Rezanje i preklapanje oblika. Listom kockastog papira sa škarama možete riješiti mnoge različite i zanimljive probleme.

Listom kockastog papira sa škarama možete riješiti razne zanimljive zadatke. Ovi zadaci nisu samo zanimljivi ili zabavni. Često sadrže praktično rješenje i dokaz ponekad vrlo složenih geometrijskih problema.

Počnimo s glavnim pravilom rezanja i presavijanja: Dva poligona nazivaju se jednako sastavljenima ako se jedan od njih može podijeliti (izrezati) u neke druge poligone, od kojih se onda može formirati drugi poligon.

Jednako sastavljeni poligoni, naravno, imaju istu površinu (jednaku površinu), pa stoga svojstvo equidisposition ponekad omogućuje dobivanje formule za izračunavanje površina ili usporedbu površina figura (kako kažu, metoda cijepanja ili razlaganja). Primjer je uspoređivanje (izračunavanje) površina paralelograma i pravokutnika.

Općenito pitanje ekvikonstituencije dvaju poligona daleko je od jednostavnog. Postoji nevjerojatan teorem koji kaže da se iz bilo kojeg zadanog poligona, rezanjem na dijelove, može konstruirati bilo koji drugi poligon iste površine.

Ovaj teorem bavi se takozvanim jednostavnim poligonima. Jednostavan poligon je poligon čija se granica sastoji od jedne zatvorene linije bez samosjecanja, a točno dvije njegove karike konvergiraju na svakom vrhu tog polilinija. Važno svojstvo jednostavan poligon je činjenica da ima barem jednu unutarnju dijagonalu.

Imajte na umu da smo za prihvatljivu transformaciju pravokutnika u kvadrat morali (slika 3) da ga razbijemo na tri dijela. Međutim, ova particija nije jedinstvena. Možete, na primjer, navesti primjer cijepanja pravokutnika na četiri dijela (slika 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Pitanje koliki je najmanji broj rezova dovoljan da se od jedne figure konstruira drugi ostaje otvoreno do danas.

Zadatak 1.

Jedna žena je imala pravokutni sag dimenzija 27 x 36 inča, dva suprotna ugla su mu bila izlizana (slika 5) i morala se odrezati, ali je htjela pravokutni tepih. Ona je dala ovaj posao majstoru i on je to učinio. Na koji način je to učinio?

Rješenje problema može se vidjeti sa slike 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Ako se nazubljeni dio A ukloni iz nazubljenog dijela B i zatim gurne natrag između zuba dijela B, pomičući jedan zub udesno, dobiva se željeni pravokutnik.

Zadatak 2.

Kako napraviti kvadrat od pet identičnih kvadrata rezanjem.

Kao što je prikazano na slici 7, četiri kvadrata treba izrezati u trokut i trapez. Pričvrstite četiri trapeza na stranice petog kvadrata i, na kraju, pričvrstite trokute s nogama na baze trapeza.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Zadatak 3.

Kvadrat razrežite na sedam takvih dijelova tako da zbrajanjem dobijete tri jednaka kvadrata. (Slike 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Zadatak 4.

Kvadrat izrežite na osam komada tako da zbrajanjem dobijete dva kvadrata od kojih je jedan upola manji od drugog.

Slika 10 pokazuje kako izrezati kvadrat. Rješenje je slično rješenju prethodnog problema. Slika 11 pokazuje kako zbrajati dijelove da biste dobili dva željena kvadrata.

Edukativni obilazak

Zadaci za samostalno rješavanje timova "mlađe" dobne skupine

Zadatak 1

Puž puže uz stup visok 10 m. Danju se diže za 5 m, a noću se spušta za 4 m. Koliko vremena pužu treba da stigne od podnožja do vrha stupa?

Zadatak 2

Je li moguće izrezati rupu u listu bilježnice kroz koju bi se osoba mogla provući?

Zadatak 3

Zečevi pile trupce. Napravili su 10 rezova. Koliko je glupana ispalo?

Zadatak 4

Bagel je izrezan na sektore. Napravio 10 rezova. Koliko je komada napravio?

Zadatak 5

Na velikoj okrugloj torti se napravi 10 rezova tako da svaki rez ide od ruba do ruba i prolazi kroz sredinu torte. Koliko je komada napravio?

Zadatak 6

Dvije osobe imale su dvije četvrtaste torte. Svaki je napravio 2 ravna reza na svojoj torti od ruba do ruba. Pritom je jedan dobio tri komada, a drugi četiri. Kako bi to moglo biti?

Zadatak 7

Zečevi ponovno pile trupac, ali sada su oba kraja trupca učvršćena. Deset srednjih grmlja je palo, a dva ekstremna ostala su fiksna. Koliko su rezova napravili zečevi?

Zadatak 8

Kako podijeliti palačinku s tri ravna reza na 4,5, 6, 7 dijelova?

Zadatak 9

Na pravokutnoj torti leži okrugla čokoladica. Kako prerezati tortu na dva jednaka dijela da se i čokolada podijeli točno na pola?

Zadatak 10

Može li se ispeći kolač koji se jednim ravnim rezom može podijeliti na 4 dijela?

Zadatak 11

Koliki je maksimalni broj komada na koje se okrugla palačinka može podijeliti koristeći tri ravna reza?

Zadatak 12

Koliko je puta duže stubište do četvrtog kata kuće od stubišta do drugog kata iste kuće?

Zadatak 13

Giuseppe ima list šperploče, veličine 22 × 15. Giuseppe želi iz njega izrezati što više pravokutnih praznina veličine 3 × 5. Kako to učiniti?

Zadatak 14

NA Čarobna zemlja njihove magične zakone prirode, od kojih jedan kaže: "Leteći tepih će letjeti samo kada ima pravokutni oblik."

Ivan Tsarevich imao je leteći tepih veličine 9 × 12. Jednom se Zmija Gorynych prikrala i odrezala mali tepih veličine 1 s ovog tepiha. × 8. Ivan Tsarevich bio je jako uzrujan i htio je odrezati još jedan komad 1 × 4 da napravite pravokutnik 8 × 12, ali Vasilisa Mudra je predložila da se stvari rade drugačije. Tepih je razrezala na tri dijela, od kojih je čarobnim nitima sašila četvrtasti leteći tepih veličine 10. × 10.

Možete li pogoditi kako je Vasilisa Mudra prepravila oštećeni tepih?

Zadatak 15

Kada je Gulliver stigao u Lilliput, otkrio je da su tamo sve stvari točno 12 puta kraće nego u njegovoj domovini. Možete li reći koliko liliputanskih kutija šibica stane u Gulliverovu kutiju šibica?

Zadatak 16

Na jarbolu gusarski brod vijori se dvobojna pravokutna zastava koja se sastoji od naizmjeničnih crnih i bijelih okomitih pruga iste širine. Ukupan broj traka jednak je broju zarobljenika koji se trenutno nalaze na brodu. Isprva je na brodu bilo 12 zarobljenika i 12 pruga na zastavi; tada su dva zarobljenika pobjegla. Kako prerezati zastavu na dva dijela i zatim ih sašiti tako da se površina zastave i širina pruga ne mijenjaju, već broj pruga postane 10?

Problem 17

Označite točku u krugu. Je li moguće ovaj krug prerezati na tri dijela na način da se može dodati novi krug, čija bi označena točka bila u središtu?

Problem 18

Je li moguće izrezati kvadrat na četiri dijela tako da svaki dio bude u dodiru (tj. ima zajedničke dijelove granice) s tri druga?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Problem 29

Lako je izrezati kvadrat na dva jednaka trokuta ili dva jednaka četverokuta. Ali kako izrezati kvadrat na dva jednaka peterokuta ili dva jednaka šesterokuta?

Problem 30

Ivan Tsarevich otišao je tražiti Vasilisu Lijepu, koju je oteo Koshchei. Leshy će ga upoznati.

Znam, - kaže, - otišao sam u kraljevstvo Koshcheevo, dogodilo se, otišao sam tamo. Hodao sam četiri dana i četiri noći. Prvi dan sam prošao trećinu puta – ravnom cestom prema sjeveru. Zatim je skrenuo na zapad, jedan dan vukao šumom i upola manje hodao. Treći dan hodao sam kroz šumu, već prema jugu, i izašao na ravan put koji vodi prema istoku. Prošetao sam njime 100 milja u jednom danu i završio u kraljevstvu Koshcheevo. Ti si šetač kao i ja. Idi, Ivane Careviču, vidiš, peti dan ćeš posjetiti Koščeja.

Ne, - odgovori Ivan Tsarevich, - ako je sve kako kažete, onda ću sutra vidjeti svoju Vasilisu Lijepu.

Je li u pravu? Koliko je versta prešao Leshy i koliko daleko misli ići Ivan Tsarevich?

Problem 31

Osmislite bojanje lica kocke tako da u tri različita položaja izgleda kao na slici. (Odredite kako obojiti nevidljive rubove ili nacrtati mrežu.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Problem 32

Numizmatičar Fedya ima sve kovanice promjera ne većeg od 10 cm. Pohranjuje ih u ravnu kutiju dimenzija 30 cm * 70 cm (u jednom sloju). Poklonjen mu je novčić promjera 25 cm. Dokažite da se svi novčići mogu staviti u jednu ravnu kutiju dimenzija 55 cm * 55 cm.

Problem 33

Središnja ćelija je izrezana iz kvadrata 5×5. Dobiveni oblik izrežite na dva dijela koji mogu omotati kocku 2x2x2.

Problem 34

Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija na četiri dijela tako da svi dijelovi budu iste veličine i istog oblika, te tako da svaki dio sadrži jedan krug i jednu zvijezdu.

Problem 35

Parkiralište u Cvjetnom gradu je kvadrata 7x7, na svakom od kojih možete parkirati automobil. Parking je ograđen ogradom, jedna strana kutnog kaveza je uklonjena (ovo je kapija). Auto se vozi po stazi širokom kavezom. Dunno je zamoljen da postavi što više automobila na parkiralište na način da svi mogu otići dok drugi stoje. Dunno je rasporedio 24 automobila kao što je prikazano na sl. Pokušajte rasporediti automobile na drugačiji način kako bi ih stalo više.

Problem 36

Petya i Vasya žive u susjednim kućama (pogledajte plan na slici). Vasya živi u četvrtom ulazu. Poznato je da Petya, kako bi pobjegla do Vasye najkraći put(ne nužno uz strane ćelija), nije važno s koje strane trčati oko kuće. Odredite u kojem ulazu Petya živi.

Problem 37

Predložite način mjerenja dijagonale obične cigle, koji se lako provodi u praksi (bez Pitagorinog teorema).

Problem 38

Izrežite križ, sastavljen od pet identičnih kvadrata, na tri poligona, jednaka po površini i obodu.

Problem 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

(7 bodova) Navedite primjer dva obična razlomka čija je razlika tri puta veća od umnoška. Navedite izračune koji opravdavaju ovo svojstvo.

Odgovor. Na primjer, 1/2 i 1/5

Riješenje

Pogodno za bilo koju frakciju 1/n i 1/(n+3), postoje i druga rješenja.

Kriteriji provjere

• Daje se točan odgovor bez obrazloženja - 3 boda.

Zadatak 2

(7 bodova) Pokaži kako izrezati lik na tri dijela i od njih napraviti kvadrat.

Riješenje

1 način

2 način

Moguća su i druga rješenja.

Kriteriji provjere.

• Bilo koje ispravno rješenje (na slikama je prikazano kako rezati trapez i kako presavijati kvadrat) - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (pokazuje samo kako rezati trapez ili kako presavijati kvadrat) - 3 boda.

Zadatak 3

(7 bodova) Na ploči je napisan broj 49. U jednom potezu dopušteno je udvostručiti broj ili izbrisati njegovu posljednju znamenku. Je li moguće dobiti broj 50 u nekoliko poteza?

Odgovor. Limenka.

Riješenje

Broj 50 može se dobiti udvostručenjem 25, a 25 se može dobiti brisanjem zadnje znamenke od 256, što je stepen dvojke. Dakle, potrebni lanac transformacija može izgledati ovako:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Postoje i druga rješenja.

Kriteriji provjere.

• Bilo koje potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (na primjer, naznačeno je da se iz broja 256 može dobiti 50, ali nije naznačeno kako dobiti 256) - 3 boda.

Zadatak 4

(7 bodova) Jedan od tri prijatelja: Andrej, Boris ili Vladimir je najjači, drugi je najpametniji, treći je najljubazniji. Jednom su rekli sljedeće:

Andrija: Vladimir je jači od mene.

Boris : Pametniji sam od Vladimira.

Vladimir : Boris je pametniji od mene.

Poznato je da su najjači i najljubazniji govorili istinu, najinteligentniji lagali, a među njima nema dva jednaka po snazi.

Je li istina da je među trojicom prijatelja onaj koji je najljubazniji ujedno i najslabiji?

Obrazložite svoj odgovor.

Odgovor. Da.

Riješenje

Označimo: A - Andrej, B - Boris, C - Vladimir. Izjave B i C se međusobno ponavljaju, a budući da je među tri lažna samo jedna izjava, B i C su rekli istinu, A - laž. Dakle, A je najpametniji (po uvjetu), A je jači od B (jer je A lagao), a B je pametniji od C (jer su B i C rekli istinu). Budući da je A jači od B, onda B nije najjači. Ispada da je B najjači, A prosječan po snazi, C najslabiji. Istovremeno, C nije ni najpametniji ni najjači, što znači da je najljubazniji.

Radi jasnoće možete unijeti dostupne podatke u tablicu. Označit ćemo "mjesta" svake kvalitete: 1 - prvo mjesto (najpametniji / najjači / najljubazniji), 2 - prosjek, 3 - posljednje mjesto.

Iz tablice se vidi da B - najljubazniji i najslabiji.

Kriteriji provjere

• Bilo koje potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Ispravno je i razumno pronađeno tko je najjači, tko najpametniji, a tko najljubazniji, a daljeg pomaka nema - 5 bodova.
• Razumno primljen, Andrej je najpametniji, prijatelji su pravilno raspoređeni po snazi ​​(sva 3 mjesta), ali nisu primljeni ili nisu u korelaciji s činjenicom da je Vladimir najljubazniji, - 5 bodova.
• Obrazloženje se daje samo za određeni slučaj (na primjer, razmatra se samo slučaj da je Andrej rekao laž) bez razmatranja drugih posebnih slučajeva i bez naznake njihove nemogućnosti - 2 boda.
• Točan odgovor koji pokazuje tko je najpametniji, tko najjači, a tko najljubazniji, uz provjeru da su takvim rasporedom ispunjeni svi uvjeti problema, ali bez opravdanja - 2 boda.
• Pogreška je napravljena na samom početku obrazloženja - 0 bodova.
• Daje se samo odgovor - 0 bodova.

Zadatak 5

(7 bodova) Mama hoda s kolicima oko jezera i potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta. Vanya se vozi skuterom po istoj stazi u istom smjeru i svakih 12 minuta susreće (prestiže) svoju majku. U kojim vremenskim intervalima

Hoće li Vanya sresti svoju majku ako vozi istom brzinom, ali u suprotnom smjeru?

Odgovor . Nakon 4 minute.

Riješenje

Budući da majka potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta i susreće Vanju jednom svakih 12 minuta, za 12 minuta Vanya obiđe jezero točno 2 puta, a majka - jednom. To znači da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke. Iz toga proizlazi da kada je Vanya vozio u istom smjeru kao i njegova majka, brzina njihovog približavanja bila je jednaka brzini njegove majke. Ako Vanya ide u suprotnom smjeru, tada će brzina njihove konvergencije biti jednaka trima majčinim brzinama, odnosno bit će tri puta veća. To znači da će se s majkom sretati tri puta češće, odnosno svake 4 minute.

Ovo razmišljanje može se provesti uvođenjem oznake za duljinu staze.

Neka a- duljina staze oko jezera (u metrima), tada je brzina majke a/12 (m/min) a Vanjina brzina je a/6 (m/min). Brzina konvergencije u slučaju da mama i Vanja idu jedno prema drugom jednaka je 3 a/12=a/4 (m/min). Stoga će takvom brzinom zajedno svladati a metara za 4 minute, odnosno sastajat će se svake 4 minute.

Kriteriji provjere

• Bilo koje potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Ispravno je utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, točno je pronađen zbroj brzina, ali je konačni zaključak donijet pogrešno - 2 boda.
• S pravom je i razumno utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, ali daljnje razmišljanje ili nije opravdano ili nije dovršeno - 1 bod.
• Rješenje u kojem se daju određene udaljenosti i brzine i dobiva točan odgovor je 1 bod.
• Samo točan odgovor - 0 bodova.

Maksimalni broj bodova za sve obavljene zadatke je 35.

Uvodni govor nastavnika:

mali referenca za povijest: Mnogi znanstvenici od davnina vole rješavati probleme. Rješenja za mnoge jednostavne probleme rezanja pronašli su stari Grci, Kinezi, ali prva sustavna rasprava na ovu temu pripada peru Abul-Vefa. Geometri su se početkom 20. stoljeća počeli ozbiljno baviti problemom rezanja figura na najmanji broj komada, a zatim konstruirati još jednu figuru. Jedan od osnivača ove sekcije bio je poznati osnivač slagalice Henry E. Dudeney.

Danas ljubitelji zagonetki najprije vole rješavati probleme rezanja jer ne postoji univerzalna metoda za rješavanje takvih problema, a svatko tko se upusti u njihovo rješavanje može u potpunosti pokazati svoju domišljatost, intuiciju i sposobnost kreativnog razmišljanja. (U satu ćemo naznačiti samo jedan od mogućih primjera rezanja. Može se pretpostaviti da bi učenici mogli dobiti neku drugu ispravnu kombinaciju – ne bojte se ovoga).

Ova lekcija bi trebala biti izvedena u obliku praktične nastave. Podijelite sudionike kruga u grupe od 2-3 osobe. Dajte svakoj skupini figure koje je unaprijed pripremio učitelj. Učenici imaju ravnalo (s podjelama), olovku, škare. Škarama su dopušteni samo ravni rezovi. Nakon što ste izrezali neku figuru na dijelove, potrebno je sastaviti drugu figuru od istih dijelova.

Zadaci rezanja:

1). Pokušajte rezati lik prikazan na slici na 3 jednaka dijela:

Savjet: Mali oblici vrlo su slični slovu T.

2). Sada izrežite ovu figuru na 4 jednaka dijela:

Savjet: Lako je pretpostaviti da će se male figure sastojati od 3 ćelije, a nema toliko figura od tri ćelije. Postoje samo dvije vrste: kut i pravokutnik.

3). Podijelite figuru na dva identična dijela, a od dobivenih dijelova preklopite šahovsku ploču.

Savjet: Ponudite da započnete zadatak od drugog dijela, kako doći do šahovske ploče. Prisjetite se kakav oblik ima šahovska ploča (kvadrat). Izbrojite broj ćelija po dužini, širini. (Podsjetite da bi trebalo biti 8 ćelija).

4). Isprobajte tri poteza noža kako biste sir izrezali na osam jednakih komada.

Savjet: pokušajte prerezati sir uzdužno.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1). Izrežite papirni kvadrat i učinite sljedeće:

· izrezati na takva 4 dijela, od kojih možete napraviti dva jednaka manja kvadrata.

izrežite na pet dijelova – četiri jednakokračna trokuta i jedan kvadrat – i preklopite ih tako da dobijete tri kvadrata.