Problemi za izrezivanje i preoblikovanje oblika. Opće pitanje ekvikonstituencije dvaju poligona daleko je od jednostavnog.

Za pažnju nastavnika matematike i nastavnika raznih izbornih predmeta i krugova nudi se izbor zabavnih i razvojnih zadataka geometrijskog rezanja. Svrha korištenja ovakvih zadataka od strane nastavnika u nastavi nije samo zainteresirati učenika za zanimljive i učinkovite kombinacije ćelija i oblika, već i formirati u njemu osjećaj za linije, kutove i oblike. Skup zadataka uglavnom je namijenjen djeci od 4. do 6. razreda, iako ga je moguće koristiti i za srednjoškolce. Vježbe zahtijevaju od učenika visoku i postojanu koncentraciju pažnje te su odlične za razvoj i trening. vizualno pamćenje. Preporuča se mentorima matematike koji pripremaju učenike za prijemne ispite u matematičke škole i razrede koji postavljaju posebne zahtjeve na razinu samostalnog mišljenja i kreativnosti djeteta. Razina zadataka odgovara razini uvodnih olimpijada u liceju "druga škola" (druga matematička škola), malom Mehmatu Moskovskog državnog sveučilišta, školi Kurchatov itd.

Napomena nastavnika matematike:
U nekim rješenjima problema, koja možete vidjeti klikom na odgovarajući pokazivač, naznačen je samo jedan od mogućih primjera rezanja. U potpunosti priznajem da možda dobijete neku drugu ispravnu kombinaciju – ne bojte se ovoga. Pažljivo provjerite rješenje vašeg miša i ako ono zadovoljava uvjet, onda slobodno preuzmite sljedeći zadatak.

1) Pokušajte rezati lik prikazan na slici na 3 jednaka dijela:

: Male figure su vrlo slične slovu T

2) Sada izrežite ovu figuru na 4 jednaka dijela:

Savjet za učitelja matematike: Lako je pogoditi da će se male figure sastojati od 3 ćelije, a nema toliko figura od tri ćelije. Postoje samo dvije vrste njih: kut i pravokutnik 1 × 3.

3) Izrežite ovu figuru na 5 jednakih dijelova:

Pronađite broj ćelija od kojih se sastoji svaka takva figura. Ove figurice izgledaju kao slovo G.

4) A sada trebate rezati lik od deset ćelija na 4 nejednaka pravokutnika (ili kvadrata) jedno na drugo.

Indikacija nastavnika matematike: Odaberite pravokutnik, a zatim pokušajte unijeti još tri u preostale ćelije. Ako ne uspije, promijenite prvi pravokutnik i pokušajte ponovno.

5) Zadatak postaje složeniji: lik morate izrezati na 4 različitog oblika figure (ne nužno u pravokutnike).

Savjet za učitelja matematike: prvo nacrtajte sve vrste oblika zasebno različitih oblika(bit će ih više od četiri) i ponoviti metodu nabrajanja opcija kao u prethodnom zadatku.
:

6) Izrežite ovu figuru na 5 figura od četiri ćelije različitih oblika tako da u svakoj od njih bude popunjena samo jedna zelena ćelija.

Savjet za učitelja matematike: Pokušajte početi rezati od gornjeg ruba ovog oblika i odmah ćete shvatiti kako dalje.
:

7) Na temelju prethodnog problema. Pronađi koliko ima figura različitih oblika koje se sastoje od točno četiri ćelije? Figure se mogu uvijati, rotirati, ali je nemoguće podići sostol (s njegove površine), na kojem leži. To jest, dvije zadane figure neće se smatrati jednakima, jer se ne mogu dobiti jedna od druge rotacijom.

Savjet za učitelja matematike: Proučite rješenje prethodnog zadatka i pokušajte zamisliti različite položaje ovih figura pri okretanju. Lako je pretpostaviti da će odgovor u našem zadatku biti broj 5 ili više. (Zapravo, čak i više od šest). Ukupno je 7 vrsta opisanih figura.

8) Izrežite kvadrat od 16 ćelija na 4 jednaka dijela tako da svaki od četiri dijela ima točno jednu zelenu ćeliju.

Savjet za učitelja matematike: Izgled malih figura nije kvadrat ili pravokutnik, pa čak ni kut od četiri ćelije. Dakle, u koje oblike bismo trebali pokušati rezati?

9) Izrežite prikazanu figuru na dva dijela tako da se od dobivenih dijelova može presavijati kvadrat.

Savjet za učitelja matematike: Ukupno, na slici je 16 ćelija, što znači da će kvadrat biti veličine 4 × 4. I nekako trebate ispuniti prozor u sredini. Kako to učiniti? Možda nekakav pomak? Zatim, budući da je duljina pravokutnika jednaka neparnom broju ćelija, rezanje treba obaviti ne okomitim rezom, već duž isprekidane linije. Tako da je gornji dio odrezan s jedne strane od srednjih ćelija, a donji dio s druge.

10) Izrežite pravokutnik 4×9 na dva dijela tako da kao rezultat možete dodati kvadrat od njih.

Savjet za učitelja matematike: U pravokutniku se nalazi 36 ćelija. Stoga će kvadrat biti veličine 6 × 6. Budući da se duga strana sastoji od devet stanica, tri ih je potrebno odrezati. Kako će proći ovaj rez?

11) Križ od pet ćelija prikazan na slici potrebno je izrezati (možete izrezati same ćelije) na takve dijelove od kojih bi se mogao presavijati kvadrat.

Savjet za učitelja matematike: Jasno je da bez obzira kako režemo po linijama ćelija, nećemo dobiti kvadrat, jer ima samo 5 ćelija. Ovo je jedini zadatak u kojem je dopušteno rezati ne u stanicama. No, ipak bi ih bilo dobro ostaviti kao smjernicu. na primjer, vrijedno je napomenuti da nekako moramo ukloniti udubljenja koja imamo - naime, u unutarnjim kutovima našeg križa. Kako biste to učinili? Na primjer, izrezivanje nekih izbočenih trokuta vanjski uglovi križ...

Uvodni govor nastavnika:

mali povijesna referenca: Mnogi znanstvenici od davnina vole rješavati probleme. Rješenja za mnoge jednostavne probleme rezanja pronašli su stari Grci, Kinezi, ali prva sustavna rasprava na ovu temu pripada peru Abul-Vefa. Geometri su se početkom 20. stoljeća počeli ozbiljno baviti problemom rezanja figura na najmanji broj komadića, a zatim graditi još jednu figuru. Jedan od osnivača ove sekcije bio je poznati osnivač slagalice Henry E. Dudeney.

Danas ljubitelji zagonetki najprije vole rješavati probleme rezanja jer ne postoji univerzalna metoda za rješavanje takvih problema, a svatko tko se upusti u njihovo rješavanje može u potpunosti pokazati svoju domišljatost, intuiciju i sposobnost kreativnog razmišljanja. (Na satu ćemo naznačiti samo jedan od mogućih primjera rezanja. Može se pretpostaviti da bi učenici mogli dobiti neku drugu ispravnu kombinaciju – ne bojte se ovoga).

Ova lekcija bi trebala biti izvedena u obliku praktične nastave. Podijelite sudionike kruga u grupe od 2-3 osobe. Dajte svakoj skupini figure koje je unaprijed pripremio učitelj. Učenici imaju ravnalo (s podjelama), olovku, škare. Škarama su dopušteni samo ravni rezovi. Nakon što ste izrezali neku figuru na dijelove, potrebno je sastaviti drugu figuru od istih dijelova.

Zadaci rezanja:

1). Pokušajte rezati lik prikazan na slici na 3 jednaka dijela:

Savjet: Mali oblici vrlo su slični slovu T.

2). Sada izrežite ovu figuru na 4 jednaka dijela:

Savjet: Lako je pretpostaviti da će se male figure sastojati od 3 ćelije, a nema toliko figura od tri ćelije. Postoje samo dvije vrste: kut i pravokutnik.

3). Podijelite figuru na dva identična dijela, a od dobivenih dijelova preklopite šahovsku ploču.

Savjet: Ponudite da započnete zadatak od drugog dijela, kako doći do šahovske ploče. Prisjetite se kakav oblik ima šahovska ploča (kvadrat). Izbrojite broj ćelija po dužini, širini. (Podsjetite da bi trebalo biti 8 ćelija).

4). Pokušajte s tri poteza nožem izrezati sir na osam jednakih komada.

Savjet: pokušajte prerezati sir uzdužno.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1). Izrežite papirni kvadrat i učinite sljedeće:

· izrezati na takva 4 dijela, od kojih možete napraviti dva jednaka manja kvadrata.

izrežite na pet dijelova - četiri jednakokračna trokuta i jedan kvadrat - i preklopite ih tako da dobijete tri kvadrata.

Listom kockastog papira sa škarama možete riješiti razne zanimljive zadatke. Ovi zadaci nisu samo zanimljivi ili zabavni. Često sadrže praktično rješenje i dokaz ponekad vrlo složenih geometrijskih problema.

Počnimo s glavnim pravilom rezanja i presavijanja: Dva poligona nazivaju se jednako sastavljenima ako se jedan od njih može podijeliti (izrezati) u neke druge poligone, od kojih se potom može formirati drugi poligon.

Jednako sastavljeni poligoni, naravno, imaju istu površinu (jednaku površinu), pa stoga svojstvo equidisposition ponekad omogućuje dobivanje formule za izračunavanje površina ili usporedbu površina figura (kako kažu, metoda cijepanja ili razlaganja). Primjer je uspoređivanje (izračunavanje) površina paralelograma i pravokutnika.

Opće pitanje ekvikonstituencije dvaju poligona daleko je od jednostavnog. Postoji nevjerojatan teorem koji kaže da se iz bilo kojeg zadanog poligona, rezanjem na dijelove, može konstruirati bilo koji drugi poligon iste površine.

Ovaj teorem bavi se takozvanim jednostavnim poligonima. Jednostavan poligon je poligon čija se granica sastoji od jedne zatvorene linije bez samosjecanja, a točno dvije njegove karike konvergiraju na svakom vrhu tog polilinija. Važno svojstvo jednostavnog poligona je činjenica da ima barem jednu unutarnju dijagonalu.

Imajte na umu da smo za prihvatljivu transformaciju pravokutnika u kvadrat morali (slika 3) da ga razbijemo na tri dijela. Međutim, ova particija nije jedinstvena. Možete, na primjer, navesti primjer cijepanja pravokutnika na četiri dijela (slika 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Pitanje koliki je najmanji broj rezova dovoljan da se od jedne figure konstruira drugi ostaje otvoreno do danas.

Zadatak 1.

Jedna žena je imala pravokutni tepih dimenzija 27 x 36 inča, dva suprotna ugla su bila izlizana (slika 5) i morala se odrezati, ali je htjela pravokutni sag. Ona je ovaj posao dala majstoru i on je to učinio. Na koji način je to učinio?

Rješenje problema može se vidjeti sa slike 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Ako se nazubljeni dio A ukloni iz nazubljenog dijela B i zatim gurne natrag između zuba dijela B, pomičući jedan zub udesno, dobiva se željeni pravokutnik.

Zadatak 2.

Kako napraviti kvadrat od pet identičnih kvadrata rezanjem.

Kao što je prikazano na slici 7, četiri kvadrata treba izrezati u trokut i trapez. Pričvrstite četiri trapeza na stranice petog kvadrata i, na kraju, pričvrstite trokute s nogama na baze trapeza.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Zadatak 3.

Kvadrat razrežite na sedam takvih dijelova tako da zbrajanjem dobijete tri jednaka kvadrata. (Slike 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Zadatak 4.

Kvadrat izrežite na osam komada tako da zbrajanjem dobijete dva kvadrata od kojih je jedan upola manji od drugog.

Slika 10 pokazuje kako izrezati kvadrat. Rješenje je slično rješenju prethodnog problema. Slika 11 pokazuje kako zbrajati dijelove da biste dobili dva željena kvadrata.

Edukativni obilazak

Zadaci za samostalno rješavanje timova „mlađe“ dobne skupine

Zadatak 1

Puž puže uz stup visok 10 m. Danju se diže za 5 m, a noću se spušta za 4 m. Koliko vremena pužu treba da stigne od podnožja do vrha stupa?

Zadatak 2

Je li moguće izrezati rupu u listu bilježnice kroz koju bi se osoba mogla provući?

Zadatak 3

Zečevi pile trupce. Napravili su 10 rezova. Koliko je glupana ispalo?

Zadatak 4

Bagel je izrezan na sektore. Napravio 10 rezova. Koliko je komada napravio?

Zadatak 5

Na velikoj okrugloj torti se napravi 10 rezova tako da svaki rez ide od ruba do ruba i prolazi kroz sredinu torte. Koliko je komada napravio?

Zadatak 6

Dvije osobe imale su dvije četvrtaste torte. Svaki je napravio 2 ravna reza na svojoj torti od ruba do ruba. Pritom je jedan dobio tri komada, a drugi četiri. Kako bi to moglo biti?

Zadatak 7

Zečevi ponovno pile trupac, ali sada su oba kraja trupca učvršćena. Deset srednjih grmlja je palo, a dva ekstremna ostala su fiksna. Koliko su rezova napravili zečevi?

Zadatak 8

Kako podijeliti palačinku s tri ravna reza na 4,5, 6, 7 dijelova?

Zadatak 9

Na pravokutnoj torti leži okrugla čokoladica. Kako prerezati tortu na dva jednaka dijela da se i čokolada podijeli točno na pola?

Zadatak 10

Može li se ispeći kolač koji se jednim ravnim rezom može podijeliti na 4 dijela?

Zadatak 11

Koliki je maksimalni broj komada na koje se okrugla palačinka može podijeliti koristeći tri ravna reza?

Zadatak 12

Koliko je puta dulje stubište do četvrtog kata kuće od stubišta do drugog kata iste kuće?

Zadatak 13

Giuseppe ima list šperploče, veličine 22 × 15. Giuseppe želi iz njega izrezati što više pravokutnih praznina veličine 3 × 5. Kako to učiniti?

Zadatak 14

NA Čarobna zemlja njihove magične zakone prirode, od kojih jedan kaže: "Leteći tepih će letjeti samo kada ima pravokutni oblik."

Ivan Tsarevich imao je leteći tepih veličine 9 × 12. Jednom se Zmija Gorynych prikrala i odrezala mali tepih veličine 1 s ovog tepiha. × 8. Ivan Tsarevich bio je jako uzrujan i htio je odrezati još jedan komad 1 × 4 da napravite pravokutnik 8 × 12, ali Vasilisa Mudra je predložila da se stvari rade drugačije. Tepih je razrezala na tri dijela od kojih je čarobnim nitima sašila četvrtasti leteći tepih veličine 10. × 10.

Možete li pogoditi kako je Vasilisa Mudra prepravila oštećeni tepih?

Zadatak 15

Kada je Gulliver stigao u Lilliput, otkrio je da su tamo sve stvari točno 12 puta kraće nego u njegovoj domovini. Možete li reći koliko liliputanskih kutija šibica stane u Gulliverovu kutiju šibica?

Zadatak 16

Na jarbolu gusarski brod vijori se dvobojna pravokutna zastava koja se sastoji od naizmjeničnih crnih i bijelih okomitih pruga iste širine. Ukupan broj traka jednak je broju zarobljenika koji se trenutno nalaze na brodu. Isprva je na brodu bilo 12 zarobljenika i 12 pruga na zastavi; tada su dva zarobljenika pobjegla. Kako prerezati zastavu na dva dijela i zatim ih sašiti tako da se površina zastave i širina pruga ne mijenjaju, već broj pruga postane 10?

Problem 17

Označite točku u krugu. Je li moguće ovaj krug prerezati na tri dijela na način da se može dodati novi krug, čija bi označena točka bila u središtu?

Problem 18

Je li moguće izrezati kvadrat na četiri dijela tako da svaki dio bude u dodiru (tj. ima zajedničke dijelove granice) s tri druga?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Problem 29

Lako je izrezati kvadrat na dva jednaka trokuta ili dva jednaka četverokuta. Ali kako izrezati kvadrat na dva jednaka peterokuta ili dva jednaka šesterokuta?

Problem 30

Ivan Tsarevich otišao je tražiti Vasilisu Lijepu, koju je oteo Koshchei. Leshy će ga upoznati.

Znam, - kaže, - otišao sam u kraljevstvo Koshcheevo, dogodilo se, otišao sam tamo. Hodao sam četiri dana i četiri noći. Prvi dan sam prošao trećinu puta – ravnom cestom prema sjeveru. Zatim je skrenuo na zapad, jedan dan vukao šumom i upola manje hodao. Treći dan hodao sam kroz šumu, već prema jugu, i izašao na ravan put koji vodi prema istoku. Prošetao sam njime 100 milja u danu i završio u kraljevstvu Koshcheevo. Ti si šetač kao i ja. Idi, Ivane Careviču, vidiš, peti dan ćeš posjetiti Koščeja.

Ne, - odgovori Ivan Tsarevich, - ako je sve kako kažete, onda ću sutra vidjeti svoju Vasilisu Lijepu.

je li u pravu? Koliko je versta prešao Leshy i koliko daleko misli ići Ivan Tsarevich?

Problem 31

Osmislite bojanje lica kocke tako da u tri različita položaja izgleda kao na slici. (Odredite kako obojiti nevidljive rubove ili nacrtati mrežu.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Problem 32

Numizmatičar Fedya ima sve kovanice promjera ne više od 10 cm. Pohranjuje ih u ravnu kutiju dimenzija 30 cm * 70 cm (u jednom sloju). Poklonjen mu je novčić promjera 25 cm Dokažite da se svi novčići mogu staviti u jednu ravnu kutiju dimenzija 55 cm * 55 cm.

Problem 33

Središnja ćelija je izrezana iz kvadrata 5×5. Dobiveni oblik prerežite na dva dijela koji mogu omotati kocku 2x2x2.

Problem 34

Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija na četiri dijela tako da svi dijelovi budu iste veličine i istog oblika, te tako da svaki dio sadrži jedan krug i jednu zvijezdu.

Problem 35

Parkiralište u Cvjetnom gradu je kvadrata 7x7, na svakom od kojih možete parkirati automobil. Parking je ograđen ogradom, jedna strana kutnog kaveza je uklonjena (ovo je kapija). Auto se vozi po stazi širokom kavezom. Dunno je zamoljen da postavi što više automobila na parkiralište na način da svi mogu otići dok drugi stoje. Dunno je rasporedio 24 automobila kao što je prikazano na sl. Pokušajte posložiti automobile na drugačiji način kako bi ih stalo više.

Problem 36

Petya i Vasya žive u susjednim kućama (pogledajte plan na slici). Vasya živi u četvrtom ulazu. Poznato je da Petya, kako bi pobjegla do Vasye najkraći put(ne nužno uz strane ćelija), nije važno s koje strane trčati oko kuće. Odredite u kojem ulazu Petya živi.

Problem 37

Predložite način mjerenja dijagonale obične cigle, koji se lako provodi u praksi (bez Pitagorinog teorema).

Problem 38

Izrežite križ, sastavljen od pet identičnih kvadrata, na tri poligona, jednaka po površini i obodu.

Problem 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

(7 bodova) Navedite primjer dva obična razlomka čija je razlika tri puta veća od umnoška. Navedite izračune koji opravdavaju ovo svojstvo.

Odgovor. Na primjer, 1/2 i 1/5

Odluka

Pogodno za bilo koju frakciju 1/n i 1/(n+3), postoje i druga rješenja.

Kriteriji provjere

• Daje se točan odgovor bez obrazloženja - 3 boda.

Zadatak 2

(7 bodova) Pokaži kako izrezati lik na tri dijela i od njih napraviti kvadrat.

Odluka

1 način

2 način

Moguća su i druga rješenja.

Kriteriji provjere.

• Bilo koje ispravno rješenje (na slikama je prikazano kako rezati trapez i kako presavijati kvadrat) - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (pokazuje samo kako rezati trapez ili kako presavijati kvadrat) - 3 boda.

Zadatak 3

(7 bodova) Na ploči je napisan broj 49. U jednom potezu dopušteno je udvostručiti broj ili izbrisati njegovu posljednju znamenku. Je li moguće dobiti broj 50 u nekoliko poteza?

Odgovor. Limenka.

Odluka

Broj 50 može se dobiti udvostručenjem 25, a 25 se može dobiti brisanjem zadnje znamenke od 256, što je stepen dvojke. Dakle, nužni lanac transformacija može izgledati ovako:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Postoje i druga rješenja.

Kriteriji provjere.

• Bilo koje potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (na primjer, naznačeno je da se iz broja 256 može dobiti 50, ali nije naznačeno kako dobiti 256) - 3 boda.

Zadatak 4

(7 bodova) Jedan od tri prijatelja: Andrej, Boris ili Vladimir je najjači, drugi je najpametniji, treći je najljubazniji. Jednom su rekli sljedeće:

Andrej: Vladimir je jači od mene.

Boris : Pametniji sam od Vladimira.

Vladimir : Boris je pametniji od mene.

Poznato je da su najjači i najljubazniji govorili istinu, najinteligentniji lagali, a među njima nema dvojice jednakih po snazi.

Je li istina da je među trojicom prijatelja onaj koji je najljubazniji ujedno i najslabiji?

Obrazložite svoj odgovor.

Odgovor. Da.

Odluka

Označimo: A - Andrej, B - Boris, C - Vladimir. Izjave B i C se međusobno ponavljaju, a budući da je među trima samo jedna lažna izjava, B i C su rekli istinu, A - laž. Dakle, A je najpametniji (po uvjetu), A je jači od B (jer je A lagao), a B je pametniji od C (jer su B i C rekli istinu). Budući da je A jači od B, onda B nije najjači. Ispada da je B najjači, A prosječan po snazi, C najslabiji. Istovremeno, C nije ni najpametniji ni najjači, što znači da je najljubazniji.

Radi jasnoće možete unijeti dostupne informacije u tablicu. Označit ćemo "mjesta" svake kvalitete: 1 - prvo mjesto (najpametniji / najjači / najljubazniji), 2 - prosjek, 3 - posljednje mjesto.

Iz tablice se vidi da B - najljubazniji i najslabiji.

Kriteriji provjere

• Bilo koje potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Ispravno je i razumno pronađeno tko je najjači, tko najpametniji, a tko najljubazniji, a daljeg pomaka nema - 5 bodova.
• Razumno primljen, Andrej je najpametniji, prijatelji su pravilno raspoređeni po snazi ​​(sva 3 mjesta), ali nisu primljeni ili nisu u korelaciji s činjenicom da je Vladimir najljubazniji, - 5 bodova.
• Obrazloženje se daje samo za određeni slučaj (na primjer, razmatra se samo slučaj da je Andrej rekao laž) bez razmatranja drugih posebnih slučajeva i bez navođenja njihove nemogućnosti - 2 boda.
• Točan odgovor koji pokazuje tko je najpametniji, tko najjači, a tko najljubazniji, uz provjeru da su takvim rasporedom ispunjeni svi uvjeti zadatka, ali bez opravdanja - 2 boda.
• Pogreška je napravljena na samom početku obrazloženja - 0 bodova.
• Daje se samo odgovor - 0 bodova.

Zadatak 5

(7 bodova) Mama hoda s kolicima oko jezera i potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta. Vanya se vozi skuterom po istoj stazi u istom smjeru i svakih 12 minuta susreće (prestiže) svoju majku. U kojim vremenskim intervalima

Hoće li Vanya sresti svoju majku ako vozi istom brzinom, ali u suprotnom smjeru?

Odgovor . Nakon 4 minute.

Odluka

Budući da majka potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta i susreće Vanju jednom svakih 12 minuta, za 12 minuta Vanya obiđe jezero točno 2 puta, a majka - jednom. To znači da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke. Iz toga proizlazi da kada je Vanya vozio u istom smjeru kao i njegova majka, brzina njihovog približavanja bila je jednaka brzini njegove majke. Ako Vanya ide u suprotnom smjeru, tada će brzina njihove konvergencije biti jednaka trima majčinim brzinama, odnosno bit će tri puta veća. To znači da će se s majkom sretati tri puta češće, odnosno svake 4 minute.

Ovo razmišljanje može se provesti uvođenjem oznake za duljinu staze.

Neka bude a- duljina staze oko jezera (u metrima), tada je brzina majke a/12 (m/min) a Vanjina brzina je a/6 (m/min). Brzina konvergencije u slučaju da mama i Vanja idu jedno prema drugom jednaka je 3 a/12=a/4 (m/min). Stoga će takvom brzinom zajedno svladati a metara za 4 minute, odnosno sastajat će se svake 4 minute.

Kriteriji provjere

• Bilo koje potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Ispravno je utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, točno je pronađen zbroj brzina, ali je konačni zaključak donesen pogrešno - 2 boda.
• Ispravno je i razumno utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, ali daljnje razmišljanje ili nije opravdano ili nije dovršeno - 1 bod.
• Rješenje u kojem se daju određene udaljenosti i brzine i dobiva točan odgovor je 1 bod.
• Samo točan odgovor - 0 bodova.

Maksimalni broj bodova za sve obavljene zadatke je 35.