентата да се усуче и грешната страна да стане предната.

4. Залепете краищата на усуканата лента заедно, както е показано на фигурата.

Лентата на Мобиус е готова.

5. Вземете химикал или маркер и започнете да рисувате път в средата на лентата. Ако сте направили всичко правилно, ще се върнете на същата точка, от която сте започнали да рисувате линията.

За да получите визуално потвърждение, че лентата на Мьобиус е едностранен обект, опитайте се да нарисувате една от страните й с молив или химикал. След известно време ще видите, че сте го боядисали напълно.публикуван

Бударина Светлана

Има научни познания и феномени, които внасят мистерия и мистерия в ежедневието на нашия живот.

Лентата на Мьобиус се отнася за тях в пълна степен. Съвременната математика чудесно описва всички свои свойства и характеристики с помощта на формули. Но обикновените хора, които имат малко разбиране от топонимия и други геометрични мъдрости, почти всеки ден срещат предмети, направени по негов образ и подобие, без дори да го знаят.

Какво е?

Лентата на Мьобиус, наричана още контур, повърхност или лист, е обект на изследване в математическата дисциплина топология, която изучава общите свойства на фигурите, които се запазват при такива непрекъснати трансформации като усукване, разтягане, компресия, огъване и други не свързани с нарушаване на целостта . Удивителна и уникална характеристика на такава лента е, че тя има само една страна и ръб и по никакъв начин не е свързана с местоположението й в пространството. Лентата на Мьобиус е топологична, т.е. непрекъснат обект с най-простата едностранна повърхност с граница в обикновеното евклидово пространство (3-измерно), където е възможно от една точка на такава повърхност да стигнете до всяка друга, без да пресичате ръбовете.

Кой го отвори и кога?

Такъв сложен обект като лентата на Мьобиус беше открит по доста необичаен начин. На първо място, отбелязваме, че двама математици, напълно несвързани помежду си в своите изследвания, го откриват едновременно - през 1858 г. Друг интересен факт е, че и двамата учени по различно време са били ученици на един и същи велик математик - Йохан Карл Фридрих Гаус. И така, до 1858 г. се смяташе, че всяка повърхност трябва да има две страни. Въпреки това Йохан Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мьобиус откриват геометричен обект, който има само една страна и описват неговите свойства. Лентата е кръстена на Мьобиус, но тополозите смятат Листинг и неговата работа „Предварителни изследвания в топологията“ за основател на „гумената геометрия“.

Имоти

Лентата на Мьобиус има следните свойства, които не се променят, когато се компресира, нарязва по дължина или смачква:

1. Наличието на една страна. А. Мобиус в работата си „За обема на полиедрите“ описва геометрична повърхност, по-късно наречена в негова чест, само с една страна. Много е лесно да проверите това: вземете лента или лента на Мобиус и се опитайте да нарисувате вътрешността с един цвят, а външната страна с друг. Няма значение в кое място и посока е започнало оцветяването, цялата фигура ще бъде боядисана с един и същи цвят.

2. Непрекъснатостта се изразява в това, че всяка точка от тази геометрична фигура може да бъде свързана с всяка друга точка, без да се пресичат границите на повърхността на Мьобиус.

3. Свързаността или двуизмерността се състои в това, че при нарязване на лентата по дължина от нея няма да се получат няколко различни форми и тя остава твърда.

4. Липсва му такова важно свойство като ориентация. Това означава, че човек, който следва тази фигура, ще се върне в началото на своя път, но само в огледален образ на себе си. Така една безкрайна лента на Мьобиус може да доведе до вечно пътуване.

5. Специално хроматично число, показващо максималния възможен брой области на повърхността на Мьобиус, които могат да бъдат създадени, така че всяка от тях да има обща граница с всички останали. Лентата на Мьобиус има хроматично число 6, но хартиеният пръстен има хроматично число 5.

Научна употреба

Днес лентата на Мьобиус и нейните свойства се използват широко в науката, като служат като основа за изграждане на нови хипотези и теории, провеждане на изследвания и експерименти и създаване на нови механизми и устройства.

По този начин съществува хипотеза, според която Вселената е огромна примка на Мобиус. Това косвено се доказва от теорията на относителността на Айнщайн, според която дори кораб, летящ направо, може да се върне в същата времева и пространствена точка, от която е тръгнал.

Друга теория разглежда ДНК като част от повърхността на Мобиус, което обяснява трудността при разчитането и дешифрирането на генетичния код. Освен всичко друго, такава структура дава логично обяснение за биологичната смърт - спирала, затворена върху себе си, води до самоунищожение на обекта.

Според физиците много оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мьобиус. Така например огледалното отражение е специално прехвърляне във времето и човек вижда огледалото си двойно пред себе си.

Прилагане на практика

Лентата на Mobius се използва в различни индустрии от дълго време. Великият изобретател Никола Тесла в началото на века изобретява резистора на Мьобиус, състоящ се от две проводими повърхности, усукани на 180°, които могат да устоят на потока на електрически ток, без да създават електромагнитни смущения.

Въз основа на изследванията на повърхността на лентата на Мьобиус и нейните свойства са създадени много устройства и инструменти. Формата му се повтаря при създаването на лентови конвейерни ленти и мастилени ленти в печатащи устройства, абразивни ленти за заточване на инструменти и автоматични трансфери. Това ви позволява значително да увеличите експлоатационния им живот, тъй като износването става по-равномерно.

Неотдавна удивителните характеристики на лентата на Мобиус направиха възможно създаването на пружина, която, за разлика от конвенционалните пружини, които се задействат в обратна посока, не променя посоката на действие. Използва се в стабилизатора на задвижването на волана, осигурявайки връщането на волана в първоначалното му положение.

Освен това знакът с лентата на Мьобиус се използва в различни марки и лога. Най-известният от тях е международният символ на рециклирането. Поставя се върху опаковките на стоки, които могат да се рециклират или са направени от рециклирани ресурси.

Източник на творческо вдъхновение

Лентата на Мьобиус и нейните свойства формират основата за работата на много художници, писатели, скулптори и режисьори. Най-известният художник, използвал лентата и нейните характеристики в произведения като „Лента на Мьобиус II (Червени мравки)“, „Ездачи“ и „Възли“, е Мауриц Корнелис Ешер.

Лентите на Мьобиус или повърхностите с минимална енергия, както още ги наричат, са се превърнали в източник на вдъхновение за математически художници и скулптори като Брент Колинс и Макс Бил. Най-известният паметник на лентата на Мобиус е инсталиран на входа на Музея за история и технологии във Вашингтон.

Руските художници също не останаха настрана от тази тема и създадоха свои собствени произведения. Скулптурите на Лентата на Мобиус са поставени в Москва и Екатеринбург.

Литература и топология

Необичайните свойства на повърхностите на Мьобиус са вдъхновили много писатели да създават фантастични и сюрреалистични творби. Примката на Мобиус играе важна роля в романа на Р. Зелазни „Врати в пясъка“ и служи като средство за движение през пространството и времето за главния герой на романа „Некроскоп“ на Б. Лъмли.

Тя също се появява в разказите „Стената на мрака“ от Артър С. Кларк, „На лентата на Мобиус“ от М. Клифтън и „Ивицата на Мобиус“ от А. Дж. Дейч. Въз основа на последния режисьорът Густаво Москера направи фантастичния филм „Мобиус“.

Ние го правим сами, със собствените си ръце!

Ако се интересувате от лентата на Mobius, как да направите модел от нея, малка инструкция ще ви каже:

1. За да направите неговия модел ще ви трябва:

Лист обикновена хартия;

ножици;

Владетел.

2. Изрежете лента от лист хартия, така че ширината й да е 5-6 пъти по-малка от дължината.

3. Поставете получената хартиена лента върху равна повърхност. Държим единия край с ръка, а другия завъртаме на 180 0, така че лентата да се усуче и грешната страна да стане предната.

4. Залепете краищата на усуканата лента заедно, както е показано на фигурата.

Лентата на Мобиус е готова.

5. Вземете химикал или маркер и започнете да рисувате път в средата на лентата. Ако сте направили всичко правилно, ще се върнете на същата точка, от която сте започнали да рисувате линията.

За да получите визуално потвърждение, че лентата на Мьобиус е едностранен обект, опитайте се да нарисувате една от страните й с молив или химикал. След известно време ще видите, че сте го боядисали напълно.

Нека експериментираме: изрежете лента от хартия, залепете краищата на лентата, но не както обикновено, а със завъртане на 180 градуса. Имаме лента на Мьобиус.

Германският астроном и математик Август Фердинанд Мьобиус веднъж взел парче хартиено тиксо, завъртял единия край на половин оборот (тоест на 180 градуса) и след това го залепил към другия край. Дали го е направил от скука или в името на научния интерес, сега не е известно. Но със сигурност се знае, че точно така се появи известната лента на Мьобиус през миналия век.

Свойства на лентата на Мьобиус

С какво е известна тя? И фактът, че повърхността на лентата на Мьобиус има само една страна. Това се проверява лесно. Вземете молив и започнете да оцветявате лентата в някаква посока. Скоро ще се върнете откъдето сте тръгнали. Сега погледнете внимателно: цялата лента се оказа боядисана! Но не сте го обърнали, за да рисувате от другата страна. И не можеха да го обърнат, дори и наистина да искаха. Тъй като повърхността на лентата на Мьобиус е едностранчив. Тя има това любопитно свойство.

Нека отново работим с ножица: пробийте тази лента и внимателно я разрежете по дължина - точно по средата. „Е,“ може да си помислите, „сега получавате два отделни пръстена...“

Но какво е това? Вместо два пръстена, получавате един! Освен това той е по-голям и по-тънък от оригиналния и е усукан два пъти. „Това не се случва“, казвате вие. Случва се.

Какво мислите, че ще се случи с тази фигура, ако бъде отрязана отново? Може би отново ще излезе една цяла, но усукана лента? Не. Този път ще получите два свързани пръстена.

Това са интересните метаморфози, които крие лентата на Мьобиус. Може да покажете тези явления на приятелите си, представяйки ги за магически трикове, докато всъщност просто им показвате математически закони.

Проста лента хартия, усукана само веднъж и след това залепена в пръстен, веднага се превръща в мистериозна лента на Мьобиус и придобива невероятни свойства. Такива свойства на повърхности и пространства се изучават от специален клон на математиката - топология.
Тази наука е толкова сложна, че не се преподава в училище. Само в институти (и то не във всички!). Но кой знае, може би в крайна сметка ще станете известен тополог и ще направите повече от едно забележително откритие. И може би някоя сложна повърхност ще бъде кръстена на вас!

Лентата на Мьобиус в архитектурата

Къде можете да видите лента на Мьобиус в реалния живот? Много архитекти се опитват да използват мистериозна лента в своите проекти. Така белгийският архитект Винсент Калебаут разработи нова сграда за парк в Тайван, който прилича на лента на Мобиус.

Конструкцията има формата на лястовиче гнездо и започва с триъгълник, след което се извива в елипса. Вътре в сградата можете да се насладите на растения, произведения на изкуството или просто да се разходите.

Видео демонстрира мистериите на лентата на Мьобиус