이진 관계와 그 특성은 예입니다. 이진 관계 및 해당 속성

데카르트 곱 두 세트 엑스 그리고 와이세트라고 함 모든 사람순서쌍( 엑스, 와이 ) 그렇게
, ㅏ
.

실시예 1 . 허락하다 .

그 다음에 , .

그것은 분명하다
, 즉. 집합 연산의 데카르트 곱은 교환성이 없습니다.

집합의 데카르트 곱
세트라고 함
주문한 모든 세트
그런 경우
, 데카르트 곱은 다음과 같이 표시됩니다.
.

우리는 서신이 제공되었다고 말할 것입니다 큐세트 사이 엑스그리고 와이, 주문된 트리플이 주어진 경우
, 어디
.한 무리의 엑스출발지역이라고 합니다 와이– 서신 도착 지역 큐(표시
). 각 요소 와이와 짝을 이루다
요소의 이미지라고 함 엑스 (엑스– 요소의 프로토타입 와이) 이 서신에 대해 큐.

일치
~라고 불리는 표시하다 세트 엑스많은 와이, 만약 각 요소가
이미지가 있습니다
, 즉..

표시하다
~라고 불리는 기능의 , 만약 각 요소가
그것은 가지고있다 유일한 사람 영상
:. 특정 디스플레이에 대한 많은 이미지
로 표시
:.

세트인 경우
세트와 일치합니다 와이, 그러면 그들은 이렇게 말해요
디스플레이 ~에 한 무리의 와이.

일치
~라고 불리는 일대일 (입단사) , a)가 매핑인 경우; b) 기능적으로; c) 디스플레이 엑스"켜짐"으로 설정됨 와이; d) 조건에서
~해야 한다
.

다시 말해서,
각 요소가 전단사인 경우
이미지가 하나 있습니다
, 그리고 각 요소
단일 프로토타입이 있습니다.
이 디스플레이를 사용하면:

(1.2)

1.2.2 이항 관계의 정의

정의. 그들은 많은 사람들에게 그렇게 말합니다. 엑스 주어진 이진 관계 아르 자형, 데카르트 곱의 부분 집합이 주어진 경우
(저것들.
).

실시예 2 . 허락하다
로 설정하자 엑스다음 관계:

– 평등 관계;

– 우선순위 관계;

로 나눈 – 분할성 관계.

이러한 모든 관계는 특성 속성을 사용하여 지정됩니다. 이 관계의 요소는 다음과 같습니다.

부부라는 사실( 엑스, 와이)는 이 관계에 속합니다 아르 자형, 우리는 다음과 같이 쓸 것입니다:
또는 xRy. 예를 들어, 관계의 경우 큐항목 4 큐 2는 4를 의미합니다. 는 2로 나눌 수 있습니다. 즉

정의 영역
이진 관계 아르 자형세트라고 함
값의 범위
세트라고 함

응, 관계 때문에 아르 자형예제 2에서 정의 영역은 집합입니다.
, 값의 범위는 다음과 같습니다.
.

1.2.3 이진 관계를 지정하는 방법

이진 관계는 특성 속성을 지정하거나 모든 요소를 나열하여 지정할 수 있습니다. 이진 관계를 지정하는 보다 시각적인 방법은 관계 그래프, 관계 다이어그램, 관계 그래프, 관계 행렬입니다.

일정 관계는 데카르트 좌표계로 표시됩니다. 가로 축은 정의 영역을 표시하고, 세로 축은 관계 값 세트를 표시합니다. 관계 요소( x,y)는 이 좌표를 가진 평면의 한 점에 해당합니다. 그림에서. 1.7,a)는 비율의 그래프를 보여줍니다. 큐 예 2.

계획 관계는 두 개의 수직선을 사용하여 표시되며, 왼쪽은 관계 정의 영역에 해당하고 오른쪽은 관계 값 집합에 해당합니다. 만약 요소( x,y)는 관계에 속합니다 아르 자형, 다음의 해당 포인트
그리고
직선 세그먼트로 연결됩니다. 그림에서. 1.7,b)는 관계 다이어그램을 보여줍니다. 큐예제 2에서.

그래프 관계
다음과 같이 구성됩니다. 점(집합의 요소)은 어떤 순서로든 평면에 표시됩니다. 엑스. 포인트 쌍 엑스그리고 ~에쌍( x,y)는 관계에 속합니다 아르 자형. 그림에서. 1.8,a)는 관계 그래프를 보여준다. 큐예 2.

허락하다
. 행렬 관계
그것은 가지고있다 N 라인과 N열 및 해당 요소 규칙에 따라 결정됩니다.

그림 1.8b)는 관계 행렬을 보여줍니다. 큐예 2.

관계의 속성

이진 관계는 다음과 같은 다양한 속성을 가질 수 있습니다.

관계 유형

반사적 추이 관계를 준순서 관계라고 합니다.
반사 대칭 전이 관계를 등가 관계라고 합니다.
반사적 반대칭 추이 관계를 (부분) 순서 관계라고 합니다.
반반사 반대칭 추이 관계를 엄격한 순서 관계라고 합니다.
완전한 반대칭(x, y xRy 또는 yRx 보유) 추이 관계를 선형 순서 관계라고 합니다.
반반사적 비대칭 관계를 우성 관계라고 합니다.

이중 관계의 유형

반대 태도 [지정하다](R에 대한 역관계)는 주어진 관계 R의 요소 쌍(x, y)을 순열하여 얻은 요소 쌍(y, x)으로 구성된 이진 관계입니다. R −1로 표시됩니다. 이 관계와 그 역의 경우 다음 등식이 성립합니다: (R −1) −1 = R.
상호 관계(상호 관계) - 서로 반대되는 관계. 그 중 하나의 값 범위는 다른 하나의 정의 범위가 되고, 첫 번째 정의 범위는 다른 값의 범위가 됩니다.
반성적인 태도- 특정 집합에 대해 정의되고 이 집합의 임의의 x에 대해 요소 x가 그 자체에 대한 관계 R에 있는 것을 특징으로 하는 이진 관계 R, 즉 이 집합의 임의의 요소 x에 대해 xRx가 유지되는 것을 특징으로 합니다. 반사 관계의 예: 평등, 동시성, 유사성.
반사 방지 태도(비반사 관계, 반대칭이 비대칭과 일치하지 않는 것처럼, 비반사성은 비반사성과 일치하지 않습니다.) - 특정 집합에 정의되고 이 집합의 모든 요소 x에 대해 다음과 같은 특징을 갖는 2자리 관계 R R과 그 자체의 관계에 있다는 것은 참이 아닙니다(xRx는 사실이 아닙니다). 즉, 집합의 요소가 그 자체와 R의 관계에 있지 않을 수도 있습니다. 무반성적 태도의 예: "돌보아라", "즐거워하다", "긴장하다".
전이적 관계- 특정 집합에 정의되고 이 집합의 임의의 x, y, z에 대해 xRy 및 yRz가 xRz(xRy&yRzxRz)를 의미하는 것을 특징으로 하는 이진 관계 R. 전이적 관계의 예: "더 많이", "더 적게", "같음", "유사", "위", "북쪽".
자동관계 [지정하다] - 특정 세트에 정의되고 이 세트의 임의의 x, y, z에 대해 xRy 및 yRz가 xRz((xRy&yRzxRz))를 의미하지 않는 것을 특징으로 하는 이진 관계 R입니다. 자동사 관계의 예: "x는 y의 아버지입니다"
대칭 관계- 특정 집합에 정의되고 이 집합의 임의 요소 x와 y에 대해 관계 R(xRy)에서 x가 y에 대한 사실로부터 y가 동일하다는 점을 특징으로 하는 2자리 관계 R x(yRx)에 대한 관계. 대칭 관계의 예로는 평등(=), 동등 관계, 유사성, 동시성, 일부 친족 관계(예: 형제 관계)가 있습니다.
비대칭 관계- 특정 세트에 정의되고 xRy 및 xR −1 y의 임의의 x 및 y에 대해 x = y를 따르는 것을 특징으로 하는 2자리 관계 R(즉, R 및 R −1은 다음과 같은 멤버에 대해서만 동시에 충족됩니다. 서로 동일함).
비대칭 관계 [지정하다]는 특정 집합에 정의되고 임의의 x와 y에 대해 xRy가 yRx를 의미하는 두 위치 관계 R입니다. 예: “보다 많음”(>)과 “보다 작음”(<).
동등 관계(신원 관계 [ 지정하다], 동등형 관계)는 주제 영역 D의 객체 x와 y 사이의 두 위치 관계 R이며 다음 공리(조건)를 만족합니다. 따라서 동등형 관계는 반사적, 대칭적, 추이적 관계입니다. 예: 평등, 두 세트의 동일한 카디널리티, 시장에서의 상품 교환 가능성, 유사성, 동시성. 공리 (3)을 충족하지만 공리 (1)과 (2)를 충족하지 않는 관계의 예: "more".
주문관계- 동치 관계의 세 가지 속성 중 일부만 갖는 관계. 특히, 반사적이고 추이적이지만 비대칭적인(예: "더 이상") 관계는 "느슨한" 순서를 형성합니다. 관계는 추이적이지만 비반사적이고 비대칭적(예: "보다 작음")입니다. 즉 "엄격한" 순서입니다.
기능- 이중 관계 아르 자형, 특정 세트에 대해 정의되고, 각 값에 대해 엑스관계 xRy 와이. 예: " 와이아버지 엑스" 관계 기능 속성 아르 자형공리로 작성되었습니다 : ( xRy그리고 xRz)→(와이≡지). 각각의 값부터 엑스표현에서 xRy그리고 xRz동일한 값에 해당하면 와이그리고 지일치하다, 같은 것으로 판명되다. 각 값 x가 관계를 갖기 때문에 함수 관계는 고유합니다. xRy하나의 단일 값에만 해당합니다. 와이, 그러나 그 반대는 아닙니다.
전단사(한 자리 관계) - 두 자리 관계 아르 자형, 특정 세트에 정의되어 있으며, 각 값 x는 단일 값에 해당하는 것을 특징으로 합니다. ~에, 그리고 각 값 ~에단일 값과 일치합니다. 엑스. 일대일 관계는 일대일 관계의 특별한 경우입니다.
관련 관계- 이것은 두 자리 관계이다. 아르 자형, 임의의 두 개의 서로 다른 요소에 대한 것을 특징으로 하는 특정 세트에 대해 정의됨 엑스그리고 ~에이 세트 중 하나는 관련이 있습니다. 아르 자형다른 사람에게(즉, 두 관계 중 하나가 충족됩니다. xRy또는 yRx). 예: "보다 작음" 관계(<).

관계에 대한 작업

고정된 집합 쌍 , 에 정의된 관계는 집합 의 부분 집합이기 때문에 이러한 모든 관계의 집합은 관계의 결합, 교집합 및 추가 작업과 관련하여 부울 대수를 형성합니다. 특히 임의의 경우

종종 관계를 결합하고 교차하고 보완하는 대신 분리, 결합 및 부정에 대해 이야기합니다.

예를 들어, , 즉 엄격한 순서 관계와 동등 관계의 합집합은 비엄격한 순서 관계와 일치하며 그 교차점은 비어 있습니다.

나열된 것 외에도 다음과 같이 정의된 관계의 역전 및 곱셈 연산도 중요합니다.

이면 역관계는 쌍에 정의되고 해당 쌍으로 구성된 관계입니다. 예를 들어, .

이제 . 관계의 산물은 다음과 같은 관계이다.

, 및 이면 관계의 곱은 정의되지 않습니다. 어떤 집합에 정의된 관계를 고려하면 그러한 상황은 발생하지 않습니다.

예를 들어, 자연수 집합에 정의된 엄격한 순서 관계를 생각해 보세요. 그건 알아차리기 쉽죠

이항 관계는 가환성(commutative if)이라고 합니다. 에 정의된 모든 이진 관계에 대해 기호는 에 정의된 동등성을 나타냄을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 평등이 항상 공평한 것은 아닙니다.

다음과 같은 신원이 유지됩니다:

마지막 두 정체성의 유사점은 유지되지 않습니다.

관계 연산을 사용하여 관계의 일부 속성을 결정할 수 있습니다.

또한보십시오

문학

A. I. Maltsev.대수학 시스템. -M .: 과학, 1970.

위키미디어 재단. 2010.

- 주어진 세트에 대한 두 자리 술어입니다. B.o 아래. 때로는 주어진 A.B.o 집합의 요소 순서쌍 집합(a, 6)의 하위 집합으로 이해됩니다. 관계의 특별한 경우. 하자. 그렇다면 해당 요소는 이진수라고 합니다... ... 수학백과사전

논리에서는 속성과 달리 개별 객체가 아니라 쌍, 셋 등을 특징으로 하는 것입니다. 항목. 전통적인 논리는 O를 고려하지 않았습니다. 현대 논리에서 O.는 두 개 이상의 변수로 구성된 명제 함수입니다. 바이너리... 철학백과사전

태도- RELATIONSHIP은 순서가 지정된 n개의 ok 개인(여기서 n은 1)의 집합입니다. 둘, 셋 등. 숫자 n은 "locality"또는 "arity", O라고 불립니다. 따라서 그들은 n local (n arno) O를 말합니다. 따라서 예를 들어 이중 O.는... ... 인식론 및 과학철학 백과사전

소비자 이론에서 이는 다양한 상품 세트(소비 묶음)를 비교(바람직도에 따라 정렬)하는 소비자의 능력에 대한 공식적인 설명입니다. 선호 관계를 설명하기 위해 바람직성을 측정할 필요는 없습니다... ... Wikipedia

이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 태도를 참조하세요. 관계는 다양한 개체의 속성과 해당 관계를 공식적으로 정의하는 수학적 구조입니다. 관계는 일반적으로 연결되는 개체 수에 따라 분류됩니다... Wikipedia

이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 태도를 참조하세요. 두 개 이상의 인수 조건자(다중 조건자), 두 개 이상의 조건자 속성에 대한 1차 논리 관계입니다. 관계 기호: R.[구체적으로] 관계 측면에서... ... Wikipedia, A.I.Shirokov. 이 매뉴얼은 학문 분야 "이산 수학"의 "기본 집합 이론 구성" 섹션의 일곱 번째 부분입니다. 이러한 내용을 소개하고 분석합니다... 전자책

허락하다 아르 자형는 집합 X의 이진 관계이고 x, y, z는 해당 요소 중 하나입니다. 요소 x가 요소 y와 R 관계에 있으면 다음과 같이 씁니다. xRy.

1. 집합 X의 관계 R은 집합의 각 요소가 자신과 이 관계에 있는 경우 반사적이라고 합니다.

R -X에 대한 반사<=>x€ X에 대한 xRx

관계 R이 반사적이면 그래프의 각 꼭지점에 루프가 있습니다. 예를 들어, 선분에 대한 동등 관계와 병렬 관계는 반사적이지만 수직성과 "더 긴" 관계는 반사적이지 않습니다. 이는 그림 42의 그래프에 반영되어 있습니다.

2. 집합 X의 관계 R은 요소 x가 요소 y와 주어진 관계에 있다는 사실로부터 요소 y가 요소 x와 동일한 관계에 있다는 사실을 따르는 경우 대칭이라고 합니다.

R - 대칭적으로 켜짐(xYay =>y Rx)

대칭 관계 그래프에는 반대 방향으로 가는 쌍의 화살표가 포함되어 있습니다. 세그먼트의 평행성, 수직성 및 동일성 관계는 대칭이지만 "더 긴" 관계는 대칭이 아닙니다(그림 42).

3. 집합 X의 다른 요소 x와 y에 대해 요소 x가 요소 y와 주어진 관계에 있다는 사실로부터 요소 y가 그렇지 않은 경우 집합 X의 관계 R을 반대칭이라고 합니다. 요소 x와 관련하여.

R - X에 대한 반대칭 « (xRy 및 xy ≠ yRx)

참고: 윗줄은 진술의 부정을 나타냅니다.

반대칭 관계 그래프에서는 두 점을 하나의 화살표로만 연결할 수 있습니다. 그러한 관계의 예는 세그먼트에 대한 "더 긴" 관계입니다(그림 42). 평행성, 직각성, 평등의 관계는 반대칭이 아닙니다. 대칭도 반대칭도 아닌 관계가 있습니다. 예를 들어 "형제임" 관계가 있습니다(그림 40).

4. 집합 X의 관계 R은 요소 x가 요소 y와 주어진 관계에 있고 요소 y가 요소 z와 이 관계에 있다는 사실로부터 요소 x가 다음과 같다면 추이적이라고 합니다. 요소 Z와의 주어진 관계

R - A≠에서 전이적(xRy 및 yRz=> xRz)

그림 42의 "더 긴", 병렬성 및 동등 관계의 그래프에서 화살표가 첫 번째 요소에서 두 번째로, 두 번째에서 세 번째로 이동하면 확실히 첫 번째 요소에서 이동하는 화살표가 있음을 알 수 있습니다. 세 번째 요소. 이러한 관계는 전이적입니다. 세그먼트의 직각성은 전이성의 속성을 갖지 않습니다.

우리가 고려하지 않은 동일한 집합의 요소 간 관계의 다른 속성이 있습니다.

동일한 관계는 여러 속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어 세그먼트 집합에서 "동등" 관계는 반사적이고 대칭적이며 추이적입니다. "더 많은" 관계는 반대칭적이고 추이적입니다.

집합 X의 관계가 반사적, 대칭적, 추이적이면 이 집합에 대한 동치 관계입니다. 이러한 관계는 집합 X를 클래스로 나눕니다.

예를 들어, 이러한 관계는 작업을 완료할 때 나타납니다. "동일한 길이의 스트립을 선택하여 그룹으로 정렬", "각 상자에 동일한 색상의 공이 포함되도록 공을 정렬". 등가 관계(“길이가 동일하다”, “동일한 색상”)는 이 경우 줄무늬와 공 세트를 클래스로 분할하는 것을 결정합니다.

집합 1의 관계가 추이적이며 반대칭인 경우 이를 이 집합의 순서 관계라고 합니다.

주어진 순서 관계를 갖는 집합을 순서 집합이라고 합니다.

예를 들어, "스트립의 너비를 비교하고 가장 좁은 것부터 가장 넓은 것까지 정렬", "숫자를 비교하고 숫자 카드를 순서대로 정렬"과 같은 작업을 완료할 때 어린이는 스트립과 숫자 카드 세트의 요소를 정렬합니다. 주문 관계를 사용하여; '더 넓어지다', '따라가다'.

일반적으로 등가 관계와 순서 관계는 아이들이 집합의 분류와 순서에 대한 올바른 생각을 형성하는 데 큰 역할을 합니다. 그 외에도 등가관계도 아니고 순서관계도 아닌 관계가 많이 존재한다.

6. 집합의 특징적인 속성은 무엇입니까?

7. 집합은 어떤 관계에 존재할 수 있습니까? 각 사례에 대해 설명하고 오일러 원을 사용하여 묘사하세요.

8. 하위 집합을 정의합니다. 집합의 예를 들어보세요. 그 중 하나는 다른 집합의 부분 집합입니다. 기호를 사용하여 관계를 작성합니다.

9. 동일 집합을 정의합니다. 두 개의 동일한 집합의 예를 들어보세요. 기호를 사용하여 관계를 작성합니다.

10. 두 집합의 교집합을 정의하고 각 특정 사례에 대해 오일러 원을 사용하여 묘사합니다.

11. 두 집합의 합집합을 정의하고 각 특정 사례에 대해 오일러 원을 사용하여 이를 묘사합니다.

12. 두 세트 간의 차이를 정의하고 각 특정 사례에 대해 오일러 원을 사용하여 이를 묘사합니다.

13. 보수를 정의하고 오일러 원을 사용하여 묘사합니다.

14. 세트를 클래스로 분할한다는 것은 무엇입니까? 올바른 분류를 위한 조건을 말해보세요.

15. 두 집합 사이의 대응을 무엇이라고 합니까? 대응을 지정하는 방법의 이름을 지정하십시오.

16. 어떤 종류의 서신을 일대일 서신이라고 합니까?

17. 어떤 세트를 동일하다고 부르나요?

18. 어떤 세트를 동등하다고 부르나요?

19. 집합의 관계를 정의하는 방법을 설명하십시오.

20. 집합의 어떤 관계를 재귀적이라고 부르나요?

21. 집합의 어떤 관계를 대칭이라고 부르나요?

22. 집합의 어떤 관계를 반대칭이라고 부르나요?

23. 집합의 어떤 관계를 추이적이라고 부르나요?

24. 등가 관계를 정의합니다.

25. 순서 관계를 정의합니다.

26. 어떤 세트를 주문이라고 하나요?

SQL Server의 T-SQL 언어는 표준 SQL 언어를 기반으로 하며, 이는 관계형 모델을 기반으로 하고 집합 이론 및 조건자 논리와 같은 수학적 기초를 기반으로 합니다. 이 기사에서는 집합론의 기본 주제인 집합에 대한 관계의 속성을 검토합니다. 독자는 제안된 T-SQL 코드를 사용하여 특정 관계의 특정 속성이 있는지 확인할 수 있습니다. 그러나 이 문서에 설명된 솔루션을 적용하기 전에 관계에 특정 속성이 있는지 확인하기 위해 자신만의 스크립트 버전을 작성해 볼 수도 있습니다.

집합과 관계

집합론의 창시자인 게오르그 칸토어(Georg Cantor)는 집합을 "우리의 숙고나 사고에서 명확하게 구별되는 특정 대상 m의 집합(집합 M의 요소라고 함)의 특정 전체 M으로의 결합"으로 정의합니다. 집합의 요소는 사람, 숫자, 집합 자체 등 임의의 성격을 지닌 객체일 수 있습니다. 기호 ∈ 및 ∉는 각각 집합에 있는 요소의 소속(발생, 소속) 및 비멤버십을 반영하는 연산자를 나타냅니다. 따라서 x ∈ V 표기는 x가 집합 V의 요소라는 것을 의미하고, x ∉ V 표기는 x가 V의 요소가 아니라는 것을 의미합니다.

집합의 이항 관계는 원래 집합의 요소 순서쌍 집합입니다. 따라서 요소 집합 V = (a, b, c)에 대해 주어진 집합 V의 이진 관계 R은 데카르트 곱 V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) ). 관계 R = ((a, b), (b, c), (a, c))는 V에 대한 유효한 이진 관계입니다. 우리는 a가 R에 의해 b와 관련되어 있다고 말할 수 있습니다. R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). 이러한 R은 쌍 (c, d)가 데카르트 곱 V × V에 속하지 않기 때문에 V에 대해 허용 가능한 관계가 아닙니다. 세트에 포함된 요소가 지정되는 순서는 중요하지 않습니다. 집합 V는 (a, b, c) 또는 (b, a, c) 등으로 지정될 수 있습니다. 그러나 이진 관계의 (a, b)와 같은 순서쌍의 순서는 중요합니다. 따라서 (a, b) ≠ (b, a)입니다.

이진 관계의 보다 현실적인 예로, 가족 구성원의 집합 F(Itsik, Mickey, Inna, Mila, Gabi)를 생각해 보세요. Mickey는 Itzik의 쌍둥이 형제, Inna는 그의 누나, Mila는 그의 어머니, Gabi는 그의 아버지입니다. 집합 F에 대한 관계 R의 예는 "형제입니다"입니다. 이 관계의 요소는 ((잇식, 미키), (미키, 잇직), (잇식, 이나), (미키, 이나))입니다. 순서쌍(Itsik, Inna)은 R에 나타나지만 쌍(Inna, Itsik)은 나타나지 않습니다. Itzik은 Inna의 형제이지만 Inna의 형제는 아닙니다.

집합의 관계 속성

이제 집합과 관계에 대한 이해를 새롭게 하였으므로 기사의 주제인 집합에 대한 관계의 속성으로 넘어가겠습니다. 데이터 예를 들어, 목록 1의 코드를 사용하여 테이블 V와 R을 생성합니다. V는 집합을 나타내고 R은 집합에 대한 이진 관계를 나타냅니다. 목록 2의 코드를 사용하여 새 샘플 데이터로 채우기 전에 두 레코드 테이블을 모두 지우는 ClearTables 프로시저를 만듭니다. 마지막으로 목록 3, 4, 5의 코드를 사용하여 테이블 V와 R을 테스트용 다양한 데이터 세트로 채웁니다(이들을 각각 샘플 데이터 1, 2, 3이라고 부릅니다).

반사성.집합 V의 관계 R은 집합 V의 임의의 요소 v에 대해 v ∈ V에 대해 (v, v) ∈ R, 즉 쌍 (v, v)가 항상 R에 속하는 경우 반사적입니다. 그리고 (v, v) ∉ R 쌍이 되는 요소 v ∈ V가 있는 경우 V에 대한 관계 R은 반사적이지 않습니다. 집합 F의 예를 다시 생각해 보겠습니다.

F에 대한 "동일한 나이"라는 관계는 명백히 반사적입니다. 관계의 요소는 다음 쌍입니다: ((Itsik, Itsik), (Itsik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi , 가비)).

테이블 V와 R(이 세트의 집합과 관계를 나타냄)에 대해 T-SQL 쿼리 작성을 시작하고 R이 반사적인지 확인하겠습니다.

선택하다
사례
존재하는 경우
(dbo.V에서 v, v 선택
제외하고
dbo.R에서 r1, r2 선택)
그럼 싫어"
그렇지 않으면 "예"
END AS 재귀적

EXCEPT 연산의 첫 번째 하위 쿼리는 테이블 V의 모든 행에 대한 모든 순서쌍(v, v) 집합을 반환합니다. 두 번째 하위 쿼리는 테이블 R의 모든 행인 순서쌍 집합(r1, r2)을 반환합니다. EXCEPT 연산 따라서 첫 번째 세트에서는 발생하고 두 번째 세트에서는 누락된 모든 순서쌍을 반환합니다. EXISTS 조건자는 결과 집합에 최소한 하나의 레코드가 있는지 확인하는 데 필요합니다. 그러한 레코드가 하나 이상 있으면 CASE 표현식은 "No"(재귀 없음)를 반환하지만, 그렇지 않으면 "Yes"(재귀 있음)도 반환합니다.

목록 3, 4, 5의 세 가지 예제 데이터세트를 살펴보고 쿼리를 실행하지 않고도 반사 관계를 가질 수 있는 데이터세트를 결정해 보세요. 답변은 기사 텍스트에 추가로 나와 있습니다.

반사적이지 않습니다.집합 V의 관계 R은 각 요소 v ∈ V에 대해 (v, v) ∉ R을 따르는 경우 비반사적(비재귀성과 혼동하지 말 것)이라고 합니다. 요소 v ∈가 있는 경우 관계는 비반사적이지 않습니다. V는 (v, v) ∈ R입니다. 우리 가족 구성원의 집합 F에 대한 비반성적 관계의 예는 "부모가 됨" 관계입니다. 왜냐하면 어느 누구도 자신의 부모가 될 수 없기 때문입니다. F에서 이 관계의 멤버는 다음 쌍입니다: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)) .

다음 쿼리는 V에 대한 관계 R이 비반사적인지 여부를 확인합니다.

선택하다
사례
존재하는 경우
(SELECT * FROM dbo.R
여기서 r1 = r2)
그럼 싫어"
그렇지 않으면 "예"
무반사적으로 종료

테이블 R 정의의 외래 키는 V의 요소만 레코드 R의 r1 및 r2 속성을 구성할 수 있도록 하기 위해 도입되었습니다. 따라서 남은 것은 r1 및 r1 속성과 일치하는 레코드가 R에 있는지 확인하는 것뿐입니다. r2. 그러한 항목이 발견되면 관계 R은 비반사적이지 않으며, 항목이 없으면 관계 R은 비반사적입니다.

대칭.(r1, r2) ∈ R과 함께 (r2, r1) ∈ R이 항상 만족되면 집합 V의 관계 R을 대칭이라고 합니다. 어떤 쌍 (r1, r2) ∈ R이 있으면 관계는 대칭이 아닙니다. 이는 (r2, r1) ∉ R입니다. Ben-Gan 가족 구성원의 집합 F에서 "is a sibling of" 관계는 대칭 관계의 예가 됩니다. 이 관계의 쌍은 다음 세트가 됩니다: ((Itsik, Mickey), (Itsik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

다음 쿼리는 R과 V의 관계가 대칭인지 확인합니다.

선택하다
사례
존재하는 경우
(dbo.R에서 r1, r2 선택
제외하고
dbo.R에서 r2, r1 선택)
그럼 싫어"
그렇지 않으면 "예"
END AS 대칭

요청 코드는 EXCEPT 작업을 사용합니다. EXCEPT 연산의 첫 번째 하위 쿼리는 테이블 R의 레코드인 순서쌍 세트(r1, r2)를 반환하고, 두 번째 하위 쿼리는 R의 각 레코드에 대한 순서쌍 세트(r2, r1)를 반환합니다. V 세트가 대칭이 아닌 경우 EXCEPT 연산은 비어 있지 않은 결과 세트를 반환하고 EXISTS 조건자는 각각 TRUE 값을 반환하며 마지막으로 CASE 표현식은 "No"를 반환합니다.

관계가 대칭이면 CASE 표현식은 "예"를 반환합니다.

어울리지 않음.집합 V의 관계 R은 r1 ≠ r2인 모든 집합 (r1, r2) ∈ R에 대해 (r2, r1) ∉ R이 참인 경우 비대칭입니다(이 속성을 비대칭과 혼동해서는 안 됩니다). 집합에 대한 비대칭 관계의 예 저자 가족의 F 구성원은 위에서 설명한 "부모가 되는" 관계를 갖게 됩니다. 연습으로 대칭이면서 비대칭이기도 한 비어 있지 않은 집합에 대한 관계의 예를 생각해 보세요. 해결 방법은 이 문서의 예제 데이터를 확인하세요.

선택하다
사례
존재하는 경우
(dbo.R에서 r1, r2를 선택하세요. WHERE r1 r2
교차
r1 r2) dbo.R에서 r2, r1 선택
그럼 싫어"
그렇지 않으면 "예"
END AS 비대칭

코드는 INTERSECT 연산을 사용합니다. 이 작업의 첫 번째 하위 쿼리는 r1, r2가 있는 테이블 R의 각 레코드에 대해 순서쌍(r1, r2)을 반환합니다.

INTERSECT 연산의 두 번째 하위 쿼리는 r1, r2가 있는 테이블 R의 각 레코드에 대해 순서쌍(r2, r1)을 반환합니다. 결과 집합(이러한 집합의 교집합 결과)에 하나 이상의 레코드가 포함되어 있으면 이는 R이 비대칭이 아니라는 의미입니다. 그렇지 않으면 R은 비대칭입니다.

전이성.포함 항목 (a, b) ∈ R 및 (b, c) ∈ R이 항상 (a, c) ∈ R임을 암시하는 경우 집합 V의 관계 R은 추이적입니다. 가족 구성원 집합에 대한 추이적 관계의 예 F는 위에서 논의된 "형제 또는 자매입니다"라는 관계입니다.

아래 코드는 관계 R의 전이성을 테스트합니다.

선택하다
사례
존재하는 경우
(선택하다 *
dbo.R AS RA에서
내부 조인 dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
왼쪽 외부 조인 dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 AND RB.r2 = RC.r2
RC.r1이 NULL인 경우)
그럼 싫어"
그렇지 않으면 "예"
END AS 전이적

코드는 먼저 R의 두 인스턴스 간의 내부 조인을 사용하여 첫 번째 인스턴스의 r2가 두 번째 인스턴스의 r1과 일치하는 행만 선택합니다. 둘째, 코드는 테이블 R의 세 번째 인스턴스와 왼쪽 외부 조인을 사용합니다. 이에 따르면 R의 첫 번째 인스턴스의 r1은 세 번째 인스턴스의 r1과 동일하고 두 번째 인스턴스의 r2는 테이블의 r2와 같습니다. 제삼. 내부 하위 쿼리에 결과 행이 하나 이상 있는 경우(세 번째 인스턴스의 선택 조건: r1이 Null임) 이는 관계가 전이적이지 않음을 의미합니다. 그렇지 않으면 관계 R은 추이적입니다.

동등 관계.동치관계는 반사성, 대칭성, 추이성 등의 특성을 동시에 갖는 관계이다. 위에 제안된 쿼리를 사용하여 각 속성의 존재를 개별적으로 확인할 수 있습니다. 관계에 세 가지 속성이 모두 있으면 동등 관계가 성립한다고 결론을 내려야 합니다. 또한 목록 6의 코드를 사용하여 동치 관계의 속성 테스트를 포함하여 기사 앞부분에서 논의한 집합 V에 대한 관계 R의 모든 속성을 테스트할 수 있습니다. 샘플 데이터 1, 2, 3(각각 Listing 3, 4, 5에서 파생됨)에 대해 Listing 6을 실행하면 각각 표 1, 2, 3에 표시된 결과를 얻을 수 있습니다.

기본 T-SQL로 돌아가기

따라서 우리는 수학적 집합 이론의 기본 주제인 집합 관계의 속성을 조사했습니다. 나는 테이블 V로 표시되는 요소 집합에서 테이블 R(순서화된 요소 쌍)으로 표시되는 일부 관계의 속성을 테스트하기 위해 T-SQL 테스트 코드를 제안했습니다.

기본 T-SQL 구문을 사용하면 집합의 관계 속성을 더 잘 이해할 수 있도록 이 언어의 도구를 올바르게 구성하고 적용하는 데 도움이 되었습니다.

이직 벤간( [이메일 보호됨]) - 교사이자 컨설턴트이며 T-SQL에 관한 책의 저자이며 SQL Server MVP라는 직함을 가지고 있습니다.

강의 3.

제3항. 세트의 관계. 이진 관계의 속성.

3.1. 바이너리 관계.

예를 들어 Sergei와 Anna와 같은 두 사람의 관계에 대해 이야기하면 그들이 속한 특정 가족이 있음을 의미합니다. 순서쌍(세르게이, 안나)은 세르게이와 안나(사촌, 아버지 등) 사이에 일종의 관계가 있다는 점에서 다른 순서쌍과 다릅니다.

수학에서는 두 집합의 직접곱의 모든 순서쌍 중에서 ㅏ그리고 비 (ㅏ´ 비) "특별한" 쌍은 구성 요소 사이에 다른 쌍에는 없는 "친족" 관계가 있다는 사실로 인해 구별됩니다. 예를 들어, 세트를 고려하십시오 에스일부 대학의 학생들과 많은 케이거기에서 가르치는 강좌. 직접상품으로 에스´ 케이순서쌍의 큰 부분집합을 선택할 수 있습니다( 에스, 케이) 재산 보유 : 학생 에스강좌를 수강하고 있습니다 케이. 구성된 하위 집합은 학생 집합과 코스 간에 자연스럽게 발생하는 "...듣는다..." 관계를 반영합니다.

두 세트의 요소 사이의 연결에 대한 엄격한 수학적 설명을 위해 이항 관계의 개념을 도입합니다.

정의 3.1. 바이너리 (또는 더블 )태도 아르 자형세트 사이 ㅏ그리고 비임의의 부분 집합이 호출됩니다. ㅏ´ 비, 즉.

특히, 만약 A=비(즉, rÍ ㅏ 2) 그러면 그들은 r이 집합의 관계라고 말합니다. ㅏ.

강요 ㅏ그리고 비호출된다 구성 요소 (또는 좌표 ) 관계 r.

논평. 집합의 요소들 사이의 관계를 나타내기 위해 그리스 알파벳(r, t, j, s, w 등)을 사용한다는 데 동의합시다.

정의 3.2. 정의 영역 디 r=( ㅏ| $ 비, 무엇 ㅏ아르 자형 비) (왼쪽). 값의 범위 이진 관계의 r을 집합이라고 합니다. 아르 자형 r=( 비| $ ㅏ, 무엇 ㅏ아르 자형 비) (오른쪽 부분).

예 3. 1. 두 세트를 주어보자 ㅏ=(1; 3; 5; 7) 및 비=(2; 4; 6). 관계를 다음과 같이 설정해 보겠습니다. t=(( 엑스; 와이)Î ㅏ´ 비 | 엑스+와이=9). 이 관계는 다음과 같은 쌍 (3; 6), (5; 4) 및 (7; 2)로 구성되며, 이는 t=((3; 6), (5; 4), (7;2)로 쓸 수 있습니다. ) ). 이 예에서는 디 t=(3; 5; 7) 및 아르 자형티= 비={2; 4; 6}.

예 3. 2. 실수 집합에 대한 등식 관계는 집합 r=(( 엑스; 와이) | 엑스그리고 와이– 실수와 엑스같음 와이). 이 관계에는 "="라는 특별한 표기법이 있습니다. 정의 영역은 값 영역과 일치하며 실수의 집합이며, 디 r= 아르 자형아르 자형.

예 3. 3. 허락하다 ㅏ– 상점에 많은 상품이 있으며, 비– 실수 집합. 그러면 j=(( 엑스; 와이)Î ㅏ´ 비 | 와이- 가격 엑스) – 집합의 관계 ㅏ그리고 비.

예제 3.1.에 주의를 기울이면 이 관계가 처음에 t=(( 엑스; 와이)Î ㅏ´ 비 | 엑스+와이=9), t=((3; 6), (5;4), (7;2))로 작성됩니다. 이는 집합(또는 하나의 집합)의 관계가 다양한 방식으로 지정될 수 있음을 시사합니다. 이진 관계를 정의하는 방법을 살펴보겠습니다.

관계를 정의하는 방법:

1) 적절한 술어를 사용합니다.

2) 순서쌍 세트;

3) 그래픽 형식으로: 하자 ㅏ그리고 비– 두 개의 유한 집합과 r – 그들 사이의 이진 관계. 이 세트의 요소는 평면의 점으로 표시됩니다. 각 관계 쌍에 대해 r은 쌍의 구성 요소를 나타내는 점을 연결하는 화살표를 그립니다. 그러한 객체를 호출합니다. 유향 그래프또는 이중 그래프, 집합의 요소를 나타내는 점은 일반적으로 호출됩니다. 그래프의 정점.

4) 행렬 형태로 : ㅏ={ㅏ 1, ㅏ 2, …, 안) 그리고 비={비 1, 비 2, …, BM), r – 비율 켜기 ㅏ´ 비. 매트릭스 표현 r은 행렬이라고 불린다 중=[미즈] 사이즈 N´ 중, 관계에 의해 정의됨

그런데 행렬 표현은 컴퓨터에서의 관계 표현입니다.

예 3. 4. 두 세트를 주어보자 ㅏ=(1; 3; 5; 7) 그리고 비=(2; 4; 6). 관계는 다음과 같이 주어진다. t=(( 엑스; 와이) | 엑스+와이=9). 이 관계를 행렬 형태의 순서쌍 집합인 이중 그래프로 정의합니다.

해결책. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - 순서쌍 집합으로 관계를 정의합니다.

2) 해당 방향 그래프가 그림에 표시됩니다.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

예 3. 5 . 예를 들어, 제안된 내용을 고려해 볼 수 있습니다. J. 폰 노이만(1903 – 1957) 많은 장치로 구성된 순차 컴퓨터의 블록 다이어그램 중:

어디 ㅏ- 입력 장치, 비– 산술 장치(프로세서), 씨- 제어 장치, 디- 기억장치, 이자형- 출력 장치.

장치 간의 정보 교환을 고려해보자 미그리고 엠제이, 이는 장치에서 r과 관련이 있습니다. 미정보가 장치에 입력됩니다. 엠제이.

이 이진 관계는 14개의 순서쌍 요소를 모두 나열하여 정의할 수 있습니다.

이 이진 관계를 정의하는 해당 이중 그래프가 그림에 표시됩니다.

이 이진 관계의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

. ,

이진 관계의 경우 집합 이론 연산은 합집합, 교집합 등 일반적인 방식으로 정의됩니다.

일반화된 관계 개념을 소개해보자.

정의 3.3. n자리 (N-아리 ) 관계 r은 직접 곱의 부분 집합입니다. N집합, 즉 순서가 지정된 집합의 집합( 튜플 )

rÍ ㅏ 1 안={(ㅏ 1, …, 안)| ㅏ 1О ㅏ 1Ù…Ù 안Î 안}

다음을 사용하여 다중 위치 관계를 정의하는 것이 편리합니다. 관계형 테이블 . 이 작업은 세트를 열거하는 것에 해당합니다. N-관계 r에. 관계형 테이블은 관계형 데이터베이스의 컴퓨터 실습에서 널리 사용됩니다. 관계형 테이블은 일상 생활에서 사용됩니다. 모든 종류의 생산, 재무, 과학 및 기타 보고서는 관계형 테이블 형식을 취하는 경우가 많습니다.

단어 " 관계형"는 라틴어에서 유래되었습니다. 관계, 러시아어로 번역하면 "태도"를 의미합니다. 따라서 문헌에서는 문자를 관계를 나타내는 데 사용합니다. 아르 자형(라틴어) 또는 r (그리스어).

정의 3.4.하자 ㅏ´ 비에 대한 태도가 있다 ㅏ´ 비.그러면 비율 r-1이 호출됩니다. 역관계 주어진 비율 r에 의해 ㅏ´ 비, 이는 다음과 같이 정의됩니다.

r-1=(( 비, ㅏ) | (ㅏ, 비)Îr).

정의 3.5. r Н를 보자 ㅏ´ 비에 대한 태도가 있다 ㅏ´ 비, AS Н 비´ 씨 -~에 대한 태도 비´ 씨. 구성처지 s와 r은 관계 t Н라고 불립니다. ㅏ´ 씨, 이는 다음과 같이 정의됩니다.

t=s◦r= (( ㅏ, 씨)| $비Î ㄴ, 뭐야? (ㅏ, 비) Îr 그리고 (비, 씨)이다).

예 3. 6 . 하자 그리고 씨=(, !, d, a). 그리고 비율 r을 ㅏ´ 비그리고 비율은 켜짐 비´ 씨다음과 같은 형식으로 제공됩니다.

r=((1, 엑스), (1, 와이), (3, 엑스)};

s=(( 엑스,), (엑스, !), (와이, 디), ( 와이, à)}.

r-1과 s��r, r��s를 구합니다.

해결책. 1) 정의에 따르면 r-1=(( 엑스, 1), (와이, 1), (엑스, 3)};

2) 두 관계의 구성 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.

s◦ r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

(1, 엑스)Îr 및 ( 엑스,)는 다음과 같습니다 (1,) Îs◦ r;

(1, 엑스)Îr 및 ( 엑스, !)는 다음과 같습니다 (1, !)Îs ◦ r;

(1, 와이)Îr 및 ( 와이, d)는 (1, d) Îs를 따릅니다. r;

(3, 엑스)Îr 및 ( 엑스, !)는 (3, !)의 r을 따릅니다.

정리 3.1.모든 이항 관계에 대해 다음 속성이 유지됩니다.

2) ;

3) -구성의 연관성.

증거.속성 1은 분명합니다.

속성 2를 증명해 보겠습니다. 두 번째 속성을 증명하기 위해 등식의 왼쪽과 오른쪽에 쓰여진 집합이 동일한 요소로 구성된다는 것을 보여 드리겠습니다. 허락하다 ( ㅏ; 비) О (s◦r)-1 Û ( 비; ㅏ) О sоr Û $ 씨그렇게 ( 비; 씨) О r 및 ( 씨; ㅏ) О s Û $ 씨그렇게 ( 씨; 비) О r-1 및 ( ㅏ; 씨) О s-1 Ш ( ㅏ; 비) О r -1o s -1.

속성 3을 직접 증명해 보세요.

3.2. 이진 관계의 속성.

집합에 대한 이항 관계의 특별한 속성을 고려해 보겠습니다. ㅏ.

이진 관계의 속성.

1. 비율 ㅏ´ ㅏ~라고 불리는 반사적 , 만약에 ( ㅏ,ㅏ)는 모두 r에 속합니다. ㅏ~에서 ㅏ.

2. 관계 r은 다음과 같습니다. 반사 방지 , 만약에 ( ㅏ,비)Îr이 팔로우합니다 ㅏ¹ 비.

3. 비율 대칭적으로 , 만약에 ㅏ그리고 비에 속하는 ㅏ, 에서 ( ㅏ,비)Îr 다음과 같습니다( 비,ㅏ) Îr.

4. 관계 r은 다음과 같습니다. 반대칭 , 만약에 ㅏ그리고 비~에서 ㅏ, 소속에서 ( ㅏ,비) 그리고 ( 비,ㅏ) 관계 r은 다음을 의미합니다. ㅏ=비.

5. 비율 전이적으로 , 만약에 ㅏ, 비그리고 씨~에서 ㅏ( ㅏ,비)Îr 및 ( 비,씨)Îr, 다음은 ( ㅏ,씨) Îr.

예 3. 7. 허락하다 ㅏ=(1; 2; 3; 4; 5; 6). 이 집합에서 관계 rÍ이 주어집니다. ㅏ 2, 형식은 다음과 같습니다. r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2 ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). 이 관계에는 어떤 속성이 있습니까?

해결책. 1) 이 관계는 반사적입니다. ㅏÎ ㅏ, (ㅏ; ㅏ) Îr.

2) 이 속성의 조건이 충족되지 않으므로 관계는 반반사적이지 않습니다. 예를 들어 (2, 2)Îr이지만 이것이 212를 의미하지는 않습니다.

3) 관계 r이 대칭임을 보여주는 모든 가능한 경우를 고려하십시오.

(ㅏ, 비) Îr	(비, ㅏ)	(비, ㅏ) Îr?

4) 이 관계는 (1, 2)Îr과 (2,1)Îr이므로 반대칭이 아니지만, 이로 인해 1=2가 되는 것은 아닙니다.

5) 직접 열거법을 사용하여 관계 r이 추이적임을 보여주는 것이 가능합니다.

(ㅏ, 비) Îr	(비, 씨) Îr	(ㅏ, 씨)	(ㅏ, 씨) Îr?

행렬 표현을 사용하는 방법

이항 관계의 속성을 결정

1. 반사성:모든 것은 주 대각선에 있으며 0 또는 1은 별표로 표시됩니다.

2. 반사 방지:주대각선은 모두 0입니다.

3. 대칭:만약에 .

4. 비대칭성:주대각선 외부의 모든 요소는 0입니다. 주대각선에는 0이 있을 수도 있습니다.

"*" 연산은 다음 규칙에 따라 수행됩니다. , 어디 , .

5. 이행성:만약에 . “◦” 연산은 일반적인 곱셈 규칙에 따라 수행되며 다음 사항을 고려해야 합니다.

3.3 동등 관계. 부분 주문 관계.

등가 관계는 집합의 두 요소의 유사성(동일성)에 대해 이야기할 때 상황을 형식화한 것입니다.

정의 3.6.비율 에 ㅏ있다 등가 관계, 그 경우 반사적, 대칭적, 추이적입니다.동등 관계 ㅏ아르 자형 비종종 다음과 같이 표시됩니다. ㅏ~ 비.

예 3. 8 . 정수 집합의 동등 관계는 동등 관계입니다.

예 3. 9 . "같은 키" 관계는 한 집합의 사람들에 대한 등가 관계입니다. 엑스.

예 3. 1 0 . ¢를 정수 집합으로 설정합니다. 두 개의 숫자를 말해보자 엑스그리고 와이¢부터 모듈러스 비교 가능중(중О\)로 나누고 이 숫자의 나머지가 다음과 같으면 이라고 씁니다. 중, 즉 차이( 엑스-와이) 로 나눈 중.

관계 "모듈러스에서 비교 가능 중정수"는 정수 집합 ¢에 대한 등가 관계입니다. 물론:

이 관계는 반사적입니다. 왜냐하면 " 엑스¢ 우리는 엑스-엑스=0이므로 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 중;

이 관계는 대칭입니다. 왜냐하면 만약 ( 엑스-와이) 로 나눈 중, 그 다음에 ( 와이-엑스)는 다음과 같이 나눌 수도 있습니다. 중;

이 관계는 추이적입니다. 왜냐하면 ( 엑스-와이) 로 나눈 중, 그런 다음 일부 정수의 경우 티 1 여기에서 https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">가 있습니다. , 즉. ( 엑스-지) 로 나눈 중.

정의 3.7.비율 에 ㅏ있다 부분 순서 관계, 그 경우 반사적, 반대칭적, 추이적기호 °로 표시됩니다.

부분 순서는 우선순위를 어떻게든 특성화하려는 상황에서 중요합니다. 즉, 집합의 한 요소가 다른 요소보다 우월하다고 간주할 조건을 결정합니다.

예 3. 11 . 태도 엑스£ 와이실수 집합에는 부분 순서 관계가 있습니다. ,

예 3. 1 2 . 일부 보편적 집합의 부분집합 유태도 ㅏÍ 비부분 순서 관계가 있습니다.

예 3. 1 3 . 기관의 종속 조직 계획은 일련의 직위에서 부분적인 순서의 관계입니다.

부분 순서 관계의 원형은 선호(우선) 관계의 직관적인 개념입니다. 선호 관계는 다음과 같이 결합될 수 있는 문제 클래스를 식별합니다. 선택의 문제 문제 최고의 물건 .

문제 공식화:개체 모음이 있도록 하세요. ㅏ그리고 선호도에 따라 이들을 비교해야 합니다. 즉, 집합에 선호 관계를 설정해야 합니다. ㅏ최고의 개체를 식별합니다.

선호 관계 피, 이는 "로 정의될 수 있습니다. aPb, ㅏ, 비Î ㅏÛ 개체 ㅏ객체보다 덜 바람직하지 않음 비"의미상 반사적이고 반대칭적입니다(각 개체는 그 자체보다 나쁘지 않으며, 개체가 ㅏ더 나쁘지는 않아 비그리고 비더 나쁘지는 않아 ㅏ, 선호도는 동일합니다). 관계라고 생각하는 것은 당연하다. 피전이적으로(예를 들어 반대 이해관계를 가진 사람들이 선호도를 논의하는 경우 이 속성이 위반될 수 있음), 즉 피– 부분 순서 관계.