Olimpijada, logički i zabavni zadaci iz matematike. Zadaci rezanja

S listom kockastog papira pomoću škara možete riješiti mnoge od najrazličitijih i najzanimljivijih problema. Ovi zadaci nisu samo zabavni ili zanimljivi. Često su praktična rješenja i dokazi ponekad vrlo složenih geometrijskih problema.

Počnimo s općim pravilom rezanja i presavijanja: za dva poligona se kaže da su škara-kongruentna ako se jedan od njih može podijeliti (izrezati) na neke druge poligone, od kojih onda možete napraviti drugi poligon.

Jednako suprotstavljeni poligoni, naravno, imaju istu površinu (jednake površine), pa stoga svojstvo equipartition ponekad omogućuje dobivanje formula za izračunavanje površina ili usporedbu površina figura (kako kažu, dijeljenjem ili dekompozicijom). Primjer je uspoređivanje (izračunavanje) površina paralelograma i pravokutnika.

Općenito pitanje jednakosti dvaju poligona daleko je od jednostavnog. Postoji nevjerojatan teorem, koji kaže da se iz bilo kojeg zadanog poligona, rezanjem na dijelove, može konstruirati bilo koji drugi poligon iste površine.

Ovaj teorem bavi se takozvanim jednostavnim poligonima. Jednostavan poligon je poligon čija se granica sastoji od jedne zatvorene linije bez samosjecišta, a točno dvije njegove karike konvergiraju na svakom vrhu tog polilinija. Važno svojstvo jednostavan poligon je činjenica da ima barem jednu unutarnju dijagonalu.

Imajte na umu da smo za dopuštenu transformaciju pravokutnika u kvadrat morali (slika 3) da ga podijelimo na tri dijela. Međutim, ova podjela nije jedina. Na primjer, možete dati primjer dijeljenja pravokutnika na četiri dijela (slika 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif "width =" 356 "height =" 391 src = ">

Pitanje koliki je najmanji broj rezova dovoljan da se od jedne figure konstruira drugi ostaje otvoreno do danas.

Cilj 1.

Jedna žena imala je pravokutni tepih veličine 27 x 36 inča s dva suprotna ugla izlizana (slika 5) i morala je biti odrezana, ali je htjela pravokutni tepih. Ona je taj posao dala majstoru i on ga je obavio. Kako mu je to uspjelo?

Rješenje problema može se vidjeti sa slike 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif "width =" 286 "height =" 240 src = ">

Ako se nazubljeni dio A ukloni iz nazubljenog dijela B i zatim ponovno umetne između zuba dijela B, pomičući jedan zub udesno, dobiva se željeni pravokutnik.

Cilj 2.

Kako napraviti kvadrat od pet identičnih kvadrata rezanjem.

Kao što je prikazano na slici 7, četiri kvadrata treba izrezati u trokut i trapez. Pričvrstite četiri trapeza na stranice petog kvadrata i, na kraju, pričvrstite trokute s nogama na baze trapeza.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif "width =" 382 "height =" 271 src = ">

Cilj 3.

Kvadrat izrežite na sedam takvih komada tako da zbrajanjem dobijete tri jednaka kvadrata. (Slike 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif "width =" 188 "height =" 189 src = ">

Zadatak 4.

Kvadrat prerežite na osam dijelova tako da kada ih dodate, dobijete dva kvadrata od kojih je jedan upola manji od drugog.

Slika 10 pokazuje kako izrezati kvadrat. Rješenje je slično rješenju prethodnog problema. Slika 11 prikazuje kako trebate zbrajati dijelove da biste dobili dva željena kvadrata.

Studijsko putovanje

Zadaci za samostalno rješavanje po ekipama "mlađe" dobne skupine

Problem 1

Puž se penje uz stup visok 10 m. Danju se diže za 5 m, a noću se spušta za 4 m. Koliko vremena pužu treba da stigne od podnožja do vrha stupa?

Zadatak 2

Je li moguće izrezati rupu u listu bilježnice kroz koju bi se osoba provukla?

Problem 3

Zečevi pile balvan. Napravili su 10 rezova. Koliko ste blokova dobili?

Problem 4

Bagel je izrezan na sektore. Napravljeno je 10 rezova. Koliko ste komada dobili?

Problem 5

Na velikoj okrugloj torti napravljeno je 10 rezova tako da svaki rez ide od ruba do ruba i prolazi kroz sredinu torte. Koliko ste komada dobili?

Problem 6

Dvije osobe imale su dvije četvrtaste torte. Svatko je napravio 2 ravna reza na svojoj torti od ruba do ruba. U ovom slučaju, jedan je dobio tri komada, a drugi - četiri. Kako bi ovo moglo biti?

Problem 7

Zečevi ponovno pile trupac, ali sada su oba kraja trupca osigurana. Deset srednjih blokova je palo, a dva krajnja su ostala nepomična. Koliko su rezova napravili zečevi?

Problem 8

Kako podijeliti palačinku s tri ravna reza na 4,5, 6, 7 komada?

Problem 9

Na pravokutnoj torti nalazi se okrugla čokoladica. Kako prerezati tortu na dva jednaka dijela da se i čokolada podijeli točno na pola?

Problem 10

Može li se ispeći kolač koji se jednim ravnim rezom može podijeliti na 4 dijela?

Zadatak 11

Koliki je maksimalni broj komada na koje se okrugla palačinka može podijeliti koristeći tri ravna reza?

Zadatak 12

Koliko je puta stubište do četvrtog kata zgrade duže od stubišta do drugog kata iste zgrade?

Zadatak 13

Giuseppe ima list šperploče, veličine 22 × 15. Giuseppe želi iz njega izrezati što više pravokutnih komada veličine 3 × 5. Kako to učiniti?

Zadatak 14

V Čarobna zemlja svoje magične zakone prirode, od kojih jedan kaže: "Leteći tepih će letjeti samo kada ima pravokutni oblik."

Ivan Tsarevich imao je leteći tepih veličine 9 × 12. Jednog dana Zmija Gorynych se prikrala i odrezala mali tepih veličine 1 s ovog tepiha. × 8. Ivan Tsarevich je bio jako uznemiren i htio je odrezati još jedan komad 1 × 4 da napravite pravokutnik 8 × 12, ali Vasilisa Mudra je predložila da se učini nešto drugačije. Tepih je razrezala na tri dijela, od kojih je čarobnim nitima sašila leteći tepih veličine 10 kvadrata. × 10.

Možete li pogoditi kako je Vasilisa Mudra prepravila oštećeni tepih?

Zadatak 15

Kada je Gulliver stigao u Lilliput, otkrio je da su sve stvari tamo točno 12 puta kraće nego u njegovoj domovini. Možete li reći koliko liliputanskih kutija šibica stane u Gulliverovu kutiju šibica?

Zadatak 16

Na jarbolu gusarski brod vijori se dvobojna pravokutna zastava, koja se sastoji od izmjeničnih crnih i bijelih okomitih pruga jednake širine. Ukupan broj pruga jednak je broju zarobljenika koji se trenutno nalaze na brodu. Isprva je na brodu bilo 12 zarobljenika, a na zastavi je bilo 12 pruga; tada su dvojica zarobljenika pobjegla. Kako prepoloviti zastavu i zatim ih spojiti tako da se površina zastave i širina pruga ne mijenjaju, već broj pruga postane 10?

Zadatak 17

U krugu je označena točka. Je li moguće ovaj krug prerezati na tri dijela da se mogu presavijati novi krug, u kojem bi označena točka bila u središtu?

Zadatak 18

Je li moguće izrezati kvadrat na četiri dijela tako da svaki dio bude u dodiru (tj. ima zajedničke dijelove granice) s tri druga?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif "width =" 123 "height =" 125 ">

Zadatak 29

Kvadrat možete jednostavno izrezati na dva jednaka trokuta ili dva jednaka četverokuta. Kako izrezati kvadrat na dva jednaka peterokuta ili dva jednaka šesterokuta?

Zadatak 30

Ivan Tsarevich otišao je tražiti Vasilisu Lijepu, koju je oteo Koshchei. Goblin ga susreće.

Znam, - kaže, - išao sam tamo u kraljevstvo Koscheevo. Hodao sam četiri dana i četiri noći. Prvog dana prešao sam trećinu puta — ravni put prema sjeveru. Zatim je skrenuo na zapad, progurao se kroz šumu jedan dan i hodao upola manje. Treći dan hodao sam kroz šumu, već prema jugu, i izašao na ravan put koji vodi prema istoku. Prošetao sam njime 100 milja u jednom danu i završio u kraljevstvu Koscheevo. Brz si kao i ja. Idi, Ivane Careviču, vidiš, peti dan ćeš posjetiti Koscheja.

Ne, - odgovori Ivan Tsarevich, - ako je sve kako kažete, onda ću sutra vidjeti svoju Vasilisu Lijepu.

Je li u pravu? Koliko je milja prešao Leshy i koliko Ivan Tsarevich misli prijeći?

Zadatak 31

Smislite bojanje stranica kocke tako da u tri različita položaja izgleda kao na slici. (Navedite kako obojiti nevidljive rubove ili nacrtati ravni uzorak.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif "align =" left "width =" 205 "height =" 205 src = "> Zadatak 32

Kod numizmatičara Fedya svi novčići imaju promjer ne veći od 10 cm. On ih pohranjuje u ravnu kutiju dimenzija 30 cm * 70 cm (u jednom sloju). Predan mu je novčić promjera 25 cm Dokažite da se svi novčići mogu staviti u jednu ravnu kutiju dimenzija 55 cm * 55 cm.

Zadatak 33

Središnja ćelija je izrezana iz kvadrata 5 × 5. Dobiveni oblik prerežite na dva dijela kojima se može zamotati kocka 2x2x2.

Zadatak 34

Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija na četiri dijela tako da svi dijelovi budu iste veličine i oblika, te da svaki dio sadrži jedan krug i jednu zvijezdu.

Zadatak 35

Parkiralište u Cvjetnom gradu je 7x7 kvadrata, na svakom od kojih možete parkirati svoj automobil. Parkiralište je ograđeno ogradom, jedna od strana kutnog kaveza je uklonjena (ovo je kapija). Automobil se vozi stazom u cijelom kavezu. Dunno je zamoljen da postavi što više automobila na parkiralište kako bi svatko mogao otići dok ostali stoje. Dunno je rasporedio 24 automobila kao što je prikazano na sl. Pokušajte drugačije rasporediti automobile kako biste primili više.

Zadatak 36

Petya i Vasya žive u susjednim kućama (vidi plan na slici). Vasya živi u četvrtom ulazu. Poznato je da Pete, da trči do Vasya najkraći put(ne nužno hodanje uz strane kaveza), nije važno s koje strane trčati oko kuće. Odredite u kojem ulazu Petya živi.

Zadatak 37

Predložite način mjerenja dijagonale obične cigle, što je lako provesti u praksi (bez Pitagorinog teorema).

Zadatak 38

Izrežite križ, sastavljen od pet identičnih kvadrata, na tri poligona jednaka po površini i obodu.

Zadatak 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg "alt =" (! LANG: http: //*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif "width =" 212 "height =" 139 "> 8)

U razumijevanju nastavnika matematike i nastavnika raznih izbornih predmeta i krugova nudi se izbor zabavnih i razvojnih zadataka geometrijskog rezanja. Svrha korištenja ovakvih zadataka od strane nastavnika u nastavi nije samo zainteresirati učenika zanimljivim i učinkovitim kombinacijama ćelija i figura, već i formirati u njemu osjećaj za linije, kutove i oblike. Skup zadataka usmjeren je uglavnom na djecu od 4. do 6. razreda, iako ga je moguće koristiti i za srednjoškolce. Vježbe zahtijevaju od učenika visoku i postojanu koncentraciju pažnje te su odlične za razvoj i trening. vizualno pamćenje... Preporuča se učiteljima matematike koji pripremaju učenike za prijemne ispite u matematičke škole i razrede koji imaju posebne zahtjeve za razinu samostalnog mišljenja i kreativnosti djeteta. Razina zadataka odgovara razini ulaznih olimpijada u licej "druge škole" (druga matematička škola), mali Mehmatičar Moskovskog državnog sveučilišta, školu Kurchatov itd.

Napomena nastavnika matematike:
U nekim rješenjima problema, koja možete pogledati klikom na odgovarajući indeks, naveden je samo jedan od mogućih primjera rezanja. U potpunosti priznajem da biste mogli završiti s nekom drugom ispravnom kombinacijom - ovoga se ne trebate bojati. Pažljivo provjerite rješenje svog uma i ako ono zadovoljava uvjet, slobodno se pozabavite sljedećim problemom.

1) Pokušajte rezati lik prikazan na slici na 3 jednaka dijela:

: Mali oblici vrlo su slični slovu T

2) Sada izrežite ovaj oblik na 4 jednaka dijela:

Savjet učitelja matematike: Lako je pogoditi da će se male figure sastojati od 3 ćelije, a nema toliko figura od tri ćelije. Postoje samo dvije vrste njih: kut i pravokutnik 1 × 3.

3) Izrežite ovaj oblik na 5 jednakih dijelova:

Pronađite broj ćelija od kojih se sastoji svaka takva figura. Ove brojke su slične slovu G.

4) A sada trebate izrezati lik od deset ćelija na 4 nejednaki jedan drugom pravokutnik (ili kvadrat).

Specifikacija nastavnika matematike: Odaberite neki pravokutnik, a zatim pokušajte napisati još tri u preostale ćelije. Ako ne uspije, promijenite prvi pravokutnik i pokušajte ponovno.

5) Zadatak postaje složeniji: lik morate izrezati na 4 različitog oblika figurice (ne nužno pravokutne).

Savjet učitelja matematike: prvo nacrtajte sve vrste oblika zasebno različitih oblika(bit će ih više od četiri) i ponovite metodu nabrajanja opcija kao u prethodnom zadatku.
:

6) Izrežite ovu figuru na 5 figura od četiri ćelije različitih oblika tako da u svakoj od njih bude obojana samo jedna zelena ćelija.

Savjet učitelja matematike: Pokušajte početi rezati od gornjeg ruba zadanog oblika i odmah ćete shvatiti kako dalje.
:

7) Na temelju prethodnog problema. Pronađi koliko ima figura različitih oblika, koje se sastoje od točno četiri ćelije? Figure se mogu uvijati, rotirati, ali ne možete podići stol (s njegove površine), na kojem leži. Odnosno, dvije zadane figure neće se smatrati jednakima, jer se ne mogu dobiti jedna od druge okretanjem.

Savjet učitelja matematike: Proučite rješenje prethodnog problema i pokušajte zamisliti različite položaje ovih figura pri okretanju. Nije teško pogoditi da će odgovor u našem zadatku biti broj 5 ili više. (Zapravo, čak i više od šest). Ukupno je 7 vrsta opisanih figura.

8) Izrežite kvadrat od 16 stanica na 4 dijela jednakog oblika tako da svaki od četiri dijela sadrži točno jednu zelenu ćeliju.

Savjet učitelja matematike: Izgled malih figura nije kvadrat ili pravokutnik, pa čak ni kut od četiri ćelije. Dakle, u koje oblike biste trebali pokušati rezati?

9) Izrežite prikazanu figuru na dva dijela tako da se dobiveni dijelovi mogu presavijati u kvadrat.

Savjet učitelja matematike: Ukupno ima 16 ćelija, što znači da će kvadrat biti veličine 4 × 4. I nekako trebate ispuniti prozor u sredini. Kako to učiniti? Može li to biti nekakav pomak? Zatim, budući da je duljina pravokutnika jednaka neparnom broju ćelija, rezanje treba obaviti ne okomitim rezom, već duž isprekidane linije. Tako da je gornji dio odrezan s jedne strane srednjih ćelija, a donji dio s druge.

10) Izrežite pravokutnik 4 × 9 na dva dijela kako biste kao rezultat mogli dodati kvadrat.

Savjet učitelja matematike: U pravokutniku se nalazi 36 ćelija. Stoga će kvadrat biti 6x6. Budući da se duga strana sastoji od devet ćelija, tri od njih moraju biti odrezane. Kako će ovaj rez dalje ići?

11) Križ od pet ćelija, prikazan na slici, potrebno je izrezati (možete izrezati same ćelije) na dijelove od kojih bi se mogao presavijati kvadrat.

Savjet učitelja matematike: Jasno je da bez obzira kako režemo ćelije duž linija, nećemo dobiti kvadrat, jer ima samo 5 ćelija.To je jedini problem u kojem je dopušteno rezati ne u stanicama... Ipak, bilo bi dobro ostaviti ih kao vodiča. na primjer, vrijedno je napomenuti da nekako trebamo ukloniti udubljenja koja imamo - naime, u unutarnjim kutovima našeg križa. Kako biste to učinili? Na primjer, izrezivanje nekih izbočenih trokuta vanjski uglovi križ ...

(7 bodova) Navedite primjer dva obična razlomka čija je razlika tri puta veća od umnoška. Navedite izračune koji će opravdati ovo svojstvo.

Odgovor... Na primjer 1/2 i 1/5

Riješenje

Bilo koji razlomci obrasca 1 / n i 1 / (n + 3), postoje i druga rješenja.

Kriteriji ispitivanja

• Točan odgovor se daje bez obrazloženja - 3 boda.

Zadatak 2

(7 bodova) Pokažite kako izrezati oblik na tri dijela i saviti ih u kvadrat.

Riješenje

1 način

2 način

Moguća su i druga rješenja.

Kriteriji provjere.

• Bilo koje ispravno rješenje (na slikama je prikazano kako rezati trapez i kako presavijati kvadrat) - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (pokazano je samo kako rezati trapez ili kako presavijati kvadrat) - 3 boda.

Zadatak 3

(7 bodova) Na ploči je napisan broj 49. U jednom potezu dopušteno je udvostručiti broj ili izbrisati njegovu posljednju znamenku. Je li moguće dobiti broj 50 u nekoliko poteza?

Odgovor... Limenka.

Riješenje

Broj 50 može se dobiti udvostručenjem 25, a 25 se može dobiti brisanjem zadnje znamenke od 256, što je stepen dvojke. Dakle, potrebni lanac transformacije može izgledati ovako:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Postoje i druga rješenja.

Kriteriji provjere.

• Svaka potpuna točna odluka - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (na primjer, naznačeno je da se iz broja 256 može dobiti 50, ali nije naznačeno kako dobiti 256) - 3 boda.

Zadatak 4

(7 bodova) Jedan od tri prijatelja: Andrej, Boris ili Vladimir je najjači, drugi je najpametniji, treći je najljubazniji. Jednom su rekli sljedeće:

Andrej: Vladimir je jači od mene.

Boris : Pametniji sam od Vladimira.

Vladimir Boris je pametniji od mene.

Poznato je da su najjači i najljubazniji govorili istinu, najpametniji lagali, a među njima nema dvojice jednakih po snazi.

Je li istina da je među tri prijatelja najslabiji onaj koji je najljubazniji?

Obrazložite svoj odgovor.

Odgovor... Da.

Riješenje

Označimo: A - Andrej, B - Boris, C - Vladimir. Izjave B i C se međusobno ponavljaju, a budući da je među tri lažna samo jedna izjava, B i C su rekli istinu, A - laž. Dakle, A je najpametniji (po uvjetu), A je jači od C (budući da je A lagao) i B je pametniji od C (budući da su B i C rekli istinu). Budući da je A jači od B, onda B nije najjači. Ispada da je najjači B, prosjek snage je A, najslabiji B. Pritom, C nije najpametniji i nije najjači, što znači da je najljubazniji.

Radi jasnoće možete unijeti dostupne podatke u tablicu. Označit ćemo "mjesta" svake kvalitete: 1 - prvo mjesto (najpametniji / najjači / vrsta), 2 - prosječno, 3 - posljednje mjesto.

Tablica to pokazuje B - najljubazniji i najslabiji.

Kriteriji ispitivanja

• Svaka potpuna točna odluka - 7 bodova.
• Ispravno je i razumno pronađeno tko je najjači, tko najpametniji, a tko najljubazniji i daljeg pomaka nema - 5 bodova.
• Razumno primljen, Andrej je najpametniji, prijatelji su pravilno raspoređeni prema snazi ​​(sva 3 mjesta), ali nisu primljeni niti u korelaciji s činjenicom da je Vladimir najljubazniji - 5 bodova.
• Obrazloženje se daje samo za određeni slučaj (na primjer, razmatra se samo slučaj da je Andrej rekao laž) bez razmatranja drugih posebnih slučajeva i bez navođenja njihove nemogućnosti - 2 boda.
• Točan odgovor koji pokazuje tko je najpametniji, tko najjači, a tko najljubazniji, uz provjeru da su takvim rasporedom ispunjeni svi uvjeti problema, ali bez opravdanja - 2 boda.
• Na samom početku obrazloženja napravljena je greška - 0 bodova.
• Daje se samo odgovor - 0 bodova.

Zadatak 5

(7 bodova) Mama obiđe jezero s kolicima i u potpunosti obiđe jezero za 12 minuta. Vanya se vozi skuterom po istoj stazi u istom smjeru i svakih 12 minuta susreće (prestiže) svoju majku. U kojim intervalima

Hoće li Vanya sresti svoju majku ako vozi istom brzinom, ali u suprotnom smjeru?

Odgovor ... Nakon 4 minute.

Riješenje

Budući da mama potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta i susreće Vanju svakih 12 minuta, za 12 minuta Vanya se vozi oko jezera točno 2 puta, a mama - jedan. To znači da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine njezine majke. Iz toga slijedi da kada je Vanya vozio u istom smjeru kao i njegova majka, brzina njihovog približavanja bila je jednaka brzini njegove majke. Ako Vanya vozi u suprotnom smjeru, brzina njihovog približavanja bit će tri puta veća od brzine njegove majke, odnosno bit će tri puta veća. To znači da će se s majkom sretati tri puta češće, odnosno svake 4 minute.

Ovo razmišljanje može se provesti uvođenjem oznake za duljinu staze.

Neka bude a- duljina staze oko jezera (u metrima), tada je brzina majke a/ 12 (m / min), a Vanjina brzina - a/ 6 (m / min). Brzina konvergencije ako mama i Vanja idu jedno prema drugom je 3 a/12=a/ 4 (m / min). Stoga će takvom brzinom zajedno svladati a metara za 4 minute, odnosno sastajat će se svake 4 minute.

Kriteriji ispitivanja

• Svaka potpuna točna odluka - 7 bodova.
• Ispravno je utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine njegove majke, zbroj brzina je točno pronađen, ali je konačni zaključak donijet pogrešno - 2 boda.
• Ispravno je i razumno utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, ali daljnje razmišljanje ili nije opravdano ili nije dovedeno do kraja - 1 bod.
• Rješenje koje daje određene udaljenosti i brzine i daje točan odgovor - 1 bod.
• Samo tačan odgovor je 0 bodova.

Maksimalni broj bodova za sve obavljene zadatke je 35.