Olimpijada, logički i zabavni zadaci iz matematike. Zadaci rezanja

Sa listom kariranog papira sa škarama možete riješiti niz zanimljivih zadataka. Ovi zadaci nisu samo zanimljivi ili zabavni. Često sadrže praktično rješenje i dokaz ponekad vrlo složenih geometrijskih problema.

Počnimo s glavnim pravilom rezanja i presavijanja: Dva poligona nazivaju se jednako sastavljenima ako se jedan od njih može podijeliti (isjeći) na neke druge poligone, od kojih se potom može formirati drugi poligon.

Jednako sastavljeni poligoni, naravno, imaju istu površinu (jednaku površinu), pa stoga svojstvo ekvidispozicije ponekad omogućava da se dobiju formule za izračunavanje površina ili da se uporede površine figura (kako kažu, metoda cijepanja ili razlaganja). Primjer je poređenje (izračunavanje) površina paralelograma i pravokutnika.

Opšte pitanje ekvikonstituencije dva poligona je daleko od jednostavnog. Postoji nevjerovatna teorema koja kaže da se iz bilo kojeg poligona, rezanjem na komade, može konstruirati bilo koji drugi poligon iste površine.

Ova teorema se bavi takozvanim jednostavnim poligonima. Jednostavan poligon je poligon čija se granica sastoji od jedne zatvorene linije bez samopresecanja, a tačno dve njegove karike konvergiraju na svakom vrhu ove polilinije. Važna nekretnina jednostavan poligon je činjenica da ima barem jednu unutrašnju dijagonalu.

Imajte na umu da smo za prihvatljivu transformaciju pravokutnika u kvadrat morali (slika 3) da ga razbijemo na tri dijela. Međutim, ova particija nije jedinstvena. Možete, na primjer, dati primjer dijeljenja pravokutnika na četiri dijela (slika 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Pitanje koliki je najmanji broj rezova dovoljan da se od jedne figure konstruiše drugi ostaje otvoreno do danas.

Zadatak 1.

Jedna žena je imala pravougaoni tepih dimenzija 27 x 36 inča, dva suprotna ugla su bila izlizana (slika 5) i morala je biti odrezana, ali je htjela pravougaoni tepih. Ona je ovaj posao dala majstoru i on je to uradio. Na koji način je to uradio?

Rješenje problema se može vidjeti sa slike 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Ako se nazubljeni dio A ukloni sa nazubljenog dijela B i zatim gurne između zubaca dijela B, pomjerajući jedan zub udesno, dobije se željeni pravougaonik.

Zadatak 2.

Kako napraviti kvadrat od pet identičnih kvadrata rezanjem.

Kao što je prikazano na slici 7, četiri kvadrata treba izrezati u trokut i trapez. Pričvrstite četiri trapeza na stranice petog kvadrata i, na kraju, pričvrstite trokute s kracima na baze trapeza.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Zadatak 3.

Izrežite kvadrat na sedam takvih dijelova tako da njihovim sabiranjem dobijete tri jednaka kvadrata. (Slike 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Zadatak 4.

Isecite kvadrat na osam delova tako da sabiranjem dobijete dva kvadrata od kojih je jedan upola manji od drugog.

Slika 10 pokazuje kako seče kvadrat. Rješenje je slično rješenju prethodnog problema. Slika 11 pokazuje kako sabrati dijelove da biste dobili dva željena kvadrata.

Edukativni obilazak

Zadaci za samostalno rješavanje od strane ekipa „mlađeg” uzrasta

Zadatak 1

Puž se penje uz stub visok 10 m. Danju se podiže za 5 m, a noću se spušta za 4 m. Koliko vremena pužu treba da stigne od podnožja do vrha stuba?

Zadatak 2

Da li je moguće napraviti rupu u listu sveske kroz koju bi osoba mogla provući?

Zadatak 3

Zečevi režu trupce. Napravili su 10 rezova. Koliko je glupana ispalo?

Zadatak 4

Bagel se isječe na sektore. Napravljeno 10 rezova. Koliko komada je napravljeno?

Zadatak 5

Na velikoj okrugloj torti se napravi 10 rezova tako da svaki rez ide od ruba do ruba i prolazi kroz sredinu torte. Koliko komada je napravljeno?

Zadatak 6

Dvije osobe su imale dvije četvrtaste torte. Svaki je napravio 2 ravna reza na svojoj torti od ruba do ruba. Istovremeno, jedan je dobio tri komada, a drugi četiri. Kako bi to moglo biti?

Zadatak 7

Zečevi ponovo pile trupac, ali sada su oba kraja trupca učvršćena. Deset srednjih grmlja je palo, a dva ekstremna su ostala fiksna. Koliko su rezova napravili zečevi?

Zadatak 8

Kako podijeliti palačinku sa tri ravna reza na 4,5, 6, 7 dijelova?

Zadatak 9

Na pravougaonoj torti leži okrugla čokoladica. Kako prerezati tortu na dva jednaka dijela tako da se i čokolada podijeli tačno na pola?

Zadatak 10

Da li je moguće ispeći tortu koja se može podijeliti na 4 dijela jednim ravnim rezom?

Zadatak 11

Koliki je maksimalni broj komada na koje se okrugla palačinka može podijeliti koristeći tri ravna reza?

Zadatak 12

Koliko je puta duže stepenište do četvrtog sprata kuće od stepenica do drugog sprata iste kuće?

Zadatak 13

Giuseppe ima list šperploče, veličine 22 × 15. Giuseppe želi iz njega izrezati što više pravokutnih blankova veličine 3 × 5. Kako to učiniti?

Zadatak 14

V Magic Land njihove magične zakone prirode, od kojih jedan kaže: "Leteći tepih će letjeti samo kada ima pravougaoni oblik."

Ivan Tsarevich je imao leteći tepih veličine 9 × 12. Jednom se Zmija Gorynych prikrala i odrezala mali tepih veličine 1 sa ovog tepiha. × 8. Ivan Tsarevich je bio veoma uznemiren i hteo je da odseče još jedan komad 1 × 4 da napravite pravougaonik 8 × 12, ali Vasilisa Mudra je predložila da se stvari rade drugačije. Tepih je isjekla na tri dijela, od kojih je čarobnim nitima sašila četvrtasti leteći tepih veličine 10. × 10.

Možete li pogoditi kako je Vasilisa Mudra prepravila oštećeni tepih?

Zadatak 15

Kada je Guliver stigao u Liliput, otkrio je da su sve stvari tamo tačno 12 puta kraće nego u njegovoj domovini. Možete li reći koliko liliputanskih kutija šibica stane u Guliverovu kutiju šibica?

Zadatak 16

Na jarbolu gusarski brod vijori se dvobojna pravokutna zastava koja se sastoji od naizmjeničnih crnih i bijelih okomitih pruga iste širine. Ukupan broj traka jednak je broju zatvorenika koji se trenutno nalaze na brodu. U početku je na brodu bilo 12 zarobljenika i 12 traka na zastavi; tada su dva zatvorenika pobjegla. Kako prerezati zastavu na dva dijela i zatim ih sašiti tako da se površina zastave i širina pruga ne mijenjaju, već broj pruga postane 10?

Problem 17

Označite tačku u krugu. Da li je moguće ovaj krug izrezati na tri dijela na način da se može dodati novi krug, čija bi označena tačka bila u centru?

Problem 18

Da li je moguće izrezati kvadrat na četiri dijela tako da svaki dio bude u kontaktu (tj. ima zajedničke dijelove ivice) sa tri druga?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Problem 29

Lako je izrezati kvadrat na dva jednaka trokuta ili dva jednaka četverokuta. Ali kako izrezati kvadrat na dva jednaka peterokuta ili dva jednaka šesterokuta?

Problem 30

Ivan Tsarevich je otišao da traži Vasilisu Prelepu, koju je oteo Koshchei. Leshy će ga upoznati.

Znam, - kaže, - otišao sam u Koščejevsko kraljevstvo, desilo se, otišao sam tamo. Hodao sam četiri dana i četiri noći. Prvi dan sam prošao trećinu puta - pravim putem na sjever. Zatim je skrenuo na zapad, jedan dan se mučio kroz šumu i hodao upola manje. Treći dan sam hodao kroz šumu, već prema jugu, i izašao na pravi put koji vodi na istok. Prošetao sam njime 100 milja u jednom danu i završio u kraljevstvu Koshcheevo. Ti si šetač kao i ja. Idi, Ivane Careviču, vidiš, petog dana ćeš posetiti Koščeja.

Ne, - odgovori Ivan Carevič, - ako je sve kako kažeš, onda ću sutra videti svoju Vasilisu Prelepu.

Da li je u pravu? Koliko versta je prešao Leši i koliko daleko misli da ide Ivan Tsarevich?

Problem 31

Osmislite bojanje lica kocke tako da u tri različita položaja izgleda kao na slici. (Odredite kako obojiti nevidljive ivice ili nacrtati mrežu.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Problem 32

Numizmatičar Fedya ima sve kovanice prečnika ne većeg od 10 cm, a pohranjuje ih u ravnu kutiju dimenzija 30 cm * 70 cm (u jednom sloju). Uručen mu je novčić prečnika 25 cm Dokažite da se svi novčići mogu staviti u jednu ravnu kutiju dimenzija 55 cm * 55 cm.

Problem 33

Centralna ćelija je izrezana iz kvadrata 5×5. Dobijeni oblik izrežite na dva dijela koji mogu umotati kocku 2x2x2.

Problem 34

Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija na četiri dijela tako da svi dijelovi budu iste veličine i istog oblika, te da svaki dio sadrži jedan krug i jednu zvijezdu.

Problem 35

Parking u Cvjetnom gradu je kvadrata 7x7, na svakom od kojih možete parkirati automobil. Parking je ograđen ogradom, jedna strana ugaonog kaveza je uklonjena (ovo je kapija). Auto se vozi po stazi širokom kavezom. Dunno je zamoljen da postavi što više automobila na parking tako da svako može otići dok drugi stoje. Dunno je rasporedio 24 automobila kao što je prikazano na sl. Pokušajte da rasporedite automobile na drugačiji način da stane više njih.

Problem 36

Petya i Vasya žive u susjednim kućama (pogledajte plan na slici). Vasja živi u četvrtom ulazu. Poznato je da Petya, kako bi pobjegla do Vasye najkraći put(ne mora da ide uz strane ćelija), nije važno na kojoj strani ćete trčati oko kuće. Odredite u kojem ulazu Petya živi.

Problem 37

Predložite način mjerenja dijagonale obične cigle, koji se lako implementira u praksi (bez Pitagorine teoreme).

Problem 38

Izrežite križ, sastavljen od pet identičnih kvadrata, na tri poligona, jednaka po površini i perimetru.

Problem 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

Za pažnju nastavnika matematike i nastavnika raznih izbornih predmeta i krugova, nudi se izbor zabavnih i razvijajućih zadataka geometrijskog rezanja. Svrha upotrebe ovakvih zadataka od strane nastavnika u nastavi nije samo da zainteresuje učenika za zanimljive i efektne kombinacije ćelija i oblika, već i da u njemu formira osjećaj za linije, uglove i oblike. Set zadataka je uglavnom namijenjen djeci od 4. do 6. razreda, iako ga je moguće koristiti i za srednjoškolce. Vježbe zahtijevaju od učenika visoku i postojanu koncentraciju pažnje i odlične su za razvoj i trening. vizuelno pamćenje. Preporučuje se instruktorima matematike koji pripremaju učenike za prijemne ispite u matematičke škole i razrede koji postavljaju posebne zahtjeve za nivo samostalnog mišljenja i kreativnosti djeteta. Nivo zadataka odgovara nivou uvodnih olimpijada u liceju "druga škola" (druga matematička škola), malom Mehmatu Moskovskog državnog univerziteta, školi Kurčatov itd.

Napomena nastavnika matematike:
U nekim rješenjima problema, koja možete pogledati klikom na odgovarajući pokazivač, naznačen je samo jedan od mogućih primjera rezanja. U potpunosti priznajem da možete dobiti neku drugu ispravnu kombinaciju - ne bojte se ovoga. Pažljivo provjerite rješenje vašeg miša i ako zadovoljava uvjet, onda slobodno preuzmite sljedeći zadatak.

1) Pokušajte rezati figuru prikazanu na slici na 3 jednaka dijela:

: Male figure su vrlo slične slovu T

2) Sada izrežite ovu figuru na 4 jednaka dijela:

Savjet za nastavnike matematike: Lako je pretpostaviti da će se male figure sastojati od 3 ćelije, a da nema toliko figura od tri ćelije. Postoje samo dvije vrste njih: ugao i pravougaonik 1 × 3.

3) Izrežite ovu figuru na 5 jednakih dijelova:

Pronađite broj ćelija od kojih se sastoji svaka takva figura. Ove figurice izgledaju kao slovo G.

4) A sada trebate izrezati lik od deset ćelija na 4 nejednako pravougaonika (ili kvadrata) jedan prema drugom.

Indikacija nastavnika matematike: Odaberite pravougaonik, a zatim pokušajte unijeti još tri u preostale ćelije. Ako ne uspije, promijenite prvi pravougaonik i pokušajte ponovo.

5) Zadatak postaje složeniji: trebate izrezati figuru na 4 različitog oblika figure (ne nužno u pravougaonike).

Savjet za nastavnike matematike: prvo nacrtajte sve vrste oblika zasebno različitih oblika(biće ih više od četiri) i ponovite metodu nabrajanja opcija kao u prethodnom zadatku.
:

6) Izrežite ovu figuru na 5 figura od četiri ćelije različitog oblika tako da u svakoj od njih bude popunjena samo jedna zelena ćelija.

Savjet za nastavnike matematike: Pokušajte početi rezati od gornje ivice ovog oblika i odmah ćete shvatiti kako dalje.
:

7) Na osnovu prethodnog problema. Pronađi koliko ima figura različitih oblika koje se sastoje od tačno četiri ćelije? Figure se mogu uvijati, rotirati, ali je nemoguće podići sostol (sa njegove površine), na kojem leži. To jest, dvije date figure neće se smatrati jednakim, jer se ne mogu dobiti jedna od druge rotacijom.

Savjet za nastavnike matematike: Proučite rješenje prethodnog problema i pokušajte zamisliti različite položaje ovih figura pri okretanju. Lako je pretpostaviti da će odgovor u našem zadatku biti broj 5 ili više. (U stvari, čak i više od šest). Ukupno postoji 7 vrsta opisanih figura.

8) Izrežite kvadrat od 16 ćelija na 4 jednaka dijela tako da svaki od četiri dijela ima tačno jednu zelenu ćeliju.

Savjet za nastavnike matematike: Izgled malih figura nije kvadrat ili pravougaonik, pa čak ni ugao od četiri ćelije. Dakle, u koje oblike treba da pokušamo da isečemo?

9) Izrežite prikazanu figuru na dva dijela tako da se od dobivenih dijelova može saviti kvadrat.

Savjet za nastavnike matematike: Ukupno, na slici je 16 ćelija, što znači da će kvadrat biti veličine 4 × 4. I nekako treba popuniti prozor u sredini. Kako uraditi? Možda nekakav pomak? Zatim, budući da je dužina pravougaonika jednaka neparnom broju ćelija, rezanje treba obaviti ne okomitim rezom, već duž isprekidane linije. Tako da je gornji dio odsječen s jedne strane od srednjih ćelija, a donji dio s druge.

10) Izrežite pravougaonik 4×9 na dva dijela tako da kao rezultat možete dodati kvadrat od njih.

Savjet za nastavnike matematike: U pravougaoniku ima 36 ćelija. Dakle, kvadrat će biti veličine 6 × 6. Budući da se duga strana sastoji od devet ćelija, tri od njih treba odsjeći. Kako će proći ovaj rez?

11) Križ od pet ćelija prikazanih na slici potrebno je izrezati (možete sami izrezati ćelije) na takve dijelove od kojih bi se mogao presavijati kvadrat.

Savjet za nastavnike matematike: Jasno je da bez obzira kako sečemo po linijama ćelija, nećemo dobiti kvadrat, jer ima samo 5 ćelija.To je jedini zadatak u kojem je dozvoljeno rezati ne u ćelijama. Ipak, bilo bi dobro ostaviti ih kao smjernicu. na primjer, vrijedno je napomenuti da nekako moramo ukloniti udubljenja koja imamo - naime, u unutrašnjim uglovima našeg križa. Kako biste to uradili? Na primjer, odsijecanje nekih izbočenih trokuta vanjski uglovi križ...

(7 bodova) Navedite primjer dva obična razlomka čija je razlika tri puta veća od njihovog proizvoda. Navedite proračune koji opravdavaju ovo svojstvo.

Odgovori. Na primjer, 1/2 i 1/5

Rješenje

Pogodno za bilo koju frakciju 1/n i 1/(n+3), postoje i druga rješenja.

Kriteriji verifikacije

• Daje se tačan odgovor bez obrazloženja - 3 boda.

Zadatak 2

(7 bodova) Pokažite kako figuru izrezati na tri dijela i od njih napraviti kvadrat.

Rješenje

1 način

2 way

Moguća su i druga rješenja.

Kriterijumi verifikacije.

• Bilo koje ispravno rješenje (na slikama se vidi kako seče trapez i kako se savija kvadrat) - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (pokazuje samo kako seče trapez ili kako se savija kvadrat) - 3 boda.

Zadatak 3

(7 bodova) Na tabli je napisan broj 49. U jednom potezu je dozvoljeno ili udvostručiti broj ili izbrisati njegovu posljednju cifru. Da li je moguće dobiti broj 50 u nekoliko poteza?

Odgovori. Može.

Rješenje

Broj 50 se može dobiti udvostručavanjem 25, a 25 brisanjem posljednje cifre od 256, što je stepen dvojke. Dakle, potrebni lanac transformacija može izgledati ovako:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Postoje i druga rješenja.

Kriterijumi verifikacije.

• Svako potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Nepotpuno rješenje (na primjer, naznačeno je da se od broja 256 može dobiti 50, ali nije naznačeno kako se dobije 256) - 3 boda.

Zadatak 4

(7 bodova) Jedan od tri prijatelja: Andrej, Boris ili Vladimir je najjači, drugi je najpametniji, treći je najljubazniji. Jednom su rekli sljedeće:

Andrey: Vladimir je jači od mene.

Boris : Ja sam pametniji od Vladimira.

Vladimir : Boris je pametniji od mene.

Poznato je da su najjači i najljubazniji govorili istinu, najinteligentniji lagali, a među njima nema dva jednaka po snazi.

Da li je tačno da je među tri prijatelja onaj koji je najljubazniji ujedno i najslabiji?

Obrazložite svoj odgovor.

Odgovori. Da.

Rješenje

Označimo: A - Andrej, B - Boris, C - Vladimir. Izjave B i C se međusobno ponavljaju, a pošto je među tri lažna samo jedna izjava, B i C su rekli istinu, A - laž. Dakle, A je najpametniji (po uslovu), A je jači od B (jer je A lagao), a B je pametniji od C (jer su B i C rekli istinu). Pošto je A jači od B, onda B nije najjači. Ispostavilo se da je B najjači, A prosječne snage, C najslabiji. Istovremeno, C nije ni najpametniji ni najjači, što znači da je najljubazniji.

Radi jasnoće, možete unijeti dostupne informacije u tabelu. Označit ćemo "mjesta" svakog kvaliteta: 1 - prvo mjesto (najpametniji / najjači / najljubazniji), 2 - prosjek, 3 - posljednje mjesto.

Iz tabele se vidi da B - najljubazniji i najslabiji.

Kriteriji verifikacije

• Svako potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Tačno i razumno je pronađeno ko je najjači, ko najpametniji, a ko najljubazniji i nema daljeg pomaka - 5 bodova.
• Razumno primljen, Andrej je najpametniji, prijatelji su pravilno raspoređeni po snazi ​​(sva 3 mesta), ali nisu primljeni ili nisu u korelaciji sa činjenicom da je Vladimir najljubazniji, - 5 poena.
• Obrazloženje se daje samo za određeni slučaj (na primjer, razmatra se samo slučaj da je Andrej rekao laž) bez razmatranja drugih posebnih slučajeva i bez navođenja njihove nemogućnosti - 2 boda.
• Tačan odgovor koji pokazuje ko je najpametniji, ko najjači, a ko najljubazniji, uz provjeru da su takvim rasporedom ispunjeni svi uslovi zadatka, ali bez opravdanja - 2 boda.
• Greška je napravljena na samom početku obrazloženja - 0 poena.
• Daje se samo odgovor - 0 bodova.

Zadatak 5

(7 bodova) Mama hoda sa kolicima oko jezera i potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta. Vanja se vozi skuterom po istoj stazi u istom pravcu i svakih 12 minuta susreće (prestiže) svoju majku. U kojim vremenskim intervalima

Hoće li Vanja sresti svoju majku ako vozi istom brzinom, ali u suprotnom smjeru?

Odgovori . Nakon 4 minute.

Rješenje

Pošto majka potpuno zaobiđe jezero za 12 minuta i sretne Vanju jednom svakih 12 minuta, za 12 minuta Vanja obiđe jezero tačno 2 puta, a majka - jednom. To znači da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke. Iz toga slijedi da kada je Vanja vozio u istom smjeru kao i njegova majka, brzina njihovog približavanja bila je jednaka brzini njegove majke. Ako Vanya krene u suprotnom smjeru, tada će brzina njihove konvergencije biti jednaka trima majčinim brzinama, odnosno bit će tri puta veća. To znači da će se sa majkom sretati tri puta češće, odnosno svaka 4 minuta.

Ovo razmišljanje se može izvesti uvođenjem oznake za dužinu staze.

Neka a- dužina staze oko jezera (u metrima), tada je brzina majke a/12 (m/min) i Vanjina brzina je a/6 (m/min). Brzina konvergencije u slučaju da mama i Vanja idu jedno prema drugom jednaka je 3 a/12=a/4 (m/min). Stoga će takvom brzinom zajedno savladati a metara za 4 minuta, odnosno sastajaće se svaka 4 minuta.

Kriteriji verifikacije

• Svako potpuno ispravno rješenje - 7 bodova.
• Tačno je utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, tačno je pronađen zbir brzina, ali je konačni zaključak donijet pogrešno - 2 boda.
• Ispravno je i razumno utvrđeno da je Vanjina brzina 2 puta veća od brzine majke, ali daljnje rezonovanje ili nije opravdano ili nije dovršeno - 1 bod.
• Rješenje u kojem se daju određene udaljenosti i brzine i dobije se tačan odgovor je 1 bod.
• Samo tačan odgovor - 0 bodova.

Maksimalni broj bodova za sve urađene zadatke je 35.