Ολυμπιάδα, λογικές και διασκεδαστικές εργασίες στα μαθηματικά. Εργασίες κοπής

Με ένα φύλλο καρό χαρτί με ψαλίδι, μπορείτε να λύσετε μια μεγάλη ποικιλία από ενδιαφέρουσες εργασίες. Αυτές οι εργασίες δεν είναι μόνο ενδιαφέρουσες ή διασκεδαστικές. Συχνά περιέχουν μια πρακτική λύση και απόδειξη μερικές φορές πολύ περίπλοκων γεωμετρικών προβλημάτων.

Ας ξεκινήσουμε με τον κύριο κανόνα της κοπής και της αναδίπλωσης: Δύο πολύγωνα ονομάζονται ίσα σύνθετα αν ένα από αυτά μπορεί να διαιρεθεί (κοπεί) σε κάποια άλλα πολύγωνα, από τα οποία μπορεί στη συνέχεια να σχηματιστεί το δεύτερο πολύγωνο.

Τα εξίσου σύνθετα πολύγωνα, φυσικά, έχουν το ίδιο εμβαδόν (ίσο εμβαδόν), και επομένως η ιδιότητα της ίσης διάταξης μερικές φορές επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει τύπους για τον υπολογισμό των εμβαδών ή να συγκρίνει τα εμβαδά των σχημάτων (όπως λένε, μέθοδος διάσπασης ή αποσύνθεσης). Ένα παράδειγμα είναι η σύγκριση (υπολογισμός) των εμβαδών ενός παραλληλογράμμου και ενός ορθογωνίου.

Το γενικό ερώτημα για την ισοσυνιστατικότητα δύο πολυγώνων δεν είναι καθόλου απλό. Υπάρχει ένα καταπληκτικό θεώρημα που λέει ότι από κάθε δεδομένο πολύγωνο, κόβοντάς το σε κομμάτια, μπορεί να κατασκευαστεί οποιοδήποτε άλλο πολύγωνο της ίδιας περιοχής.

Αυτό το θεώρημα ασχολείται με τα λεγόμενα απλά πολύγωνα. Ένα απλό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο του οποίου το όριο αποτελείται από μια κλειστή γραμμή χωρίς αυτοτομές και ακριβώς δύο από τους συνδέσμους του συγκλίνουν σε κάθε κορυφή αυτής της πολύγραμμης. Σημαντικό ακίνητο απλό πολύγωνοείναι το γεγονός ότι έχει τουλάχιστον μία εσωτερική διαγώνιο.

Σημειώστε ότι για έναν αποδεκτό μετασχηματισμό ενός ορθογωνίου σε τετράγωνο, χρειάστηκε (Εικόνα 3) να το σπάσουμε σε τρία μέρη. Ωστόσο, αυτό το διαμέρισμα δεν είναι μοναδικό. Μπορείτε, για παράδειγμα, να δώσετε ένα παράδειγμα διαχωρισμού ενός ορθογωνίου σε τέσσερα μέρη (Εικόνα 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Το ερώτημα ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός περικοπών που επαρκεί για την κατασκευή μιας άλλης από μια φιγούρα παραμένει ανοιχτό μέχρι σήμερα.

Εργασία 1.

Μια γυναίκα είχε ένα ορθογώνιο χαλί 27" επί 36" με δύο απέναντι γωνίες ξεφτισμένες (Εικόνα 5) και έπρεπε να κοπεί, αλλά ήθελε ένα ορθογώνιο χαλί. Έδωσε αυτό το έργο στον κύριο και το έκανε. Με ποιον τρόπο το έκανε;

Η λύση του προβλήματος φαίνεται από το σχήμα 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Εάν το οδοντωτό τμήμα Α αφαιρεθεί από το οδοντωτό τμήμα Β και στη συνέχεια ωθηθεί προς τα πίσω ανάμεσα στα δόντια του μέρους Β, μετακινώντας ένα δόντι προς τα δεξιά, προκύπτει το επιθυμητό ορθογώνιο.

Εργασία 2.

Πώς να φτιάξετε ένα τετράγωνο από πέντε ίδια τετράγωνα κόβοντας.

Όπως φαίνεται στο Σχήμα 7, τα τέσσερα τετράγωνα πρέπει να κοπούν σε τρίγωνο και τραπέζιο. Στερεώστε τέσσερα τραπεζοειδή στις πλευρές του πέμπτου τετραγώνου και, τέλος, στερεώστε τα τρίγωνα με τα πόδια στις βάσεις των τραπεζοειδών.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Εργασία 3.

Κόψτε το τετράγωνο σε επτά τέτοια μέρη ώστε, προσθέτοντάς τα, να πάρετε τρία ίσα τετράγωνα. (Εικόνες 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Εργασία 4.

Κόψτε το τετράγωνο σε οκτώ κομμάτια ώστε προσθέτοντάς τα να βγάλετε δύο τετράγωνα, το ένα από τα οποία έχει το μισό μέγεθος του άλλου.

Το σχήμα 10 δείχνει πώς να κόψετε το τετράγωνο. Η λύση είναι παρόμοια με τη λύση του προηγούμενου προβλήματος. Το σχήμα 11 δείχνει πώς να προσθέσετε τα μέρη για να λάβετε τα δύο επιθυμητά τετράγωνα.

Εκπαιδευτική ξενάγηση

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση από ομάδες της «νεότερης» ηλικιακής ομάδας

Εργασία 1

Ένα σαλιγκάρι σέρνεται πάνω σε μια στήλη ύψους 10 μ. Κατά τη διάρκεια της ημέρας ανεβαίνει κατά 5 μέτρα και κατά τη διάρκεια της νύχτας κατεβαίνει κατά 4 μ. Πόσο καιρό χρειάζεται για να φτάσει το σαλιγκάρι από το πόδι στην κορυφή της στήλης;

Εργασία 2

Είναι δυνατόν να κόψετε μια τρύπα σε ένα φύλλο σημειωματάριου που ένα άτομο θα μπορούσε να ανιχνεύσει;

Εργασία 3

Οι λαγοί πριονίζουν κορμούς. Έκαναν 10 κοψίματα. Πόσα τσαμπουκά βγήκαν;

Εργασία 4

Το κουλούρι κόβεται σε τομείς. Έκανε 10 περικοπές. Πόσα κομμάτια έκανε;

Εργασία 5

Σε ένα μεγάλο στρογγυλό κέικ γίνονται 10 κοψίματα ώστε κάθε κοπή να πηγαίνει από άκρη σε άκρη και να περνάει από το κέντρο του κέικ. Πόσα κομμάτια έκανε;

Εργασία 6

Δύο άτομα είχαν δύο τετράγωνα κέικ. Ο καθένας έκανε 2 ίσιες τομές στο κέικ του από άκρη σε άκρη. Ταυτόχρονα, ο ένας πήρε τρία κομμάτια και ο άλλος τέσσερα. Πώς θα μπορούσε να είναι;

Εργασία 7

Οι λαγοί πριονίζουν ξανά το κούτσουρο, αλλά τώρα και τα δύο άκρα του κορμού είναι σταθερά. Έπεσαν δέκα μεσαία τσαμπουκά, και τα δύο ακραία παρέμειναν σταθερά. Πόσα κοψίματα έκαναν οι λαγοί;

Εργασία 8

Πώς να χωρίσετε μια τηγανίτα με τρεις ίσιες τομές σε 4,5, 6, 7 μέρη;

Εργασία 9

Πάνω σε ένα ορθογώνιο κέικ απλώνεται μια στρογγυλή πλάκα σοκολάτας. Πώς να κόψετε το κέικ σε δύο ίσα μέρη ώστε να χωριστεί και η σοκολάτα ακριβώς στη μέση;

Εργασία 10

Είναι δυνατόν να ψήσετε ένα κέικ που μπορεί να χωριστεί σε 4 μέρη με ένα ίσιο κόψιμο;

Εργασία 11

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κομματιών στα οποία μπορεί να χωριστεί μια στρογγυλή τηγανίτα χρησιμοποιώντας τρία ίσια κοψίματα;

Εργασία 12

Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η σκάλα στον τέταρτο όροφο του σπιτιού από τη σκάλα στον δεύτερο όροφο του ίδιου σπιτιού;

Εργασία 13

Ο Giuseppe έχει ένα φύλλο κόντρα πλακέ, μέγεθος 22 × 15. Ο Giuseppe θέλει να κόψει τόσα ορθογώνια κενά μεγέθους 3 από αυτό × 5. Πώς να το κάνετε;

Εργασία 14

ΣΤΟ Μαγική χώρατους μαγικούς νόμους της φύσης τους, ένας από τους οποίους λέει: «Ένα ιπτάμενο χαλί θα πετάξει μόνο όταν έχει ορθογώνιο σχήμα».

Ο Ivan Tsarevich είχε ένα ιπτάμενο χαλί μεγέθους 9 × 12. Μόλις το φίδι Gorynych σέρθηκε και έκοψε ένα μικρό χαλί μεγέθους 1 από αυτό το χαλί. × 8. Ο Ivan Tsarevich ήταν πολύ στενοχωρημένος και ήθελε να κόψει άλλο ένα κομμάτι 1 × 4 για να φτιάξετε ορθογώνιο 8 × 12, αλλά η Βασιλίσα η Σοφή πρότεινε να γίνουν τα πράγματα διαφορετικά. Έκοψε το χαλί σε τρία μέρη, από τα οποία έραψε ένα τετράγωνο ιπτάμενο χαλί μεγέθους 10 με μαγικές κλωστές. × 10.

Μπορείτε να μαντέψετε πώς η Βασιλίσα η Σοφή ξαναέκανε το χαλασμένο χαλί;

Εργασία 15

Όταν ο Γκιούλιβερ έφτασε στη Λιλιπούπολη, ανακάλυψε ότι όλα τα πράγματα εκεί ήταν ακριβώς 12 φορές μικρότερα από ό,τι στην πατρίδα του. Μπορείτε να πείτε πόσα λιλιπούτεια σπιρτόκουτα θα χωρέσουν στο σπιρτόκουτο του Γκιούλιβερ;

Εργασία 16

Στον ιστό πειρατικό καράβικυματίζει μια δίχρωμη ορθογώνια σημαία, που αποτελείται από εναλλασσόμενες ασπρόμαυρες κάθετες ρίγες του ίδιου πλάτους. Ο συνολικός αριθμός των λωρίδων είναι ίσος με τον αριθμό των κρατουμένων που βρίσκονται αυτή τη στιγμή στο πλοίο. Αρχικά, υπήρχαν 12 κρατούμενοι στο πλοίο και 12 ρίγες στη σημαία. τότε δύο κρατούμενοι δραπέτευσαν. Πώς να κόψετε τη σημαία σε δύο μέρη και στη συνέχεια να τα ράψετε μεταξύ τους έτσι ώστε η περιοχή της σημαίας και το πλάτος των λωρίδων να μην αλλάξουν, αλλά ο αριθμός των λωρίδων να γίνει 10;

Πρόβλημα 17

Σημειώστε ένα σημείο στον κύκλο. Είναι δυνατόν να κόψουμε αυτόν τον κύκλο σε τρία μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι δυνατή η προσθήκη νέος κύκλος, ποιου το σημειωμένο σημείο θα ήταν στο κέντρο;

Πρόβλημα 18

Είναι δυνατόν να κόψουμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα μέρη έτσι ώστε κάθε τμήμα να έρχεται σε επαφή με (δηλαδή, να έχει κοινά σημεία του περιγράμματος) με άλλα τρία;

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Πρόβλημα 29

Είναι εύκολο να κόψετε ένα τετράγωνο σε δύο ίσα τρίγωνα ή δύο ίσα τετράπλευρα. Πώς όμως να κόψετε ένα τετράγωνο σε δύο ίσα πεντάγωνα ή δύο ίσα εξάγωνα;

Πρόβλημα 30

Ο Ιβάν Τσαρέβιτς πήγε να αναζητήσει τη Βασιλίσα την Ωραία, την οποία είχε απήγαγε ο Κοσσέι. Ο Leshy θα τον συναντήσει.

Ξέρω, - λέει, - πήγα στο Βασίλειο Koshcheevo, συνέβη, πήγα εκεί. Περπάτησα τέσσερις μέρες και τέσσερις νύχτες. Την πρώτη μέρα, πέρασα το ένα τρίτο της διαδρομής - έναν ευθύ δρόμο προς τα βόρεια. Μετά στράφηκε προς τα δυτικά, διέσχισε το δάσος για μια μέρα και περπάτησε το μισό. Για τρίτη μέρα περπάτησα μέσα στο δάσος, ήδη προς τα νότια, και βγήκα σε έναν ίσιο δρόμο που οδηγεί προς τα ανατολικά. Περπάτησα κατά μήκος του 100 μίλια σε μια μέρα και κατέληξα στο βασίλειο Koshcheevo. Είσαι ένας περιπατητής τόσο φριχτός όσο κι εγώ. Πήγαινε, Ιβάν Τσαρέβιτς, βλέπεις, την πέμπτη μέρα θα επισκεφτείς το Κοσσέι.

Όχι, - απάντησε ο Ιβάν Τσαρέβιτς, - αν όλα είναι όπως τα λες, τότε αύριο θα δω τη Βασιλίσα μου την Ωραία.

Έχει δίκιο; Πόσα βερστ πήγε ο Λέσι και πόσο μακριά σκέφτεται να φτάσει ο Ιβάν Τσαρέβιτς;

Πρόβλημα 31

Σκεφτείτε ένα χρωματισμό των όψεων του κύβου έτσι ώστε σε τρεις διαφορετικές θέσεις να μοιάζει με αυτό που φαίνεται στην εικόνα. (Καθορίστε πώς να χρωματίσετε τις αόρατες άκρες ή να σχεδιάσετε ένα δίχτυ.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Πρόβλημα 32

Ο νομισματικός Fedya έχει όλα τα νομίσματα με διάμετρο όχι μεγαλύτερη από 10 εκ. Τα αποθηκεύει σε ένα επίπεδο κουτί διαστάσεων 30 cm * 70 cm (σε ένα στρώμα). Του δόθηκε ένα νόμισμα με διάμετρο 25 εκ. Αποδείξτε ότι όλα τα κέρματα μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα επίπεδο κουτί διαστάσεων 55 cm * 55 cm.

Πρόβλημα 33

Το κεντρικό κελί κόπηκε από ένα τετράγωνο 5×5. Κόψτε το σχήμα που προκύπτει σε δύο κομμάτια που μπορούν να τυλίξουν έναν κύβο 2x2x2.

Πρόβλημα 34

Κόψτε αυτό το τετράγωνο κατά μήκος των πλευρών των κελιών σε τέσσερα μέρη, έτσι ώστε όλα τα μέρη να έχουν το ίδιο μέγεθος και το ίδιο σχήμα, και έτσι ώστε κάθε μέρος να περιέχει έναν κύκλο και ένα αστέρι.

Πρόβλημα 35

Το πάρκινγκ στο Flower City είναι ένα τετράγωνο 7x7, σε καθένα από τα οποία μπορείτε να παρκάρετε ένα αυτοκίνητο. Ο χώρος στάθμευσης περιβάλλεται από φράχτη, έχει αφαιρεθεί μία από τις πλευρές του γωνιακού κλουβιού (αυτή είναι η πύλη). Το αυτοκίνητο κινείται σε μια πίστα σε όλο το κλουβί. Ζητήθηκε από τον Dunno να τοποθετήσει όσο το δυνατόν περισσότερα αυτοκίνητα στο πάρκινγκ με τέτοιο τρόπο ώστε οποιοσδήποτε να μπορεί να φύγει ενώ άλλοι στέκονταν. Ο Dunno τακτοποίησε 24 αυτοκίνητα όπως φαίνεται στην εικ. Προσπαθήστε να τακτοποιήσετε τα αυτοκίνητα με διαφορετικό τρόπο για να χωρέσουν περισσότερα από αυτά.

Πρόβλημα 36

Η Petya και η Vasya ζουν σε γειτονικά σπίτια (δείτε το σχέδιο στην εικόνα). Η Βάσια μένει στην τέταρτη είσοδο. Είναι γνωστό ότι ο Πέτυα, για να τρέξει στη Βάσια ο συντομότερος δρόμος(όχι απαραίτητα κατά μήκος των πλευρών των κελιών), δεν έχει σημασία από ποια πλευρά θα τρέξετε γύρω από το σπίτι σας. Προσδιορίστε σε ποια είσοδο μένει η Petya.

Πρόβλημα 37

Προτείνετε έναν τρόπο μέτρησης της διαγωνίου ενός συνηθισμένου τούβλου, ο οποίος εφαρμόζεται εύκολα στην πράξη (χωρίς το Πυθαγόρειο θεώρημα).

Πρόβλημα 38

Κόψτε τον σταυρό, που αποτελείται από πέντε ίδια τετράγωνα, σε τρία πολύγωνα, ίσα σε εμβαδόν και περίμετρο.

Πρόβλημα 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

Για την προσοχή των δασκάλων μαθηματικών και των καθηγητών διαφόρων μαθημάτων επιλογής και κύκλων, προσφέρεται μια επιλογή ψυχαγωγικών και αναπτυξιακών προβλημάτων γεωμετρικής κοπής. Ο σκοπός της χρήσης τέτοιων εργασιών από έναν δάσκαλο στις τάξεις του δεν είναι μόνο να ενδιαφέρει τον μαθητή για ενδιαφέροντες και αποτελεσματικούς συνδυασμούς κελιών και σχημάτων, αλλά και να σχηματίσει μέσα του μια αίσθηση γραμμών, γωνιών και σχημάτων. Το σύνολο των εργασιών απευθύνεται κυρίως σε παιδιά των τάξεων 4-6, αν και είναι δυνατή η χρήση του ακόμη και με μαθητές γυμνασίου. Οι ασκήσεις απαιτούν από τους μαθητές να έχουν υψηλή και σταθερή συγκέντρωση προσοχής και είναι εξαιρετικές για ανάπτυξη και εκπαίδευση. οπτική μνήμη. Συνιστάται για καθηγητές μαθηματικών που προετοιμάζουν τους μαθητές για εισαγωγικές εξετάσεις σε σχολές μαθηματικών και τάξεις που θέτουν ιδιαίτερες απαιτήσεις στο επίπεδο της ανεξάρτητης σκέψης και της δημιουργικότητας του παιδιού. Το επίπεδο των εργασιών αντιστοιχεί στο επίπεδο των εισαγωγικών Ολυμπιάδων στο λύκειο "δεύτερο σχολείο" (δεύτερο μαθηματικό σχολείο), το μικρό Mekhmat του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, το σχολείο Kurchatov κ.λπ.

Σημείωση καθηγητή μαθηματικών:
Σε ορισμένες λύσεις προβλημάτων, τις οποίες μπορείτε να δείτε κάνοντας κλικ στον αντίστοιχο δείκτη, υποδεικνύεται μόνο ένα από τα πιθανά παραδείγματα κοπής. Παραδέχομαι πλήρως ότι μπορεί να πάρετε κάποιον άλλο σωστό συνδυασμό - μην το φοβάστε αυτό. Ελέγξτε προσεκτικά τη λύση του ποντικιού σας και εάν ικανοποιεί την προϋπόθεση, τότε μη διστάσετε να αναλάβετε την επόμενη εργασία.

1) Προσπαθήστε να κόψετε το σχήμα που φαίνεται στο σχήμα σε 3 ίσα μέρη:

: Οι μικρές φιγούρες μοιάζουν πολύ με το γράμμα Τ

2) Τώρα κόψτε αυτό το σχήμα σε 4 ίσα μέρη:

Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι μικρές φιγούρες θα αποτελούνται από 3 κελιά και δεν υπάρχουν τόσες πολλές φιγούρες τριών κελιών. Υπάρχουν μόνο δύο τύποι από αυτούς: μια γωνία και ένα ορθογώνιο 1 × 3.

3) Κόψτε αυτό το σχήμα σε 5 ίσα μέρη:

Βρείτε τον αριθμό των κελιών από τα οποία αποτελείται κάθε τέτοιο σχήμα. Αυτά τα ειδώλια μοιάζουν με το γράμμα G.

4) Και τώρα πρέπει να κόψετε τον αριθμό των δέκα κελιών σε 4 άνισοςορθογώνιο (ή τετράγωνο) μεταξύ τους.

Ένδειξη καθηγητή μαθηματικών: Επιλέξτε ένα ορθογώνιο και, στη συνέχεια, προσπαθήστε να εισαγάγετε άλλα τρία στα υπόλοιπα κελιά. Εάν δεν λειτουργεί, τότε αλλάξτε το πρώτο ορθογώνιο και δοκιμάστε ξανά.

5) Η εργασία γίνεται πιο περίπλοκη: πρέπει να κόψετε το σχήμα σε 4 διαφορετικό σχήμαφιγούρες (όχι απαραίτητα σε ορθογώνια).

Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: πρώτα σχεδιάστε όλα τα είδη σχημάτων ξεχωριστά διαφορετικά σχήματα(θα είναι περισσότερα από τέσσερα) και επαναλάβετε τη μέθοδο απαρίθμησης των επιλογών όπως στην προηγούμενη εργασία.
:

6) Κόψτε αυτή τη φιγούρα σε 5 φιγούρες των τεσσάρων κελιών διαφορετικών σχημάτων έτσι ώστε να γεμίσει μόνο ένα πράσινο κελί σε καθένα από αυτά.

Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών:Προσπαθήστε να ξεκινήσετε να κόβετε από την επάνω άκρη αυτού του σχήματος και θα καταλάβετε αμέσως πώς να προχωρήσετε.
:

7) Με βάση το προηγούμενο πρόβλημα. Βρείτε πόσες φιγούρες με διάφορα σχήματα υπάρχουν, που αποτελούνται από ακριβώς τέσσερα κελιά; Οι φιγούρες μπορούν να στρίψουν, να περιστραφούν, αλλά είναι αδύνατο να σηκωθεί το σοστόλι (από την επιφάνειά του), στο οποίο βρίσκεται. Δηλαδή, τα δύο δεδομένα δεν θα θεωρηθούν ίσα, αφού δεν μπορούν να ληφθούν μεταξύ τους εκ περιτροπής.

Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών:Μελετήστε τη λύση του προηγούμενου προβλήματος και προσπαθήστε να φανταστείτε τις διαφορετικές θέσεις αυτών των σχημάτων κατά τη στροφή. Είναι εύκολο να μαντέψουμε ότι η απάντηση στο πρόβλημά μας θα είναι ο αριθμός 5 ή περισσότερο. (Μάλιστα, ακόμη και πάνω από έξι). Υπάρχουν 7 τύποι περιγραφόμενων σχημάτων συνολικά.

8) Κόψτε ένα τετράγωνο 16 κελιών σε 4 ίσα μέρη έτσι ώστε καθένα από τα τέσσερα μέρη να έχει ακριβώς ένα πράσινο κελί.

Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: Η εμφάνιση μικρών μορφών δεν είναι τετράγωνο ή ορθογώνιο, ούτε καν μια γωνία τεσσάρων κελιών. Άρα σε ποια σχήματα πρέπει να προσπαθήσουμε να κόψουμε;

9) Κόψτε την εικονιζόμενη φιγούρα σε δύο μέρη, έτσι ώστε ένα τετράγωνο να μπορεί να διπλωθεί από τα προκύπτοντα μέρη.

Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: Συνολικά, υπάρχουν 16 κελιά στο σχήμα, που σημαίνει ότι το τετράγωνο θα έχει μέγεθος 4 × 4. Και κάπως πρέπει να γεμίσεις το παράθυρο στη μέση. Πως να το κάνεις? Ίσως κάποια αλλαγή; Στη συνέχεια, δεδομένου ότι το μήκος του ορθογωνίου είναι ίσο με περιττό αριθμό κελιών, η κοπή πρέπει να γίνεται όχι με κάθετη τομή, αλλά κατά μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής. Έτσι ώστε το πάνω μέρος να αποκοπεί από τη μια πλευρά από τα μεσαία κελιά και το κάτω μέρος από την άλλη.

10) Κόψτε ένα παραλληλόγραμμο 4×9 σε δύο μέρη, έτσι ώστε να προσθέσετε ένα τετράγωνο από αυτά.

Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: Υπάρχουν 36 κελιά στο ορθογώνιο. Επομένως, το τετράγωνο θα έχει μέγεθος 6 × 6. Δεδομένου ότι η μακριά πλευρά αποτελείται από εννέα κελιά, τρία από αυτά πρέπει να αποκοπούν. Πώς θα πάει αυτή η περικοπή;

11) Ο σταυρός των πέντε κελιών που φαίνεται στο σχήμα πρέπει να κοπεί (μπορείτε να κόψετε τα ίδια τα κελιά) σε τέτοια μέρη από τα οποία θα μπορούσε να διπλωθεί ένα τετράγωνο.

Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: Είναι σαφές ότι ανεξάρτητα από το πώς κόβουμε κατά μήκος των γραμμών των κελιών, δεν θα έχουμε τετράγωνο, αφού υπάρχουν μόνο 5 κελιά. Αυτή είναι η μόνη εργασία στην οποία επιτρέπεται η κοπή όχι στα κύτταρα. Ωστόσο, καλό θα ήταν να τα αφήσετε ως κατευθυντήρια γραμμή. για παράδειγμα, αξίζει να σημειωθεί ότι με κάποιο τρόπο πρέπει να αφαιρέσουμε τις εσοχές που έχουμε - δηλαδή, στις εσωτερικές γωνίες του σταυρού μας. Πώς θα το έκανες; Για παράδειγμα, κόψτε μερικά τρίγωνα που προεξέχουν από εξωτερικές γωνίεςσταυρός...

(7 βαθμοί) Δώστε ένα παράδειγμα δύο κοινών κλασμάτων των οποίων η διαφορά είναι τριπλάσια του γινομένου τους. Δώστε τους υπολογισμούς που δικαιολογούν αυτή την ιδιότητα.

Απάντηση. Για παράδειγμα, 1/2 και 1/5

Λύση

Κατάλληλο για κάθε κλάσμα 1/nκαι 1/(n+3), υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Κριτήρια επαλήθευσης

• Δίνεται η σωστή απάντηση χωρίς αιτιολόγηση - 3 βαθμοί.

Εργασία 2

(7 βαθμοί) Δείξτε πώς να κόψετε μια φιγούρα σε τρία κομμάτια και να φτιάξετε ένα τετράγωνο από αυτά.

Λύση

1 τρόπος

2 τρόπος

Άλλες λύσεις είναι επίσης δυνατές.

Κριτήρια επαλήθευσης.

• Οποιαδήποτε σωστή λύση (οι εικόνες δείχνουν πώς να κόψετε ένα τραπέζιο και πώς να διπλώσετε ένα τετράγωνο) - 7 βαθμοί.
• Ημιτελής λύση (δείχνει μόνο πώς να κόψετε ένα τραπέζιο ή πώς να διπλώσετε ένα τετράγωνο) - 3 βαθμοί.

Εργασία 3

(7 βαθμοί) Στον πίνακα αναγράφεται ο αριθμός 49. Με μία κίνηση επιτρέπεται είτε να διπλασιαστεί ο αριθμός είτε να διαγραφεί το τελευταίο του ψηφίο. Είναι δυνατόν να πάρεις τον αριθμό 50 σε πολλές κινήσεις;

Απάντηση. Μπορώ.

Λύση

Ο αριθμός 50 μπορεί να ληφθεί διπλασιάζοντας το 25 και το 25 μπορεί να ληφθεί σβήνοντας το τελευταίο ψηφίο του 256, το οποίο είναι δύναμη του δύο. Έτσι, η απαραίτητη αλυσίδα μετασχηματισμών μπορεί να μοιάζει με αυτό:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Κριτήρια επαλήθευσης.

• Οποιαδήποτε πλήρης σωστή λύση - 7 βαθμοί.
• Ημιτελής λύση (για παράδειγμα, υποδεικνύεται ότι το 50 μπορεί να ληφθεί από τον αριθμό 256, αλλά δεν υποδεικνύεται πώς να αποκτήσετε το 256) - 3 βαθμοί.

Εργασία 4

(7 βαθμοί) Ένας από τους τρεις φίλους: ο Αντρέι, ο Μπόρις ή ο Βλαντιμίρ είναι ο πιο δυνατός, ο άλλος ο πιο έξυπνος, ο τρίτος ο πιο ευγενικός. Κάποτε είπαν τα εξής:

Ανδρέας: Ο Βλαντιμίρ είναι πιο δυνατός από μένα.

Μπόρις : Είμαι πιο έξυπνος από τον Βλαντιμίρ.

Βλαδίμηρος : Ο Μπόρις είναι πιο έξυπνος από εμένα.

Είναι γνωστό ότι ο πιο δυνατός και ευγενικός είπε την αλήθεια, ο πιο έξυπνος είπε ψέματα, και ανάμεσά τους δεν υπάρχουν δύο άνθρωποι ίσοι σε δύναμη.

Είναι αλήθεια ότι ανάμεσα στους τρεις φίλους, αυτός που είναι ο πιο ευγενικός είναι και ο πιο αδύναμος;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση. Ναί.

Λύση

Ας συμβολίσουμε: A - Andrey, B - Boris, C - Vladimir. Οι δηλώσεις Β και Γ επαναλαμβάνονται η μία την άλλη, και αφού υπάρχει μόνο μία ψευδής δήλωση μεταξύ των τριών, ο Β και ο Γ είπαν την αλήθεια, ο Α - ένα ψέμα. Επομένως, ο Α είναι ο πιο έξυπνος (κατά συνθήκη), ο Α είναι ισχυρότερος από τον Β (επειδή ο Α είπε ψέματα) και ο Β είναι πιο έξυπνος από τον Γ (επειδή ο Β και ο Γ είπαν την αλήθεια). Εφόσον το Α είναι ισχυρότερο από το Β, τότε το Β δεν είναι το ισχυρότερο. Αποδεικνύεται ότι ο Β είναι ο πιο δυνατός, ο Α είναι ο μέσος σε δύναμη, ο Γ είναι ο πιο αδύναμος. Ταυτόχρονα, ο Γ δεν είναι ο πιο έξυπνος και όχι ο πιο δυνατός, πράγμα που σημαίνει ότι είναι ο πιο ευγενικός.

Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να εισαγάγετε τις διαθέσιμες πληροφορίες σε έναν πίνακα. Θα ορίσουμε τις "θέσεις" κάθε ποιότητας: 1 - πρώτη θέση (η πιο έξυπνη / ισχυρότερη / ευγενέστερη), 2 - μέση, 3 - τελευταία θέση.

Από τον πίνακα φαίνεται ότι Β - ο πιο ευγενικός και ο πιο αδύναμος.

Κριτήρια επαλήθευσης

• Οποιαδήποτε πλήρης σωστή λύση - 7 βαθμοί.
• Σωστά και εύλογα βρέθηκε ποιος είναι ο πιο δυνατός, ποιος είναι ο πιο έξυπνος και ποιος ο πιο ευγενικός, και δεν υπάρχει περαιτέρω πρόοδος - 5 βαθμοί.
• Εύλογα έλαβε, ο Andrey είναι ο πιο έξυπνος, οι φίλοι κατανέμονται σωστά με δύναμη (και οι 3 θέσεις), αλλά δεν ελήφθησαν ή δεν συσχετίζονται με το γεγονός ότι ο Βλαντιμίρ είναι ο πιο ευγενικός, - 5 βαθμοί.
• Το σκεπτικό δίνεται μόνο για μια συγκεκριμένη περίπτωση (για παράδειγμα, εξετάζεται μόνο η περίπτωση που ο Αντρέι είπε ψέματα) χωρίς να λαμβάνονται υπόψη άλλες ειδικές περιπτώσεις και χωρίς να αναφέρεται η αδυναμία τους - 2 βαθμοί.
• Η σωστή απάντηση που δείχνει ποιος είναι ο πιο έξυπνος, ποιος είναι ο πιο δυνατός και ποιος ο πιο ευγενικός, με έλεγχο ότι με μια τέτοια διάταξη πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις του προβλήματος, αλλά χωρίς αιτιολόγηση - 2 βαθμοί.
• Έγινε λάθος στην αρχή του συλλογισμού - 0 βαθμοί.
• Δίνεται μόνο η απάντηση - 0 βαθμοί.

Εργασία 5

(7 βαθμοί) Η μαμά περπατά με ένα καρότσι γύρω από τη λίμνη και παρακάμπτει εντελώς τη λίμνη σε 12 λεπτά. Ο Βάνια οδηγεί ένα σκούτερ στο ίδιο μονοπάτι προς την ίδια κατεύθυνση και συναντά (προσπερνάει) τη μητέρα του κάθε 12 λεπτά. Σε ποια χρονικά διαστήματα

Θα συναντήσει ο Βάνια τη μητέρα του αν οδηγεί με την ίδια ταχύτητα αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση;

Απάντηση . Μετά από 4 λεπτά.

Λύση

Δεδομένου ότι η μητέρα παρακάμπτει εντελώς τη λίμνη σε 12 λεπτά και συναντά τη Βάνια μία φορά κάθε 12 λεπτά, σε 12 λεπτά η Βάνια περνά γύρω από τη λίμνη ακριβώς 2 φορές και η μητέρα - μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του Vanya είναι 2 φορές η ταχύτητα της μητέρας. Από αυτό προκύπτει ότι όταν ο Βάνια οδηγούσε προς την ίδια κατεύθυνση με τη μητέρα του, η ταχύτητα προσέγγισής τους ήταν ίση με την ταχύτητα της μητέρας του. Αν ο Βάνια πάει προς την αντίθετη κατεύθυνση, τότε η ταχύτητα της σύγκλισής τους θα είναι ίση με τρεις ταχύτητες της μητέρας, δηλαδή θα είναι τρεις φορές μεγαλύτερη. Αυτό σημαίνει ότι θα συναντά τη μητέρα του τρεις φορές πιο συχνά, δηλαδή κάθε 4 λεπτά.

Αυτός ο συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με την εισαγωγή μιας σημειογραφίας για το μήκος του κομματιού.

Αφήνω ένα- το μήκος της διαδρομής γύρω από τη λίμνη (σε μέτρα), τότε η ταχύτητα της μητέρας είναι ένα/12 (m/min) και η ταχύτητα του Vanya είναι ένα/6 (m/min). Η ταχύτητα σύγκλισης σε περίπτωση που η μαμά και η Βάνια πάνε προς την άλλη είναι 3 ένα/12=ένα/4 (m/min). Επομένως, με τέτοια ταχύτητα θα νικήσουν μαζί έναμέτρα σε 4 λεπτά, δηλαδή θα συναντώνται κάθε 4 λεπτά.

Κριτήρια επαλήθευσης

• Οποιαδήποτε πλήρης σωστή λύση - 7 βαθμοί.
• Διαπιστώθηκε σωστά ότι η ταχύτητα του Vanya είναι 2 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα της μητέρας, το άθροισμα των ταχυτήτων βρέθηκε σωστά, αλλά το τελικό συμπέρασμα βγήκε εσφαλμένα - 2 βαθμοί.
• Δικαιολογημένα και εύλογα διαπιστώθηκε ότι η ταχύτητα της Vanya είναι 2 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα της μητέρας, αλλά η περαιτέρω συλλογιστική είτε δεν δικαιολογείται είτε δεν έχει ολοκληρωθεί - 1 βαθμός.
• Η λύση στην οποία δίνονται συγκεκριμένες αποστάσεις και ταχύτητες και λαμβάνεται η σωστή απάντηση είναι 1 βαθμός.
• Μόνο η σωστή απάντηση - 0 βαθμοί.

Η μέγιστη βαθμολογία για όλες τις εργασίες που έχουν ολοκληρωθεί είναι 35.