Изрязване и сгъване на форми. С лист карирана хартия с ножица можете да решите много различни и интересни задачи.

С лист карирана хартия с ножица можете да решавате голямо разнообразие от интересни задачи. Тези задачи са не само интересни или забавни. Те често съдържат практическо решение и доказателство за понякога много сложни геометрични задачи.

Нека започнем с основното правило за рязане и сгъване: два многоъгълника се наричат ​​еднакво съставени, ако единият от тях може да бъде разделен (нарязан) на няколко други многоъгълника, от които след това може да бъде съставен вторият многоъгълник.

Еднакво съставените многоъгълници, разбира се, имат една и съща площ (равна площ) и следователно свойството на равноразположение понякога позволява да се получат формули за изчисляване на площи или да се сравнят площите на фигури (както се казва, метод на разделяне или разлагане). Пример е сравняване (изчисляване) на площите на успоредник и правоъгълник.

Общият въпрос за равнопоставеността на два полигона далеч не е прост. Има една невероятна теорема, която гласи, че от всеки даден многоъгълник, чрез нарязването му на парчета, може да се конструира всеки друг многоъгълник със същата площ.

Тази теорема се занимава с така наречените прости многоъгълници. Прост многоъгълник е многоъгълник, чиято граница се състои от една затворена линия без самопресичане и точно две от връзките му се събират във всеки връх на тази полилиния. Важно свойство на простия многоъгълник е фактът, че той има поне един вътрешен диагонал.

Имайте предвид, че за приемлива трансформация на правоъгълник в квадрат, ние (Фигура 3) трябваше да го разделим на три части. Този дял обаче не е уникален. Можете например да дадете пример за разделяне на правоъгълник на четири части (Фигура 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Въпросът кой е най-малкият брой разрези, достатъчни за конструиране на друга от една фигура, остава открит и до днес.

Задача 1.

Една жена имаше правоъгълен килим с размери 27 на 36 инча, два срещуположни ъгъла му бяха протрити (Фигура 5) и трябваше да бъдат отрязани, но тя искаше правоъгълен килим. Тя даде тази работа на майстора и той я направи. По какъв начин го направи?

Решението на проблема може да се види от фигура 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Ако назъбената част A се отстрани от назъбената част B и след това се избута обратно между зъбите на част B, премествайки един зъб надясно, се получава желаният правоъгълник.

Задача 2.

Как да направим квадрат от пет еднакви квадрата чрез изрязване.

Както е показано на фигура 7, четирите квадрата трябва да бъдат нарязани на триъгълник и трапец. Прикрепете четири трапеца към страните на петия квадрат и накрая прикрепете триъгълниците с краката към основите на трапеца.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Задача 3.

Нарежете квадрата на седем такива части, така че, като ги добавите, да получите три равни квадрата. (Снимки 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Задача 4.

Разрежете квадрата на осем части, така че като ги съберете, да получите два квадрата, единият от които е наполовина по-малък от другия.

Фигура 10 показва как да изрежете квадрата. Решението е подобно на решението на предишната задача. Фигура 11 показва как да добавите частите, за да получите двата желани квадрата.

Образователна обиколка

Задачи за самостоятелно решаване от отбори от „по-младата“ възрастова група

Задача 1

Охлюв пълзи по колона с височина 10 м. През деня се издига с 5 м, а през нощта се спуска с 4 м. Колко време е необходимо на охлюва да стигне от подножието до върха на колоната?

Задача 2

Възможно ли е да се направи дупка в лист от тетрадка, през която човек да пропълзи?

Задача 3

Зайците режат трупи. Направиха 10 разфасовки. Колко бучки се оказаха?

Задача 4

Франзелата се нарязва на сектори. Направи 10 разфасовки. Колко парчета направи?

Задача 5

На голяма кръгла торта се правят 10 разреза, така че всеки разрез да минава от край до край и да минава през центъра на тортата. Колко парчета направи?

Задача 6

Двама души имаха две квадратни торти. Всеки направи 2 прави разреза на тортата си от край до край. При това единият получи три парчета, а другият четири. Как е възможно?

Задача 7

Зайците отново режат дънера, но сега двата края на дънера са фиксирани. Десет средни бучки паднаха, а двете крайни останаха неподвижни. Колко разфасовки направиха зайците?

Задача 8

Как да разделя палачинка с три прави разреза на 4,5, 6, 7 части?

Задача 9

Върху правоъгълна торта лежи кръгло шоколадово блокче. Как да разрежем тортата на две равни части, така че и шоколадът да се раздели точно наполовина?

Задача 10

Възможно ли е да се изпече торта, която да се раздели на 4 части с един прав разрез?

Задача 11

Какъв е максималният брой парчета, на които една кръгла палачинка може да бъде разделена с три прави разреза?

Задача 12

Колко пъти е по-дълго стълбището към четвъртия етаж на къщата от стълбището към втория етаж на същата къща?

Задача 13

Джузепе има лист шперплат с размер 22 × 15. Джузепе иска да изреже колкото се може повече правоъгълни заготовки с размер 3 от него × 5. Как да го направя?

Задача 14

AT Магическа земятехните магически закони на природата, един от които гласи: „Летящият килим ще лети само когато има правоъгълна форма“.

Иван Царевич имаше летящ килим с размер 9 × 12. Веднъж змията Горинич се промъкна и отряза малък килим с размер 1 от този килим. × 8. Иван Царевич беше много разстроен и искаше да отреже още едно парче 1 × 4, за да направите правоъгълник 8 × 12, но Василиса Мъдрата предложи нещата да се правят по различен начин. Тя разряза килима на три части, от които с магически конци уши квадратно летящо килимче с размер 10. × 10.

Можете ли да познаете как Василиса Мъдрата е преработила повредения килим?

Задача 15

Когато Гъливер стигна до Лилипутия, той откри, че всичко там е точно 12 пъти по-кратко, отколкото в родината му. Можете ли да кажете колко лилипутски кибритени кутии ще се поберат в кибритената кутия на Гъливер?

Задача 16

На мачтата пиратски корабсе развява двуцветно правоъгълно знаме, състоящо се от редуващи се черни и бели вертикални ивици с еднаква ширина. Общият брой ленти е равен на броя на затворниците в момента на кораба. Отначало имаше 12 затворници на кораба и 12 ивици на флага; тогава двама затворници избягаха. Как да разрежете знамето на две части и след това да ги зашиете, така че площта на знамето и ширината на ивиците да не се променят, но броят на ивиците да стане 10?

Проблем 17

Маркирайте точка в кръга. Възможно ли е да се разреже този кръг на три части по такъв начин, че да е възможно да се добавя нов кръг, чиято отбелязана точка ще бъде в центъра?

Проблем 18

Възможно ли е да се разреже квадрат на четири части, така че всяка част да е в контакт (т.е. да има общи части на границата) с три други?

https://pandia.ru/text/78/456/images/image021_44.gif" width="123" height="125">

Задача 29

Лесно е да разрежете квадрат на два равни триъгълника или два равни четириъгълника. Но как да разрежем квадрат на два равни петоъгълника или два равни шестоъгълника?

Задача 30

Иван Царевич отиде да търси Василиса Красива, която беше отвлечена от Кошчей. Леши ще се срещне с него.

Знам, - казва той, - отидох в царството на Кощеево, случи се, отидох там. Вървях четири дни и четири нощи. За първия ден изминах една трета от пътя - прав път на север. След това се обърна на запад, прекара един ден през гората и измина наполовина. Трети ден вървях през гората, вече на юг, и излязох на прав път, водещ на изток. Вървях по него 100 мили на ден и се озовах в царството Кощеево. Ти си пешеходец като мен. Иди, Иван Царевич, виждаш ли, на петия ден ще посетиш Кошчей.

Не, - отговори Иван Царевич, - ако всичко е както казваш, тогава утре ще видя моята Василиса Прекрасна.

прав ли е Колко версти измина Леши и колко далеч смята да стигне Иван Царевич?

Задача 31

Измислете оцветяване на лицата на куба, така че в три различни позиции да изглежда като показаното на снимката. (Посочете как да оцветите невидимите ръбове или да нарисувате мрежа.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Задача 32

Нумизматът Федя има всички монети с диаметър не повече от 10 см. Той ги съхранява в плоска кутия с размери 30 см * 70 см (в един слой). Подариха му монета с диаметър 25 см. Докажете, че всички монети могат да се поставят в една плоска кутия с размери 55 см * 55 см.

Задача 33

Централната клетка беше изрязана от квадрат 5 × 5. Разрежете получената форма на две части, които могат да увият куб 2x2x2.

Задача 34

Нарежете този квадрат по страните на клетките на четири части, така че всички части да са с еднакъв размер и еднаква форма и така че всяка част да съдържа един кръг и една звезда.

Задача 35

Паркингът в Цветния град е квадрат 7х7, на всеки от които можете да паркирате кола. Паркингът е ограден с ограда, едната страна на ъгловата клетка е премахната (това е портата). Колата се движи по писта с ширина на клетка. Dunno беше помолен да постави възможно най-много коли на паркинга по такъв начин, че всеки да може да напусне, докато другите стоят. Dunno подреди 24 коли, както е показано на фиг. Опитайте се да подредите колите по различен начин, за да се поберат повече от тях.

Задача 36

Петя и Вася живеят в съседни къщи (виж плана на снимката). Вася живее в четвъртия вход. Известно е, че Петя, за да изтича до Вася най-краткия път(не е задължително да вървите по страните на клетките), няма значение от коя страна да бягате около къщата си. Определете в кой вход живее Петя.

Задача 37

Предложете начин за измерване на диагонала на обикновена тухла, който лесно се прилага на практика (без теоремата на Питагор).

Задача 38

Нарежете кръста, съставен от пет еднакви квадрата, на три многоъгълника, еднакви по площ и периметър.

Задача 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image027_11.jpg" alt="(!LANG:http://*****/kruzhki/small/klass7/zu1.jpg" width="547" height="94">!}

.gif" width="212" height="139">8)

(7 точки) Дайте пример за две обикновени дроби, чиято разлика е три пъти произведението им. Дайте изчисленията, които оправдават това свойство.

Отговор. Например 1/2 и 1/5

Решение

Подходящ за всякакви фракции 1/ни 1/(n+3), има и други решения.

Критерии за проверка

• Дава се верен отговор без обосновка – 3 точки.

Задача 2

(7 точки) Покажете как да разрежете фигура на три части и да направите квадрат от тях.

Решение

1 начин

2 начина

Възможни са и други решения.

Критерии за проверка.

• Всяко вярно решение (картинките показват как се изрязва трапец и как се сгъва квадрат) – 7 точки.
• Непълно решение (показва само как се изрязва трапец или как се сгъва квадрат) – 3 точки.

Задача 3

(7 точки) На дъската е написано числото 49. С един ход е позволено или да удвоите числото, или да изтриете последната му цифра. Възможно ли е да получите числото 50 в няколко хода?

Отговор. Мога.

Решение

Числото 50 може да се получи чрез удвояване на 25, а 25 може да се получи чрез изтриване на последната цифра от 256, която е степен на две. Така необходимата верига от трансформации може да изглежда така:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Има и други решения.

Критерии за проверка.

• Всяко пълно вярно решение – 7 точки.
• Непълно решение (например е посочено, че от числото 256 може да се получи 50, но не е посочено как да се получи 256) - 3 точки.

Задача 4

(7 точки) Един от тримата приятели: Андрей, Борис или Владимир е най-силният, другият е най-умният, третият е най-добрият. Веднъж казаха следното:

Андрю: Владимир е по-силен от мен.

Борис : Аз съм по-умен от Владимир.

Владимир : Борис е по-умен от мен.

Известно е, че най-силният и най-добрият каза истината, най-умният излъга и сред тях няма двама равни по сила.

Вярно ли е, че сред тримата приятели този, който е най-добрият, е и най-слабият?

Обосновете отговора си.

Отговор. да

Решение

Нека означим: A - Андрей, B - Борис, C - Владимир. Твърдения B и C се повтарят едно друго и тъй като сред трите има само едно невярно твърдение, B и C са казали истината, A - лъжа. Следователно A е най-умният (по условие), A е по-силен от B (защото A е излъгал), а B е по-умен от C (защото B и C са казали истината). Тъй като A е по-силен от B, тогава B не е най-силният. Оказва се, че B е най-силният, A е среден по сила, C е най-слабият.В същото време C не е най-умният и не е най-силният, което означава, че той е най-добрият.

За по-голяма яснота можете да въведете наличната информация в таблица. Ще определим "местата" на всяко качество: 1 - първо място (най-умният / най-силният / най-добрият), 2 - средно, 3 - последно място.

От таблицата се вижда, че B - най-добрият и най-слабият.

Критерии за проверка

• Всяко пълно вярно решение – 7 точки.
• Правилно и обосновано е установено кой е най-силен, кой е най-умен и кой е най-мил и няма напредък - 5 точки.
• Разумно получено, Андрей е най-умният, приятелите са правилно разпределени по сила (всичките 3 места), но не са получени или не са свързани с факта, че Владимир е най-добрият, - 5 точки.
• Разсъждението се дава само за конкретен случай (например се разглежда само случаят, в който Андрей е казал лъжа), без да се разглеждат други специални случаи и без да се посочва тяхната невъзможност - 2 точки.
• Верният отговор, посочващ кой е най-умен, кой е най-силен и кой е най-мил, с проверка, че при такава подредба са изпълнени всички условия на задачата, но без обосновка - 2 точки.
• Допусната грешка в самото начало на разсъжденията – 0 точки.
• Дава се само отговорът - 0 точки.

Задача 5

(7 точки) Мама се разхожда с количка около езерото и напълно заобикаля езерото за 12 минути. Ваня кара скутер по същата пътека в същата посока и среща (изпреварва) майка си на всеки 12 минути. На какви интервали от време

Ще срещне ли Ваня майка си, ако кара със същата скорост, но в обратна посока?

Отговор . След 4 минути.

Решение

Тъй като майката напълно заобикаля езерото за 12 минути и среща Ваня веднъж на всеки 12 минути, за 12 минути Ваня минава около езерото точно 2 пъти, а майката - веднъж. Това означава, че скоростта на Ваня е 2 пъти скоростта на майката. От това следва, че когато Ваня е карал в същата посока като майка си, скоростта на тяхното приближаване е била равна на скоростта на майка му. Ако Ваня тръгне в обратната посока, тогава скоростта на тяхното сближаване ще бъде равна на три скорости на майката, тоест ще бъде три пъти повече. Това означава, че ще се среща с майка си три пъти по-често, тоест на всеки 4 минути.

Това разсъждение може да се извърши чрез въвеждане на обозначение за дължината на пистата.

Позволявам а- дължината на пътя около езерото (в метри), тогава скоростта на майката е а/12 (м/мин) и скоростта на Ваня е а/6 (m/min). Скоростта на сближаване в случай, че мама и Ваня вървят една към друга е равна на 3 а/12=а/4 (m/min). Следователно с такава скорост те ще преодолеят заедно аметра за 4 минути, тоест ще се срещат на всеки 4 минути.

Критерии за проверка

• Всяко пълно вярно решение – 7 точки.
• Установено е правилно, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката, сборът от скоростите е правилно намерен, но крайният извод е направен неправилно - 2 точки.
• Правилно и обосновано е установено, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката, но по-нататъшното разсъждение или не е обосновано, или не е завършено - 1 точка.
• Решението, в което са дадени конкретни разстояния и скорости и е получен верен отговор, е 1 точка.
• Само верният отговор - 0 точки.

Максималната оценка за всички изпълнени задачи е 35.

Встъпително слово на учителя:

малък история справка: Много учени обичат да решават проблеми от древни времена. Решения на много прости проблеми с рязането са намерени от древните гърци, китайците, но първият систематичен трактат по тази тема принадлежи на перото на Абул-Веф. Геометрите започнаха сериозно да се захващат с проблема за нарязване на фигури на най-малък брой парчета и след това конструиране на друга фигура в началото на 20 век. Един от основателите на тази секция е известният основател на пъзелите Хенри Е. Дудени.

Днес любителите на пъзелите обичат първо да решават проблеми с рязане, защото няма универсален метод за решаване на такива проблеми и всеки, който се заеме да ги реши, може напълно да покаже своята изобретателност, интуиция и способност за творческо мислене. (В урока ще посочим само един от възможните примери за рязане. Възможно е учениците да получат друга правилна комбинация - не се страхувайте от това).

Този урок трябва да се проведе под формата на практически урок. Разделете участниците в кръга на групи от по 2-3 души. Раздайте на всяка група фигури, предварително подготвени от учителя. Учениците разполагат с линийка (с деления), молив, ножица. Разрешени са само прави срезове с ножица. След като разрежете фигура на части, е необходимо да съставите друга фигура от същите части.

Задачи за рязане:

1). Опитайте се да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 равни части:

Съвет: Малките форми са много подобни на буквата Т.

2). Сега нарежете тази фигура на 4 равни части:

Съвет: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, а няма толкова много фигури от три клетки. Има само два вида: ъгъл и правоъгълник.

3). Разделете фигурата на две еднакви части и сгънете шахматната дъска от получените части.

Съвет: Предложете да започнете задачата от втората част, как да получите шахматна дъска. Припомнете си каква форма има шахматната дъска (квадрат). Пребройте броя на клетките по дължина, ширина. (Напомнете, че трябва да има 8 клетки).

4). Опитайте с три удара на ножа, за да нарежете сиренето на осем равни парчета.

Съвет: опитайте да разрежете сиренето по дължина.

Задачи за самостоятелно решаване:

1). Изрежете хартиен квадрат и направете следното:

· разрежете на такива 4 части, от които можете да направите два равни по-малки квадрата.

разрежете на пет части - четири равнобедрени триъгълника и един квадрат - и ги прегънете така, че да получите три квадрата.