Примери са двоичната връзка и нейните характеристики. Бинарни отношения и техните свойства

Декартов продукт два комплекта х И Yнаречен набор всекиподредени двойки ( х, г ) такова, че
, А
.

Пример 1 . Позволявам .

Тогава , .

Очевидно е, че
, т.е. Декартовият продукт на операцията на множествата не е комутативен.

Декартово произведение на множества
наречен набор
всички поръчани комплекти
такова, че Ако
, тогава декартовото произведение се означава
.

Ще кажем, че кореспонденцията е дадена рмежду сериите хИ Y, ако е дадена подредена тройка
, Където
.Няколко хсе нарича зона на заминаване и Y– зона на пристигане на кореспонденция р(означават
). Всеки елемент гв двойка с
наречен образ на елемента х (х– прототип на елемента г) за тази кореспонденция р.

Кореспонденция
Наречен дисплей комплекти хв много Y, ако всеки елемент
има изображение
, т.е.

Дисплей
Наречен функционален , ако всеки елемент
То има единствения изображение
:. Много изображения за даден дисплей
обозначен с
:.

Ако наборът
съвпада с множеството Y, тогава те казват, че
дисплеи На няколко Y.

Кореспонденция
Наречен едно към едно (биекция) , ако a) е преобразуване; б) функционално; в) дисплеи х"на" сет Y; г) от условието
Трябва
.

С други думи,
е биекция, ако всеки елемент
има едно изображение
, и всеки елемент
има един единствен прототип
с този дисплей:

(1.2)

1.2.2 Дефиниция на бинарна релация

Определение. Казват, че на много х дадено бинарно отношение Р, ако е дадено подмножество на декартовия продукт
(тези.
).

Пример 2 . Позволявам
Нека го настроим на хследните отношения:

– отношение на равенство;

– връзка на предходство;

разделена на – отношение на делимост.

Всички тези връзки са определени с помощта на характерно свойство. Елементите на тази връзка са изброени по-долу:

Фактът, че двойката ( х, г) принадлежи на това отношение Р, ще пишем:
или xRy. Например за връзката Qзапис 4 Q 2 означава 4 се дели на 2, т.е.

Област на дефиниране
двоична релация Рнаречен набор
Диапазон от стойности
наречен набор

Да, за връзката Рот пример 2 домейнът на дефиницията е множеството
, а диапазонът от стойности е
.

1.2.3 Методи за специфициране на бинарна релация

Бинарна релация може да бъде специфицирана чрез указване на характерно свойство или чрез изброяване на всички нейни елементи. По-визуални начини за специфициране на двоична релация са релационна графика, релационна диаграма, релационна графика, релационна матрица.

График връзките са изобразени в декартова координатна система; хоризонталната ос маркира областта на дефиницията, вертикалната ос маркира набора от стойности на релацията; релационен елемент ( x,y) съответства на точка от равнината с тези координати. На фиг. 1.7,а) показва графика на съотношението Q пример 2.

Схема връзките са изобразени с помощта на две вертикални линии, лявата от които съответства на домейна на дефиниране на връзката, а дясната - на набора от стойности на връзката. Ако елемент ( x,y) принадлежи на отношението Р, след това съответните точки от
И
свързани с права линия. На фиг. 1.7,b) показва диаграма на връзката Qот пример 2.

Графика връзка
се изгражда по следния начин. Точките – елементи на множеството – са изобразени на равнината в произволен ред х. Чифт точки хИ прие свързан с дъга (линия със стрелка) тогава и само ако двойката ( x,y) принадлежи на отношението Р. На фиг. 1.8,а) показва графиката на връзката Qпример 2.

Позволявам
. Матрица връзка
То има н линии и нколони и нейния елемент определя се от правилото:

Фигура 1.8b) показва релационната матрица Qпример 2.

Свързани определения

Свойства на отношенията

Бинарните отношения могат да имат различни свойства, като напр

Видове взаимоотношения

• Рефлексивната транзитивна връзка се нарича квази-редова връзка.
• Рефлексивно симетрично транзитивно отношение се нарича отношение на еквивалентност.
• Рефлексивно антисиметрично транзитивно отношение се нарича (частично) отношение на ред.
• Антирефлексивна антисиметрична транзитивна релация се нарича стриктна релация на ред.
• Пълно антисиметрично (за всяко x, y xRy или yRx е валидно) транзитивно отношение се нарича линеен ред.
• Антирефлексивната асиметрична връзка се нарича връзка на доминиране.

Видове двойни връзки

• Обратно отношение [посочете] (отношение, обратно на R) е двоично отношение, състоящо се от двойки елементи (y, x), получени чрез пермутиране на двойки елементи (x, y) от дадено отношение R. Означава се с: R −1. За това отношение и обратното му е вярно следното равенство: (R −1) −1 = R.
• Реципрочни отношения(реципрочни отношения) - отношения, които са обратни една на друга. Диапазонът от стойности на един от тях служи като диапазон на дефиниция на другия, а диапазонът на дефиниция на първия служи като диапазон от стойности на другия.
• Рефлективно отношение- двоично отношение R, дефинирано върху определено множество и характеризиращо се с това, че за всяко x от това множество елементът x е в отношението R към себе си, т.е. за всеки елемент x от това множество е валидно xRx. Примери за рефлексивни отношения: равенство, едновременност, сходство.
• Антирефлексно отношение(Ирефлексивна релация, имайте предвид, че точно както антисиметрията не съвпада с асиметрията, ирефлексивността не съвпада с нерефлексивността.) - двуместна релация R, дефинирана върху определено множество и характеризираща се с това, че за всеки елемент x от това множество то не е вярно, че е в отношението R към себе си (не е вярно, че xRx), т.е. възможно е елемент от множеството да не е в отношение R към себе си. Примери за нерефлективни нагласи: „грижи се“, „забавлявай“, „нервен“.
• Преходна връзка- двуместна релация R, дефинирана върху определено множество и характеризираща се с това, че за всяко x, y, z от това множество, xRy и yRz предполагат xRz (xRy&yRzxRz). Примери за преходни отношения: „повече“, „по-малко“, „равно“, „подобно“, „горе“, „север“.
• Непреходно отношение [посочете] - двоично отношение R, дефинирано върху определено множество и характеризиращо се с това, че за всяко x, y, z от това множество xRy и yRz не предполагат xRz ((xRy&yRzxRz)). Пример за непреходна връзка: "x е бащата на y"
• Симетрично отношение- двуместна връзка R, дефинирана върху определено множество и характеризираща се с това, че за всякакви елементи x и y от това множество, от факта, че x е към y в отношение R (xRy), следва, че y е в същото отношение към x (yRx). Пример за симетрични отношения може да бъде равенството (=), отношението на еквивалентност, сходство, едновременност, някои отношения на родство (например отношение на братство).
• Антисиметрична връзка- двуместна връзка R, дефинирана на определено множество и характеризираща се с това, че за всяко x и y от xRy и xR −1 y следва x = y (т.е. R и R −1 са изпълнени едновременно само за членове, равни на взаимно).
• Асиметрична връзка [посочете] е двуместна релация R, дефинирана върху определено множество и характеризираща се с това, че за всяко x и y, xRy предполага yRx. Пример: отношение на „повече от“ (>) и „по-малко от“ (<).
• Отношение на еквивалентност(отношение на идентичност [ посочете], релация тип равенство) е двуместна релация R между обекти x и y в предметната област D, отговаряща на следните аксиоми (условия): По този начин връзката тип равенство е едновременно рефлексивна, симетрична и транзитивна. Примери: равенство, еднаква мощност на две множества, разменяемост на стоките на пазара, сходство, едновременност. Пример за релация, която удовлетворява аксиома (3), но не удовлетворява аксиоми (1) и (2): „повече“.
• Поръчкови взаимоотношения- релации, които имат само някои от трите свойства на релацията на еквивалентност. По-специално, връзка, която е рефлексивна и транзитивна, но асиметрична (например „не повече“), образува „слаб“ ред. Отношението е преходно, но нерефлексивно и асиметрично (например "по-малко от") - "строг" ред.
• функция- двойна връзка Р, определени върху определено множество, характеризиращо се с това, че за всяка стойност хвръзка xRy г. Пример: " гбаща х" Свойство функционалност на връзката Ре написано като аксиома: ( xRyИ xRz)→(г≡z). Тъй като всяка стойност хв изрази xRyИ xRzсъответства на същата стойност, тогава гИ zсъвпадат, оказват се еднакви. Функционалната връзка е уникална, тъй като всяка стойност x има връзка xRyсъответства само на една единствена стойност г, но не и обратното.
• Биекция(едноместно отношение) - двуместно отношение Р, дефинирана върху определено множество, характеризиращо се с това, че в него всяка стойност x съответства на една единствена стойност при, и всяка стойност присъответства на една единствена стойност х. Връзката едно към едно е специален случай на връзката едно към едно.
• Свързана връзка- това е двуместна релация Р, дефинирани върху определено множество, характеризиращо се с това, че за всеки два различни елемента хИ приот този набор, един от тях е във връзка Ркъм друг (т.е. една от двете връзки е удовлетворена: xRyили yRx). Пример: връзка "по-малко от" (<).

Операции върху отношенията

Тъй като отношенията, дефинирани върху фиксирана двойка множества, са подмножества на множеството, множеството от всички тези отношения образува булева алгебра по отношение на операциите на обединение, пресичане и добавяне на отношения. По-специално, за произволни

Често вместо съчетаване, пресичане и допълване на отношенията, те говорят за тяхната дизюнкция, конюнкция и отрицание.

Например, , , т.е. обединението на строго отношение на ред с отношение на равенство съвпада с нестрого отношение на ред и тяхното пресичане е празно.

В допълнение към изброените, важни са и операциите за обръщане и умножение на релации, дефинирани по следния начин.

Ако , тогава обратно отношение е отношение, дефинирано върху двойката и състоящо се от тези двойки, за които . Например, .

Нека сега,. Продуктът на отношенията е такова отношение, че

Ако , и , тогава произведението на отношенията е недефинирано. Ако разглеждаме отношения, дефинирани на някакво множество, тогава такава ситуация не възниква.

Например, разгледайте стриктна релация на ред, дефинирана върху множеството от естествени числа. Лесно е да забележите това

Бинарните отношения се наричат ​​комутативни, ако . Лесно е да се види, че за всяко двоично отношение, дефинирано на , където символът обозначава равенство, дефинирано на . Равенството обаче не винаги е справедливо.

Съществуват следните идентичности:

Обърнете внимание, че аналозите на последните две идентичности не са валидни.

Някои свойства на релация могат да бъдат определени с помощта на операции за релация:

Вижте също

Литература

• А. И. Малцев.Алгебрични системи. - М.: Наука, 1970.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

- двуместен предикат върху дадено множество. Под Б. о. понякога се разбира като подмножество от набора от подредени двойки (a, 6) от елементи на даден набор от A. B. o. специален случай на връзка. Нека бъде. Ако, тогава се казва, че елементът е двоичен... ... Математическа енциклопедия

В логиката нещо, което за разлика от свойство характеризира не отделен обект, а двойка, тройка и т.н. елементи. Традиционната логика не разглежда О.; в съвременната логика О. е пропозиционална функция на две или повече променливи. двоичен... Философска енциклопедия

поведение- ВРЪЗКА е набор от подредени n ок индивиди (където n е 1), т.е. двойки, тройки и т.н. Числото n се нарича "местност" или "арност", О. и съответно се говори за n местно (n арно) О. Така например двойно О. се нарича... ... Енциклопедия на епистемологията и философията на науката

В теорията на потребителите това е формално описание на способността на потребителя да сравнява (подрежда по желание) различни набори от стоки (потребителски пакети). За да се опише връзка на предпочитанията, не е необходимо да се измерва желателността... ... Wikipedia

Този термин има и други значения, вижте отношение. Връзката е математическа структура, която формално дефинира свойствата на различни обекти и техните взаимоотношения. Връзките обикновено се класифицират според броя на обектите, които се свързват... Уикипедия

Този термин има и други значения, вижте отношение. Връзка в логиката от първи ред към два или повече аргументни предиката (множество предикати), две или повече свойства на предиката. Знак за връзка: R.[посочете] По отношение на връзките... ... Уикипедия, А. И. Широков. Ръководството е седма част от раздела „Основни теоретико-множествени конструкции” от учебната дисциплина „Дискретна математика”. Той въвежда и анализира такива... електронна книга

Позволявам Ре някакво двоично отношение в множеството X, а x, y, z са всеки от неговите елементи. Ако елемент x е във връзка R с елемент y, тогава напишете xRy.

1. Отношение R върху множество X се нарича рефлексивно, ако всеки елемент от множеството е в това отношение със себе си.

R - рефлексивен на X<=>xRx за всяко x€ X

Ако релацията R е рефлексивна, тогава във всеки връх на графа има цикъл. Например отношенията на равенство и успоредност за сегменти са рефлексивни, но отношенията на перпендикулярност и „по-дълъг“ не са рефлексивни. Това е отразено в графиките на фигура 42.

2. Отношение R върху множество X се нарича симетрично, ако от факта, че елемент x е в дадена връзка с елемент y, следва, че елемент y е в същата връзка с елемент x.

R - симетрично на (xYay =>y Rx)

Графиката на симетрична връзка съдържа сдвоени стрелки, вървящи в противоположни посоки. Отношенията на успоредност, перпендикулярност и равенство за отсечките са симетрични, но отношението „по-дълго“ не е симетрично (фиг. 42).

3. Отношение R върху множество X се нарича антисиметрично, ако за различни елементи x и y от множеството X от факта, че елементът x е в дадено отношение с елемента y, следва, че елементът y не е в тази връзка с елемента x.

R - антисиметричен върху X « (xRy и xy ≠ yRx)

Забележка: горната черта показва отрицанието на твърдение.

В антисиметрична релационна графика две точки могат да бъдат свързани само с една стрелка. Пример за такава връзка е връзката „по-дълги“ за сегменти (фиг. 42). Отношенията на успоредност, перпендикулярност и равенство не са антисиметрични. Има отношения, които не са нито симетрични, нито антисиметрични, например отношението „да си брат” (фиг. 40).

4. Отношение R върху множество X се нарича транзитивно, ако от факта, че елемент x е в дадено отношение с елемент y и елемент y е в това отношение с елемент z, следва, че елементът x е в дадено отношение с елемент Z

R - транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)

В графиките на отношенията на „по-дълга“, паралелност и равенство на Фигура 42 можете да забележите, че ако стрелка върви от първия елемент към втория и от втория към третия, тогава определено има стрелка, преминаваща от първия елемент елемент към третия. Тези отношения са преходни. Перпендикулярността на сегментите няма свойството на транзитивност.

Има други свойства на отношенията между елементи от едно и също множество, които не разглеждаме.

Едно и също отношение може да има няколко свойства. Така например върху набор от сегменти отношението „равно“ е рефлексивно, симетрично, транзитивно; релацията “повече” е антисиметрична и транзитивна.

Ако една релация в множество X е рефлексивна, симетрична и транзитивна, тогава тя е релация на еквивалентност в това множество. Такива отношения разделят множеството X на класове.

Тези взаимоотношения се проявяват например при изпълнение на задачи: „Вземете ленти с еднаква дължина и ги подредете в групи“, „Подредете топките така, че всяка кутия да съдържа топки от един и същи цвят“. Отношенията на еквивалентност („да бъдат еднакви по дължина“, „да бъдат от един и същи цвят“) определят в този случай разделянето на множествата от ивици и топки в класове.

Ако релация на набор 1 е транзитивна и антисиметрична, тогава тя се нарича релация на реда на това множество.

Множество с дадено отношение на реда се нарича подредено множество.

Например, когато изпълнявате задачите: „Сравнете лентите по ширина и ги подредете от най-тясната към най-широката“, „Сравнете числата и подредете картите с числа по ред“, децата подреждат елементите на комплектите ленти и картите с цифри. използване на отношения на ред; „да бъда по-широк“, „да следвам“.

Като цяло отношенията на еквивалентност и ред играят голяма роля при формирането на правилни представи у децата за класификацията и подреждането на множествата. Освен това има много други отношения, които не са нито отношения на еквивалентност, нито отношения на ред.

6. Какво е характерно свойство на множество?

7. В какви отношения могат да съществуват множествата? Дайте обяснения за всеки случай и ги изобразете с помощта на кръгове на Ойлер.

8. Дефинирайте подмножество. Дайте пример за множества, едно от които е подмножество на друго. Напишете тяхната връзка с помощта на символи.

9. Дефинирайте равни множества. Дайте примери за две еднакви множества. Напишете тяхната връзка с помощта на символи.

10. Дефинирайте пресечната точка на две множества и я изобразете с помощта на окръжности на Ойлер за всеки отделен случай.

11. Дефинирайте обединението на две множества и го изобразете с помощта на кръгове на Ойлер за всеки отделен случай.

12. Определете разликата между две множества и я изобразете с помощта на кръгове на Ойлер за всеки отделен случай.

13. Дефинирайте допълнението и го изобразете с помощта на окръжности на Ойлер.

14. Какво се нарича разделяне на набор на класове? Назовете условията за правилна класификация.

15. Какво се нарича съответствие между две множества? Назовете методите за уточняване на съответствията.

16. Какъв вид кореспонденция се нарича едно към едно?

17. Какви множества се наричат ​​равни?

18. Какви множества се наричат ​​еквивалентни?

19. Назовете начини за дефиниране на отношения върху множество.

20. Какво отношение върху множество се нарича рефлексивно?

21. Кое отношение върху множество се нарича симетрично?

22. Кое отношение върху множество се нарича антисиметрично?

23. Кое отношение върху множество се нарича транзитивно?

24. Дефинирайте отношение на еквивалентност.

25. Дефинирайте отношението на поръчката.

26. Кое множество се нарича подредено?

Езикът T-SQL в SQL Server се основава на стандартния език SQL, който се основава на релационния модел, който от своя страна се основава на математически основи като теория на множествата и логика на предикатите. Тази статия разглежда фундаментална тема от теорията на множествата: свойствата на отношенията върху множествата. Читателите могат да използват предложените T-SQL кодове, за да проверят наличието на определени свойства на определени връзки. Можете обаче също да опитате да напишете свои собствени версии на скриптове (за да определите дали дадена релация има определено свойство), преди да приложите решенията, описани в тази статия.

Множества и отношения

Георг Кантор, създателят на теорията на множествата, определя множеството като „обединението в определено цяло M на колекция от определени ясно различими обекти m на нашето съзерцание или мисъл (които ще бъдат наречени елементи на множеството M).“ Елементите на едно множество могат да бъдат обекти от произволен характер: хора, числа и дори самите множества. Символите ∈ и ∉ означават съответно оператори, отразяващи принадлежността (поява, членство) и нечленството на елемент в множество. По този начин, записът x ∈ V означава, че x е елемент от множеството V, а записът x ∉ V означава, че x не е елемент от V.

Бинарна релация върху набор е набор от подредени двойки елементи от оригиналния набор. По този начин, за набор от елементи V = (a, b, c), двоично отношение R върху дадено множество V ще бъде произволно подмножество на множеството от всички подредени двойки на декартовото произведение V × V = ((a, a), (a, b), (a , c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). Отношението R = ((a, b), (b, c), (a, c)) е валидно двоично отношение върху V. Можем да кажем, че a е свързано с b чрез R. Да предположим, че R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). Такова R не е допустимо отношение върху V, тъй като двойката (c, d) не принадлежи на декартовото произведение V × V. Обърнете внимание, че редът, в който са посочени елементите, включени в множеството, не е важен. Множеството V може да бъде определено като (a, b, c) или като (b, a, c) и т.н. Въпреки това, редът в подредените двойки, като (a, b) на двоично отношение, е важен; следователно (a, b) ≠ (b, a).

Като по-реалистичен пример за двоична връзка, разгледайте множеството F от членове на семейството: (Ицик, Мики, Инна, Мила, Габи). Мики е брат близнак на Ицик, Инна е по-голямата му сестра, Мила е майка му, а Габи е баща му. Пример за връзка R върху множество F би бил: „е брат“. Елементите на тази връзка са ((Ицик, Мики), (Мики, Ицик), (Ицик, Инна), (Мики, Инна)). Отбелязваме, че подредената двойка (Ицик, Инна) се появява в R, но двойката (Ина, Ицик) не. Въпреки че Ицик е брат на Ина, тя не му е брат.

Свойства на отношенията върху множества

Сега, след като опреснихме нашето разбиране за множества и отношения, нека преминем към темата на статията - свойствата на отношенията върху множества. Например данни, използвайте кода в листинг 1, за да създадете таблици V и R. V ще представлява набор, а R ще представлява двоична релация върху него. Използвайте кода в списък 2, за да създадете процедура ClearTables, която ще изчисти и двете таблици от записи, преди да ги попълни с нови примерни данни. И накрая, използвайте кода в листинги 3, 4 и 5, за да попълните таблици V и R с различни набори от данни за тестване (ще ги наречем съответно примерни данни 1, 2 и 3).

Рефлексивност.Отношение R върху множество V е рефлексивно, ако за всеки елемент v от множеството V, v ∈ V, следва, че (v, v) ∈ R, тоест двойката (v, v) винаги принадлежи на R. И връзката R върху V не е рефлексивна, ако има елемент v ∈ V такъв, че двойката (v, v) ∉ R. Разгледайте отново примера на множеството F - членове на моето семейство.

Отношението „да си на същата възраст като“ на F е очевидно рефлексивно. Елементите на връзката ще бъдат следните двойки: ((Ицик, Ицик), (Ицик, Мики), (Мики, Мики), (Мики, Ицик), (Ина, Инна), (Мила, Мила), (Габи , Габи)).

Нека започнем да пишем T-SQL заявка срещу таблици V и R (представляващи набор и релация в този набор), проверявайки дали R е рефлексивен:

ИЗБЕРЕТЕ
СЛУЧАЙ
КОГАТО СЪЩЕСТВУВА
(ИЗБЕРЕТЕ v, v ОТ dbo.V
С ИЗКЛЮЧЕНИЕ
ИЗБЕРЕТЕ r1, r2 ОТ dbo.R)
Тогава не"
ИНАЧЕ "Да"
КРАЙ КАТО рефлексивен

Първата подзаявка в операцията EXCEPT връща набора от всички подредени двойки (v, v) за всички редове на таблица V. Втората подзаявка връща набора от подредени двойки (r1, r2) - всички редове от таблица R. Операцията EXCEPT по този начин ще върне всички подредени двойки, срещащи се в първия и липсващи във втория набор. Предикатът EXISTS е необходим, за да се провери съществуването на поне един запис в набора от резултати. Ако има поне един такъв запис, изразът CASE ще върне „Не“ (няма рефлексивност), но също и „Да“ в противен случай (има рефлексивност).

Разгледайте трите примерни набора от данни в листинги 3, 4 и 5 и се опитайте да определите кои от тях биха имали отразяваща връзка, без да изпълнявате заявка. Отговорите са дадени по-нататък в текста на статията.

Безотразителен.Отношение R върху множество V се нарича ирефлексивно (да не се бърка с нерефлексивност), ако за всеки елемент v ∈ V следва, че (v, v) ∉ R. Отношението не е ирефлексивно, ако има елемент v ∈ V, за което (v, v) ∈ R. Пример за ирефлексивна връзка върху множеството F от членовете на моето семейство е връзката „да бъдеш родител“, тъй като никой човек не може да бъде собствен родител. Членовете на тази връзка на F ще бъдат следните двойки: ((Мила, Ицик), (Мила, Мики), (Мила, Инна), (Габи, Ицик), (Габи, Мики), (Габи, Инна)) .

Следната заявка проверява дали връзката R върху V е нерефлексивна:

ИЗБЕРЕТЕ
СЛУЧАЙ
КОГАТО СЪЩЕСТВУВА
(ИЗБЕРЕТЕ * ОТ dbo.R
КЪДЕ r1 = r2)
Тогава не"
ИНАЧЕ "Да"
КРАЙ КАТО ирефлексивен

Външните ключове в дефиницията на таблица R бяха въведени, за да се гарантира, че само елементите на V могат да съставят атрибутите r1 и r2 на запис R. По този начин всичко, което остава, е да се провери дали има записи в R със съвпадащи атрибути r1 и r2. Ако се намери такъв запис, релацията R не е ирефлексивна; ако няма запис, тя е ирефлексивна.

Симетрия.Отношение R върху множество V се нарича симетрично, ако заедно с (r1, r2) ∈ R винаги е изпълнено (r2, r1) ∈ R. Отношението не е симетрично, ако има някаква двойка (r1, r2) ∈ R за което (r2, r1) ∉ R. В множеството F от членове на семейството на Бен-Ган, отношението „е брат или сестра на“ би било пример за симетрично отношение. Двойките на тази връзка ще бъдат следните множества: ((Ицик, Мики), (Ицик, Инна), (Мики, Ицик), (Мики, Инна), (Ина, Ицик), (Ина, Мики)).

Следната заявка проверява дали връзката R към V е симетрична:

ИЗБЕРЕТЕ
СЛУЧАЙ
КОГАТО СЪЩЕСТВУВА
(ИЗБЕРЕТЕ r1, r2 ОТ dbo.R
С ИЗКЛЮЧЕНИЕ
ИЗБЕРЕТЕ r2, r1 ОТ dbo.R)
Тогава не"
ИНАЧЕ "Да"
КРАЙ КАТО симетричен

Кодът на заявката използва операцията EXCEPT. Първата подзаявка на операцията EXCEPT връща набор от подредени двойки (r1, r2) - записи на таблица R, а втората - набор от подредени двойки (r2, r1) за всеки запис на R. Ако релацията R на набор V не е симетричен, тогава операцията EXCEPT ще върне непразен набор от резултати, а предикатът EXISTS, съответно стойността TRUE и накрая изразът CASE ще върне „Не“.

Ако връзката е симетрична, тогава CASE изразът ще даде "Да".

Асиметрия.Отношение R върху множество V е асиметрично (това свойство не трябва да се бърка с асиметрия), ако за всяко множество (r1, r2) ∈ R, в което r1 ≠ r2, е вярно, че (r2, r1) ∉ R. An пример за асиметрична връзка в набор F членове на семейството на автора ще имат връзката „да бъдеш родител“, която беше описана по-горе. Като упражнение се опитайте да измислите пример за релация върху непразно множество, което е едновременно симетрично и асиметрично. Вижте примерните данни в тази статия за решение.

ИЗБЕРЕТЕ
СЛУЧАЙ
КОГАТО СЪЩЕСТВУВА
(ИЗБЕРЕТЕ r1, r2 ОТ dbo.R КЪДЕ r1 r2
ПРЕКЪСВАНЕ
SELECT r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
Тогава не"
ИНАЧЕ "Да"
КРАЙ КАТО асиметричен

Кодът използва операцията INTERSECT. Първата подзаявка в тази операция връща подредената двойка (r1, r2) за всеки запис на таблица R, в която r1 r2.

Втората подзаявка на операцията INTERSECT връща подредената двойка (r2, r1) за всеки запис на таблица R, в която r1 r2. Ако наборът от резултати (резултатът от пресичането на тези множества) включва поне един запис, това ще означава, че R не е асиметрично; в противен случай R е асиметричен.

Преходност.Отношение R върху множество V е транзитивно, ако включванията (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R винаги предполагат, че (a, c) ∈ R. Пример за транзитивно отношение върху набор от членове на семейството F ще бъде връзката "е брат или сестра", която беше обсъдена по-горе.

Кодът по-долу тества транзитивността на релацията R:

ИЗБЕРЕТЕ
СЛУЧАЙ
КОГАТО СЪЩЕСТВУВА
(ИЗБЕРЕТЕ *
ОТ dbo.R AS RA
INNER JOIN dbo.R AS RB
НА RA.r2 = RB.r1
ЛЯВО ВЪНШНО СЪЕДИНЕНИЕ dbo.R КАТО RC
НА RA.r1 = RC.r1 И RB.r2 = RC.r2
КЪДЕ RC.r1 Е NULL)
Тогава не"
ИНАЧЕ "Да"
КРАЙ КАТО преходен

Кодът първо използва вътрешно съединение между два екземпляра на R, за да избере само онези редове, където r2 в първия екземпляр съвпада с r1 във втория екземпляр. Второ, кодът използва ляво външно свързване с третото копие на таблица R, според което r1 от първото копие на R е същото като r1 от третото копие, а r2 от второто копие е същото като r2 от трети. Ако във вътрешната подзаявка има поне един резултатен ред (условие за избор на третата инстанция: r1 е Null), това означава, че релацията не е транзитивна; в противен случай релацията R е транзитивна.

Отношение на еквивалентност.Отношението на еквивалентност е отношение, което едновременно има свойствата рефлексивност, симетрия и транзитивност. Можете да използвате заявките, предложени по-горе, за да проверите поотделно наличието на всяко свойство: ако връзката има и трите, тогава трябва да заключим, че връзката на еквивалентност е валидна. Освен това можете да използвате кода в списък 6, за да тествате всички свойства на релация R върху набор V, които бяха обсъдени по-рано в статията, включително тестване на свойството да бъде релация на еквивалентност. Ако изпълните листинг 6 върху примерни данни 1, 2 и 3 (извлечени съответно от листинги 3, 4 и 5), ще получите резултатите, показани съответно в таблици 1, 2 и 3.

Връщане към основите на T-SQL

Така ние разгледахме фундаментална тема от математическата теория на множествата: свойствата на отношенията върху множествата. Предложих T-SQL тестови кодове за тестване на свойствата на някаква релация, представена от таблица R (подредени двойки елементи) върху набора от елементи, представени от таблица V.

Използването на основни конструкции на T-SQL ни помогна да конфигурираме правилно и приложим инструментите на този език за по-добро разбиране на свойствата на отношенията върху множества.

Ицик Бен-Ган ( [имейл защитен]) - учител и консултант, автор на книги за T-SQL, има титлата SQL Server MVP

Лекция 3.

клауза 3. Отношения върху множества. Свойства на бинарните отношения.

3.1. Бинарни отношения.

Когато говорят за връзката на двама души, например Сергей и Анна, те имат предвид, че има определено семейство, към което принадлежат. Подредената двойка (Сергей, Анна) се различава от другите подредени двойки хора по това, че има някаква връзка между Сергей и Анна (братовчед, баща и т.н.).

В математиката, сред всички подредени двойки на прякото произведение на две множества АИ б (А´ б) „специалните“ двойки също се разграничават поради факта, че между техните компоненти има някои „родствени“ връзки, които другите нямат. Като пример, помислете за комплекта Сстуденти от някой университет и мн Ккурсове, преподавани там. В директен продукт С´ Кможе да се избере голямо подмножество от подредени двойки ( с, к) имащ свойството: студент свзема курс к. Конструираното подмножество отразява връзката „...слуша...“, която естествено възниква между набори от студенти и курсове.

За строго математическо описание на всякакви връзки между елементи от две множества, въвеждаме концепцията за двоична връзка.

Определение 3.1. Двоичен (или двойно )поведение rмежду сериите АИ бизвиква се произволно подмножество А´ б, т.е.

По-специално, ако А=б(т.е. rÍ А 2), тогава те казват, че r е релация в множеството А.

Елементи аИ bса наречени компоненти (или координати ) отношение r.

Коментирайте. Нека се съгласим, че за обозначаване на връзките между елементите на множествата използвайте гръцката азбука: r, t, j, s, w и т.н.

Определение 3.2. Област на дефиниране д r=( а| $ b, Какво а r b) (лява страна). Диапазон от стойности на двоично отношение r се нарича множество Р r=( b| $ а, Какво а r b) (дясна част).

Пример 3. 1. Нека са дадени два комплекта А=(1; 3; 5; 7) и б=(2; 4; 6). Нека зададем връзката, както следва t=(( х; г)Î А´ б | x+г=9). Тази връзка ще се състои от следните двойки (3; 6), (5; 4) и (7; 2), които могат да бъдат записани като t=((3; 6), (5; 4), (7;2) ) ). В този пример д t=(3; 5; 7) и Р t= б={2; 4; 6}.

Пример 3. 2. Отношението на равенство върху множеството от реални числа е множеството r=(( х; г) | хИ г– реални числа и хравно на г). Има специална нотация за тази връзка: „=“. Домейнът на дефиницията съвпада с домейна на стойностите и е набор от реални числа, д r= Р r.

Пример 3. 3. Позволявам А– много стоки в магазина и б– набор от реални числа. Тогава j=(( х; г)Î А´ б | г- цена х) – отношение на множества АИ б.

Ако обърнете внимание на пример 3.1., ще забележите, че тази връзка за първи път е зададена във формата t=(( х; г)Î А´ б | x+г=9) и след това записано като t=((3; 6), (5;4), (7;2)). Това предполага, че отношенията върху множества (или едно множество) могат да бъдат определени по различни начини. Нека да разгледаме начините за дефиниране на двоични връзки.

Методи за определяне на връзки:

1) използване на подходящ предикат;

2) набор от подредени двойки;

3) в графична форма: нека АИ б– две крайни множества и r – двоична връзка между тях. Елементите на тези множества са представени с точки на равнината. За всяка подредена двойка отношения r рисува стрелка, свързваща точките, представляващи компонентите на двойката. Такъв обект се нарича насочена графаили диграф, обикновено се наричат ​​точките, представляващи елементите на множествата върхове на графа.

4) под формата на матрица: нека А={а 1, а 2, …, ан) И б={b 1, b 2, …, bm), r – отношение на А´ б. Матрично представяне r се нарича матрица М=[миж] размер н´ м, определени от отношенията

.

Между другото, матричното представяне е представяне на релация в компютър.

Пример 3. 4. Нека са дадени два комплекта А=(1; 3; 5; 7) и б=(2; 4; 6). Отношението е дадено, както следва t=(( х; г) | x+г=9). Дефинирайте тази връзка като набор от подредени двойки, диграф, под формата на матрица.

Решение. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - е дефиниция на релация като набор от подредени двойки;

2) съответният насочен граф е показан на фигурата.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Пример 3. 5 . Като пример можем да разгледаме предложеното Й. фон Нойман(1903 – 1957) блокова схема на последователен компютър, който се състои от много устройства М:

,

Където а- входно устройство, b– аритметично устройство (процесор), ° С- контролно устройство, д- Устройство с памет, д– изходно устройство.

Нека разгледаме обмена на информация между устройствата милиИ mj, които са в отношение r ако от устройството милиинформацията влиза в устройството mj.

Това двоично отношение може да бъде дефинирано чрез изброяване на всичките му 14 подредени двойки елементи:

Съответният диграф, дефиниращ това бинарно отношение, е представен на фигурата:

Матричното представяне на това бинарно отношение е:

. ,

За бинарни отношения теоретико-множествените операции се дефинират по обичайния начин: обединение, пресичане и др.

Нека въведем обобщено понятие за връзка.

Определение 3.3. n-място (н-ари ) отношението r е подмножество на прекия продукт ннабори, тоест набор от подредени набори ( кортежи )

rÍ А 1 Ан={(а 1, …, ан)| а 1О А 1Ù…Ù анÎ Ан}

Удобно е да се дефинират многоместни отношения с помощта на релационни таблици . Тази задача съответства на изброяването на множеството н-to отношение r. Релационните таблици се използват широко в компютърната практика в релационни бази данни. Имайте предвид, че релационните таблици се използват в ежедневната практика. Всички видове производствени, финансови, научни и други отчети често са под формата на релационни таблици.

дума " релационни“ идва от латинската дума отношение, което в превод на руски означава „отношение“. Следователно в литературата буквата се използва за обозначаване на връзката Р(латински) или r (гръцки).

Определение 3.4.Нека rÍ А´ бима отношение към А´ б.Тогава се нарича отношението r-1 обратна връзка към дадено съотношение r от А´ б, което се определя, както следва:

r-1=(( b, а) | (а, b)Îr).

Определение 3.5.Нека r Н А´ бима отношение към А´ Б, a s Н б´ ° С -отношение към б´ ° С. Съставотношения s и r се нарича отношение t Н А´ ° С, което се определя, както следва:

t=s◦r= (( а, ° С)| $bÎ Б, какво (а, b)Îr И (b, ° С)Îs).

Пример 3. 6 . Нека и ° С=(, !, d, a). И нека съотношението r е А´ би съотношението е включено б´ ° Сса дадени във формата:

r=((1, х), (1, г), (3, х)};

s=(( х,), (х, !), (г, д), ( г, à)}.

Намерете r-1 и s◦r, r◦s.

Решение. 1) По дефиниция r-1=(( х, 1), (г, 1), (х, 3)};

2) Използвайки дефиницията на състава на две отношения, получаваме

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

тъй като от (1, х)Îr и ( х,)Îs следва (1,)Îs◦r;

от (1, х)Îr и ( х, !)Îs следва (1, !)Îs◦r;

от (1, г)Îr и ( г, d)Îs следва (1, d)Îs◦r;

от (3, х)Îr и ( х, !)Îs следва (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1.За всяка двоична връзка са валидни следните свойства:

2) ;

3) - асоциативност на композицията.

Доказателство.Свойство 1 е очевидно.

Нека докажем свойство 2. За да докажем второто свойство, ще покажем, че множествата, записани от лявата и дясната страна на равенството, се състоят от едни и същи елементи. Позволявам ( а; b) О (s◦r)-1 Û ( b; а) О s◦r Û $ ° Стака че ( b; ° С) О r и ( ° С; а) О s Û $ ° Стака че ( ° С; b) О r-1 и ( а; ° С) О s-1 Ш ( а; b) О r -1◦s -1.

Докажете сами свойство 3.

3.2. Свойства на бинарните отношения.

Нека разгледаме специалните свойства на бинарните отношения в множеството А.

Свойства на бинарните отношения.

1. Съотношение r на А´ АНаречен отразяващ , Ако ( а,а) принадлежи на r за всички аот А.

2. Отношението r се нарича антирефлекс , ако от ( а,b)Îr следва а¹ b.

3. Съотношение r симетрично , ако за аИ bпринадлежи на А, от ( а,b)Или следва, че ( b,а)Îr.

4. Отношението r се нарича антисиметричен , ако за аИ bот А, от принадлежност ( а,b) И ( b,а) връзката r предполага това а=b.

5. Съотношение r преходно , ако за а, bИ ° Сот Аот факта, че ( а,b)Îr и ( b,° С)Или следва, че ( а,° С)Îr.

Пример 3. 7. Позволявам А=(1; 2; 3; 4; 5; 6). На това множество е дадено отношението rÍ А 2, което има формата: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2) ), (1; 4), (2; 1), (2; 4), (3; 5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Какви свойства има тази връзка?

Решение. 1) Тази връзка е рефлексивна, тъй като за всеки аÎ А, (а; а)Îr.

2) Отношението не е антирефлексивно, тъй като условието на това свойство не е изпълнено. Например (2, 2)Îr, но това не означава, че 2¹2.

3) Разгледайте всички възможни случаи, показвайки, че връзката r е симетрична:

	(а, b)Îr	(b, а)	(b, а)или?

4) Тази връзка не е антисиметрична, тъй като (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но от това не следва, че 1=2.

5) Възможно е да се покаже, че отношението r е транзитивно, като се използва методът на директно изброяване.

	(а, b)Îr	(b, ° С)Îr	(а, ° С)	(а, ° С)или?

Как да използваме матрично представяне

определят свойствата на двоично отношение

1. Рефлексивност:Всички единици са на главния диагонал; нули или единици са обозначени със звездички.

.

2. Антирефлексивност:Всички нули на главния диагонал.

3. Симетрия:ако .

4. Антисиметрия:всички елементи извън главния диагонал са нула; може да има и нули на главния диагонал.

.

Операцията „*“ се извършва съгласно следното правило: , Където , .

5. Преходност:ако . Операцията “◦” се извършва съгласно обичайното правило за умножение, като е необходимо да се вземе предвид: .

3.3 Отношение на еквивалентност. Отношение на частичен ред.

Отношението на еквивалентност е формализиране на ситуацията, когато говорим за сходство (еднаквост) на два елемента от множество.

Определение 3.6.Съотношение r на АИма отношение на еквивалентност, ако то рефлексивен, симетричен и преходен.Отношение на еквивалентност а r bчесто се обозначава: а~ b.

Пример 3. 8 . Отношението на равенство върху множеството от цели числа е отношение на еквивалентност.

Пример 3. 9 . Отношението „еднаква височина“ е отношение на еквивалентност на набор от хора х.

Пример 3. 1 0 . Нека ¢ е множеството от цели числа. Нека назовем две числа хИ гот ¢ сравними по модулм(мО¥) и напишете , ако остатъците от тези числа след разделянето им на м, т.е. разликата ( х-г) разделена на м.

Отношението „сравнимо по модул мцели числа" е релация на еквивалентност в множеството от цели числа ¢. Наистина:

тази връзка е рефлексивна, защото за " х΢ имаме х-х=0 и следователно се дели на м;

тази връзка е симетрична, защото ако ( х-г) разделена на м, тогава ( г-х) също се дели на м;

това отношение е транзитивно, защото ако ( х-г) разделена на м, след това за някакво цяло число T 1 имаме https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, от тук , т.е. ( х-z) разделена на м.

Определение 3.7.Съотношение r на АИма отношение на частичен ред, ако то рефлексивен, антисиметричен и транзитивени се обозначава със символа °.

Частичният ред е важен в ситуации, в които искаме по някакъв начин да характеризираме приоритета. С други думи, решете при какви условия да считате един елемент от набора за по-добър от друг.

Пример 3. 11 . Поведение х£ гима отношение на частичен ред върху множеството от реални числа. ,

Пример 3. 1 2 . В множеството от подмножества на някакво универсално множество Uповедение АÍ бима частична връзка на реда.

Пример 3. 1 3 . Схемата на организация на подчинение в институция е връзка на частичен ред в набор от позиции.

Прототипът на отношението на частичен ред е интуитивната концепция за отношението на предпочитание (предимство). Отношението на предпочитанията идентифицира клас проблеми, които могат да бъдат комбинирани като проблем с избора проблем най-добрият обект .

Формулиране на проблема:нека има колекция от предмети Аи се изисква да ги сравним според предпочитанията, т.е. да зададем връзката на предпочитанията върху множеството Аи идентифицирайте най-добрите обекти.

Отношение на предпочитанията П, което може да се определи като " aPb, а, bÎ АÛ възразявам ане по-малко за предпочитане от обект b„е рефлексивен и антисиметричен по значение (всеки обект не е по-лош от себе си и ако обектът ане по-лошо bИ bне по-лошо а, тогава те са еднакви по предпочитание). Естествено е да се приеме, че връзката Птранзитивно (въпреки че в случай, че например предпочитанията се обсъждат от група хора с противоположни интереси, това свойство може да бъде нарушено), т.е. П– отношение на частичен ред.

Един от възможните начини за решаване на проблема със сравняването на обекти по предпочитание е вариращи , т.е. подреждане на обекти в съответствие с намаляващо предпочитание или еквивалентност. В резултат на класирането ние идентифицираме „най-добрите“ или „най-лошите“ обекти от гледна точка на връзката на предпочитанията.

Области на използване проблеми относно проблема за избор на най-добър обект: теория на вземането на решения, приложна математика, технология, икономика, социология, психология.